Знак расстояния в математике: Как обозначается расстояние в математике (какой буквой)

Как найти время, скорость и расстояние

Расстояние

Мы постоянно ходим пешком и ездим на транспорте из одной точки в другую. Давайте узнаем, как можно посчитать это пройденное расстояние.

Расстояние — это длина от одного пункта до другого.

• Например: расстояние от дома до школы 3 км, от Москвы до Петербурга 705 км.

Расстояние обозначается латинской буквой s.

Единицы расстояния чаще всего выражаются в метрах (м), километрах (км).

Скорость

Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.

Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени.

Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.

Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.

Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.

Скорость сближения

Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, которые движутся в противоположных направлениях.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Время

Время — самое дорогое, что у нас есть. Но кроме философии, у времени есть важная роль и в математике.

Время — это продолжительность каких-то действий, событий.

• Например: от метро до дома — 10 минут, от дома до дачи — 2 часа.

Время движения обозначается латинской буквой t.

Чаще всего вам будут встречаться такие единицы времени, как секунды, минуты и часы.

Эта формула пригодится, если нужно узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние.

Взаимосвязь скорости, времени, расстояния

Скорость, время и расстояние связаны между собой очень крепко. Одно без другого даже сложно представить.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время: s = v × t.

Задачка 1. Мы вышли из дома и направились в гости в соседний двор. Мы дошли до соседнего двора за 15 минут. Фитнес-браслет показал, что наша скорость была 50 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы прошли 50 метров, то сколько таких пятьдесят метров мы пройдем за 10 минут? Умножив 50 метров на 15, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 50 м/мин

t = 15 мин

s = v × t = 50 × 15 = 750 м

Ответ: мы прошли 750 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость: v = s : t.

Задачка 2. Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние между двором и площадкой — 100 метров. Первый школьник добежал за 25 секунд, второй за 50 секунд. Кто добежал быстрее?

Как рассуждаем:

Быстрее добежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. В этой задаче скорость школьников — это расстояние, которое они пробегают за 1 секунду.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения. Найдем скорость первого школьника: для этого разделим 100 метров на время движения первого школьника, то есть на 25 секунд:

100 : 25 = 4

Если расстояние дано в метрах, а время движения в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

В нашей задаче расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, будем измерять скорость в метрах в секунду (м/с).

100 м : 25 с = 4 м/с

Так мы узнали, что скорость движения первого школьника 4 метра в секунду.

Теперь найдем скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника, то есть на 50 секунд:

100 : 50 = 2

Значит, скорость движения второго школьника составляет 2 метра в секунду.

Сейчас можно сравнить скорости движения каждого школьника и узнать, кто добежал быстрее.

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он добежал до спортивной площадки быстрее.

Ответ: первый школьник добежал быстрее.

Если известны скорость и расстояние, то можно найти время: t = s : v.

Задачка 3. От школы до стадиона 500 метров. Мы должны дойти до него пешком. Наша скорость будет 100 метров в минуту. За какое время мы дойдем до стадиона из школы?

Как рассуждаем:

Если за одну минуту мы будем проходить 100 метров, то сколько таких минут со ста метрами будет в 500 метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 500 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 100. Тогда мы получим время, за которое дойдем до стадиона:

s = 500 м

v = 100 м/мин

t = s : v = 500 : 100 = 5 м

Ответ: от школы до стадиона мы дойдем за 5 минут.

Специально для уроков математики можно распечатать или нарисовать самостоятельно такую таблицу, чтобы быстрее запомнить и применять формулы скорости, времени, расстояния.

геометрия / Как записывается расстояние между прямыми? [закрыт] / Математика

Знаки больше и меньше — как объяснить знаки неравенства дошкольнику

Работа с ребенком дошкольного возраста — важнейший этап подготовки к дальнейшим учебным нагрузкам. Не заложив фундамент знаний, придется столкнуться со сложностями дальше. После изучения цифр пора приступать к знакам «больше», «меньше» и «равно». Ниже изложены способы, которые могут помочь ребенку запомнить математические символы.

Способ «Голодная птичка»

Нарисуйте птицу или для большей красочности распечатайте изображение на принтере. Рассказ начинается с небольшой истории: «Эта маленькая птичка обожает много кушать. Она всегда выбирает ту кучку, где больше еды».

Далее вам требуется наглядно показать ребенку, что птица открывает клюв в сторону, где предметов больше.

Примеры можно разнообразить, заменив клюв птицы пастью крокодила, щуки, льва либо иного хищника по тому же сценарию.

Но не стоит забывать о случаях, когда количество сравниваемых предметов равное. Если дошкольник заметил — обязательно похвалите, а затем покажите две равные полоски, объяснив, что они столь же одинаковы, как и число предметов по обе стороны. Поэтому знак и называют «равно».

При помощи пальцев

Следующий легкий для понимания ребенка способ — с помощью своих рук. Сложите большой и указательный пальцы правой руки так, чтобы получился уголок — это знак «больше». Проделайте те же действия с левой рукой, чтобы образовать знак «меньше».

Метод более удобен, поскольку ребенку требуется лишь запомнить, какая рука чему соответствует. Дальше в школе ученику будет проще ориентироваться. На начальном этапе можно нарисовать на руках фломастером буквы «Б» и «М» соответственно.

Знак «равно» зачастую не вызывает никаких сложностей у детей для запоминания, поэтому достаточно закрепить результат упражнениями, которые будут приведены дальше.

Графический способ

Данный метод подойдет тем, кто уже прошел обучение одним из вышеперечисленных способов и хорошо ориентируется. Не рекомендуется начинать с него изучение ребенку дошкольного возраста.

Суть заключается в том, что нужно на листе бумаги нарисовать знаки «>» и «<» достаточно большого размера. В первом случае если смотреть слева, то расстояние между линиями достаточно большое — значит, это и есть символ «больше». У второго знака расстояние с левой стороны маленькое, соответственно это и есть «меньше».

Упражнения для закрепления результатов

Чтобы закрепить результат, следует творчески подойти к подбору заданий. Будущий школьник намного охотнее станет применять полученные знания, если не будет осознавать, что это задание.

Предлагаем попрактиковаться на улице, сравнивания предметы: деревья, кусты, цветы, прохожих, животных. В качестве знаков используйте веточки или палочки от мороженного.

Но и дома можно устроить интересные игры. Например, в процессе мытья посуды поставьте на стол перед ребенком две стопки тарелок и попросите показать, какой знак должен стоять между ними. В процессе мытья продуктов разделите их на две группы и снова предложите ребенку определить неравенство. Игровой процесс рекомендуется проводить несколько раз в течение дня, чтобы лучше запомнить.

Для любителей конструктора «Лего» тоже имеется способ практики: создайте две башни с разным количеством деталей, предварительно распечатав либо нарисовав и вырезав знаки «>», «<» и «=». Ребенку требуется поставить правильный знак между башнями.

Когда дошкольник уже достаточно освоится в игре, старайтесь не помогать, если не наблюдается серьезных затруднений, оставляйте минуту-две для размышлений.

Предлагаем решить 5 логико-математических заданий.

1. «Поставь правильный знак»: представлены пары простых чисел, между которыми требуется вписать нужный знак. Например, 4 … 8 либо 2 … 10 (поставить знак «меньше»), 5 … 3 или 8 … 7 (знак «больше»).
2. «Какое число пропущено?»: стоят знаки и число с одной стороны. Ребенок должен догадаться, чем можно заменить пропуск. Например: … < 3 (можно подставить 1, 2 или 0), 4 < … (можно поставить 5, 6 и так далее).
3. «Как поменять цифры, чтобы неравенство стало правильным?» Перед ребенком расположен рисунок, где висят 4 шарика с одной стороны и 2 с другой. Между ними знак «<». Что требуется поменять, чтобы символ стоял правильно?
4. «Откуда убежал предмет?» Справа нарисовано 4 треугольника, а слева — 3 квадрата, между ними стоит знак «=». Какой фигуры не хватает, чтобы равенство было верным?
5. «Больше-меньше». Нарисуйте на листе арбуз и клубнику, бабочку и самолет, дерево и листок. Ребенку нужно показать, какой должен стоять знак.

Изучив рекомендации, вы сможете без проблем помочь своему ребенку освоить необходимый материал, а благодаря примерам будет проще определить, насколько хорошо усвоено обучение.

Математика и логика для детей 7-13 лет

Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате

Презентация по математике для начальных классов «Движение: скорость, время, расстояние»

ДВИЖЕНИЕ: скорость, время, расстояние.

Математика 4 класс

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Движение — езда, ходьба в разном направлении.

Расстояние —

S

Время —

t

V

Скорость —

V

t

S

Расстояние (s)

• Расстояние — это пространство разделяющее два пункта; промежуток между чем-либо.
• Обозначение — S
• Единицы измерения:

мм, см, м, км, шагах

Время (t)

• Время – процесс смены явлений, вещей, событий.

• Обозначение — t
• Единицы измерения:

мин, сек, ч, сутках.

Скорость (V)

• Скоростью — называется расстояние, пройденное в единицу времени (за какое-то время – час, минуту, секунду).
• Обозначение — V
• Единицы измерения:

км/ч, м/с, км/м, …

t

V

S

Основные формулы:

• Чтобы узнать скорость , нужно расстояние разделить на время.

V =S:t

Основные формулы:

• Чтобы узнать время , нужно расстояние разделить на скорость.

t =S:V

Основные формулы и правила:

• Чтобы узнать расстояние , нужно скорость умножить на время.

S =V·t

Черепаха двигалась со скоростью 5 м/мин. Какое расстояние она прошла она за 3 мин?

S

t

V

3 мин

5м/мин

?

3 мин

5м/мин

?

Решение:

S =V·t

5 · 3=15 м

Ответ: черепаха прошла 15 м

Черепаха двигалась со скоростью 5 м/мин. Через какое время она пройдет 15 м?

S

t

V

?

5м/мин

15 м

?

5м/мин

15 м

Решение:

t =S:V

15:5=3 мин

Ответ: черепаха прошла 15 м за 3 мин

Черепаха прошла расстояние 15м за 3 мин?

С какой скоростью она двигалась?

S

t

V

15 м

3 мин

?

?

3 мин

15 м

Решение:

V =S:t

15 · 3=5 м/мин

Ответ: черепаха шла со скоростью 5 м/мин

Соединить картинку со значением скорости.

10 км/ч

4 км/ч

90 км/ч

60 км/ч

900 км/ч

Составь задачу по рисункам и реши их:

8 ч

160 км

1. Выбери правильное утверждение

и подчеркни его.

А) Скорость – это расстояние между двумя точками.

Б) Скорость – это расстояние, пройденное объектом за единицу времени.

В) Скорость – это быстрая езда.

2. Соедини части правила-формулы.

t=

V·t

S=

S:t

V=

S:V

Модули — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Базовые сведения о модуле

К оглавлению…

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

Некоторые методы решения уравнений с модулями

К оглавлению…

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:

• Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
• Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
• Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

как сдать часть 2 ЕГЭ по математике — Учёба.ру

Чем раньше начнешь готовиться к ЕГЭ,
тем выше будет балл Поможем подготовиться, чтобы сдать экзамены на максимум и поступить в топовые вузы на бюджет. Первый урок бесплатно

Татьяна Петрова,

аспирантка механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова,

преподаватель математики учебного центра Challenge

Задание № 9

Выполнить вычисления и преобразования.

Это задача на вычисление значения числового или буквенного выражения. Здесь достаточно уметь выполнять действия с числами и знать определение и простейшие свойства степеней с рациональным показателем, тригонометрических функций, корней n-степени и логарифмов.

Нужно знать базовые формулы и уметь их применять.

Задание № 10

Решить задачу с прикладным содержанием.

Здесь предлагаются задачи прикладного характера, связанные с такими областями науки, как физика, химия, биология. В этом задании можно встретить все типы уравнений и неравенств: линейные, квадратные, степенные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Ваша задача — выразить требуемую величину из заданной формулы.

Внимательно читайте условие и старайтесь его понять. Следите, чтобы единицы измерения были приведены к одному виду. Выражайте ту или иную переменную в общем виде и только потом подставляйте числовые значения. Не спешите считать в лоб, пробуйте сокращать.

Задание № 11

Решить текстовую задачу.

Всего существует шесть типов текстовых задач. Они могут быть на движение, на совместную работу, на проценты, на смеси, растворы и сплавы, на прогрессии, на оптимальный выбор и целые числа. Соответственно, нужно знать основные законы и формулы для каждого типа. Традиционная текстовая задача сводится к составлению уравнения и его решению.

Обратите внимание, что формулы в задачах на движение и на работу очень похожи. Производительность — это аналог скорости. Для задач на смеси и растворы не забывайте формулу концентрации. В качестве неизвестной выбирайте искомую величину. Составленное уравнение будет рациональным и в основном сводится к линейному или квадратному.

Задание № 12

Найти наибольшее или наименьшее значение функции.

Здесь требуется уметь находить производную функции, а также исследовать функцию с помощью производной. Вопрос может быть двух типов: найти точку минимума/максимума функции или найти наибольшее/наименьшее значение функции. Многие школьники не различают этих понятий, а ведь ответ будет совершенно разный. Еще в этом задании мы сталкиваемся с задачей нахождения минимума/максимума на отрезке или на всей действительной прямой. Если вас ограничивают отрезком, то не забывайте находить значения на его концах и сравнивать их с локальными минимумами/максимумами функции на отрезке.

Выучите базовую таблицу производных, а также формулы производной произведения, частного и композиции функций. Помните, что если производная положительна, то функция растет, если производная отрицательна — функция убывает. Когда производная меняет свой знак с плюса на минус, это значит, что мы попали в точку максимума. Если производная поменяла свой знак с минуса на плюс, значит, мы попали в точку минимума.

Задание № 13

Решить тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое уравнение, уравнение с радикалом или смешанное уравнение, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы.

Для решения любого уравнения существует два основных правила. Во-первых, решение всегда должно начинаться с нахождения ОДЗ — области допустимых значений, то есть всех значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Во-вторых, нужно помнить основные методы решения уравнений и уметь применять их. Как правило, решение данной задачи требует замены, позволяющей свести уравнение к квадратному.

Для решения тригонометрических уравнений важно знать формулы приведения и знаки тригонометрических функций на четвертях окружности. Формулы приведения позволяют упростить вычисления, привести сложные аргументы тригонометрических функций к аргументам первой четверти. Помните про мнемоническое правило («правило лошади»), которое позволит вам не заучивать все многообразие формул приведения: если вы откладываете угол от вертикальной оси, то «лошадь говорит вам „да“», то есть кивает головой вдоль оси ординат, тем самым вы меняете функцию. Если вы откладываете угол от горизонтальной оси, то «лошадь говорит вам „нет“», то есть кивает головой вдоль оси абсцисс, следовательно, приводимая функция не меняет своего названия (не забудьте про знак, он совпадает со знаком исходной функции!).

Задание № 14

Решить стереометрическую задачу.

Это задача на построение сечения многогранника и нахождение его площади, а также на нахождение расстояний и углов в пространстве, нахождение объемов различных многогранников и круглых тел (цилиндр, конус, шар). Здесь нужно хорошо владеть формулировками аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства, знать формулы площадей и объемов. Также в этом задании нужно понимать, что такое угол между прямыми, угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями (вспомните, что такое линейный угол двугранного угла).

В этой задаче, как правило, два пункта. В первом пункте нужно либо что-то построить, либо доказать. Для доказательства очень часто используются признаки подобия треугольников и теорема Фалеса. Во втором пункте нужно найти угол, расстояние или площадь. Вспомните основные формулы расстояний: расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя плоскостями. Вы должны знать основные тригонометрические функции, теорему синусов и косинусов, теорему Пифагора и теорему о трех перпендикулярах. Нужно уметь проводить дополнительные построения и владеть координатным и векторным методами.

Задание № 15

Решить тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое (в том числе с переменным основанием) неравенство, неравенство с радикалом, смешанное неравенство, содержащее одновременно логарифмы, модули, радикалы.

Здесь необходимо свести сложное неравенство к простейшему. Часто для этого используются замены показательных и тригонометрических функций (не забывайте про ограничения!). Также нужно знать метод интервалов и метод рационализации для логарифмических, показательных неравенств и неравенств, содержащих модуль.

Метод решения логарифмических неравенств опирается на монотонность логарифмической функции. Помните, что если у логарифма переменное основание, то нужно рассматривать два случая: а) основание лежит в диапазоне от 0 до 1 (функция убывает), б) основание больше единицы (функция возрастает). Если основание переменное, то можно избавиться от перебора случаев, перейдя к новому, постоянному основанию.

В логарифмических неравенствах внимательно следите за областью допустимых значений, применяя формулы действий с логарифмами, она может как расширяться, так и сужаться. И если первую ситуацию легко исправить, то вторая приведет к потере решений, что недопустимо.

Задание № 16

Решить планиметрическую задачу.

Под этим номером может быть два варианта задания. Первый вариант: в задаче два пункта — а и b. В пункте a требуется что-то доказать, в пункте b — что-то найти. Могу сказать, что чаще всего надо начинать решать эту задачу именно с пункта b, а уже решение этого пункта поможет доказать пункт а. Как правило, абитуриентам проще что-то найти, чем доказать.

Второй вариант: задача без подпунктов. Здесь чаще всего скрыт подводный камень: задача требует рассмотрения двух случаев и приводит к двум разным ответам. Например, в условии задачи сказано, что окружности касаются в точке A, но не сказано каким образом, внешним или внутренним. Часто бывает так, что выпускник рисует один рисунок и возможно даже находит правильный ответ. А второй случай он не рассматривает, в результате чего получает ровно половину баллов за это задание.

Необходимое условие для решения этой задачи — хорошее владение теоретическим материалом, например, из классического учебника по геометрии для 7-9 классов (Л.С. Атанасян). Необходимо знать формулировки аксиом и определений, уметь формулировать и доказывать теоремы, признаки, свойства и формулы. Изучите дополнительные методы: метод дополнительного построения, метод подобия, метод замены, метод введения вспомогательного неизвестного, метод удвоения медианы, метод вспомогательной окружности, метод площадей.

Также здесь важен рисунок. 80% успеха геометрической задачи — это правильно нарисованный рисунок. Сделайте большой, хороший, наглядный рисунок, не экономьте на нем место.

И последнее, лайфхак для абитуриента — для решения задач по планиметрии выучите пять формул площади треугольника: через высоту и основание, через две стороны и угол между ними, через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формулу Герона.

Задание № 17

Решить текстовую задачу преимущественно экономического содержания на кредиты, вклады и оптимальный выбор.

Задача на злобу дня, которая появилась на ЕГЭ только в последние годы. Задания на банковские проценты могут быть двух типов: задачи на проценты по вкладам (депозитам) и задачи на проценты по кредитам. Помимо них под этим номером на ЕГЭ могут дать задачу на оптимизацию производства товаров и услуг, в которой необходимо будет либо использовать графическую интерпретацию, либо решать аналитически с помощью производной, чтобы понять, как минимизировать расходы или максимизировать прибыль.

Внимательно читайте условие задачи, вникайте в процедуры выдачи кредита или открытия вклада, которые там описываются. Каждый пункт условия сразу переводите в уравнение. Таким образом вы получите уравнение или систему уравнений, которые вам останется только решить. Чтоб подготовиться, изучите основные схемы кредитования с дифференцированными и аннуитетными платежами. В задачах оптимизации нужно уметь работать с линейными/нелинейными целевыми функциями с целочисленными/нецелочисленными точками экстремумов.

Задание № 18

Решить уравнение или неравенство с параметрами, систему уравнений или неравенств с параметрами.

Эти задачи сложно классифицировать и дать общий алгоритм решения, поскольку каждая из них является нестандартной, но можно изучить основные приемы и методы. Не забывайте про особенности функций: монотонность, непрерывность, четность/нечетность, ограниченность, инвариантность и т. д. Для того чтобы осилить задачу с параметром, необходимо произвести несложные, но последовательные рассуждения и составить логическую схему решения. Самое главное в этом задании — логика.

Чтобы подготовиться к заданиям с параметрами, я рекомендую решать задачи из учебников С.А. Шестакова «Задачи с параметрами», А.И. Козко и В.Г. Чирского «Задачи с параметрами для абитуриентов». Также хочется дать лайфхак для уравнений с двумя неизвестными: как правило, там спрятана геометрическая фигура, построй ее и получишь честное графическое решение.

Задание № 19

Решить задачу на числа и их свойства.

Это самая сложная задача экзамена, олимпиадного уровня, она оценивается в четыре первичных балла. Тем не менее материал для ее решения школьники проходят еще в 6-8 классе. Задание требует хорошего логического мышления и математической культуры.

Повторите основные признаки делимости целых чисел, вспомните понятия «НОК/НОД», выучите формулы арифметической и геометрической прогрессии. «Прорешайте» типовые задания из сборника Г.И. Вольфсона и М.Я. Пратусевича «Арифметика и алгебра». Последние два задания (№ 18 и № 19) — это прямая заявка на 100 баллов.

Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

точка 1, точка 2, точка 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие?

AAA

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку.


Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.


Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

прямая линия AB

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

луч AB

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

прямая линия AB

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ BA✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

треугольники

четырёхугольники: квадрат, прямоугольник, дельтоид, ромб, параллелограмм, трапеция

пятиугольники

Формула расстояния

Вы знаете, что расстояние А B между двумя точками на плоскости с Декартово координаты А ( Икс 1 , у 1 ) а также B ( Икс 2 , у 2 ) дается следующей формулой:

А B знак равно ( Икс 2 — Икс 1 ) 2 + ( у 2 — у 1 ) 2

Формула расстояния на самом деле просто Теорема Пифагора в маскировке.

Чтобы рассчитать расстояние А B между точкой А ( Икс 1 , у 1 ) а также B ( Икс 2 , у 2 ) сначала нарисуйте прямоугольный треугольник с отрезком А B ¯ как его гипотенуза.

Если длины сторон равны а а также б , то по теореме Пифагора

( А B ) 2 знак равно ( А C ) 2 + ( B C ) 2

Решение на расстоянии А B , у нас есть:

А B знак равно ( А C ) 2 + ( B C ) 2

С А C горизонтальное расстояние, это просто разница между Икс -координаты: | ( Икс 2 — Икс 1 ) | .Сходным образом, B C это вертикальное расстояние | ( у 2 — у 1 ) | .

Поскольку мы все равно возводим эти расстояния в квадрат (а квадраты всегда неотрицательны), нам не нужно беспокоиться об этих знаках абсолютного значения.

А B знак равно ( Икс 2 — Икс 1 ) 2 + ( у 2 — у 1 ) 2

Пример:

Найдите расстояние между точками А а также B на рисунке выше.

В приведенном выше примере мы имеем:

А ( Икс 1 , у 1 ) знак равно ( — 1 , 0 ) , B ( Икс 2 , у 2 ) знак равно ( 2 , 7 )

так

А B знак равно ( 2 — ( — 1 ) ) 2 + ( 7 — 0 ) 2 знак равно 3 2 + 7 2 знак равно 9 + 49 знак равно 58

или примерно 7.6 единицы.

1.3: Расстояние между двумя точками; Круги

Даны две точки \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2) \), напомним, что их расстояние по горизонтали друг от друга равно \ (\ Delta x = x_2-x_1 \), а расстояние по вертикали друг от друга \ (\ Delta y = y_2-y_1 \). (На самом деле слово «расстояние» обычно означает «положительное расстояние». \ (\ Delta x \) и \ (\ Delta y \) — расстояний со знаком , но это ясно из контекста.) Фактическое (положительное ) расстояние от одной точки до другой — это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами \ (| \ Delta x | \) и \ (| \ Delta y | \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1 } \).2 = 16. \]

Теперь мы видим, что это круг с радиусом 4 и центром \ ((1, -2) \), который легко построить графиком.

Расстояние между 2 точками

Краткое объяснение

Когда мы знаем расстояния по горизонтали, и по вертикали, между двумя точками, мы можем вычислить расстояние по прямой следующим образом:

расстояние = √ a ² + b ²

Представьте, что вы знаете расположение двух точек (A и B), как здесь.

Какое расстояние между ними?

Мы можем провести линии вниз от A и вдоль от B, чтобы получился прямоугольный треугольник.

И с небольшой помощью Пифагора мы знаем, что:

a ² + b ² = c ²

Теперь отметьте координаты точек A и B.

x _A означает координату x точки A
y _A означает координату y точки A

Горизонтальное расстояние a составляет (x _A — x _B )

Вертикальное расстояние b равно (y _A — y _B )

Теперь мы можем найти c (расстояние между точками):

Начать с: c ² = a ² + b ²

Введите вычисления для a и b: c ² = (x _A — x _B ) ² + (y _A — y _B ) ²

Примеры

Пример 1

Пример 2

Неважно, в каком порядке расположены точки, потому что возведение в квадрат удаляет любые негативы:

Пример 3

А вот еще пример с некоторыми отрицательными координатами… все еще работает:

(при желании √136 может быть дополнительно упрощено до 2√34)

Попробуйте сами

Перетащите точки:

Три или более измерения

Отлично работает в 3 (и более!) Измерениях.

Возвести в квадрат разность для каждой оси, затем просуммировать их и извлечь квадратный корень:

Расстояние = √ [(x _A — x _B ) ² + (y _A — y _B ) ² + (z _A — z _B ) ² ]

Пример: расстояние между двумя точками (8,2,6) и (3,5,7) составляет:

Расстояние между двумя точками — формула, вывод, примеры

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего две заданные точки. Расстояние между двумя точками в координатной геометрии можно рассчитать, найдя длину отрезка линии, соединяющего данные координаты. Давайте поймем формулу для нахождения расстояния между двумя точками в двухмерной и трехмерной плоскости.

Какое расстояние между двумя точками?

Расстояние между любыми двумя точками — это длина отрезка линии, соединяющего точки. Есть только одна линия, проходящая через две точки. Таким образом, расстояние между двумя точками можно рассчитать, найдя длину этого отрезка прямой, соединяющего две точки. Например, если A и B — две точки, и если \ (\ overline {AB} = 10 \) см, это означает, что расстояние между A и B составляет 10 см.

Расстояние между двумя точками — это длина соединяющего их отрезка (но НЕ МОЖЕТ быть длиной соединяющей их кривой).Обратите внимание, что расстояние между двумя точками всегда положительно.

Формула расстояния между двумя точками

Расстояние между двумя точками с использованием заданных координат можно рассчитать, применив формулу расстояния. Для любой точки, заданной на двумерной плоскости, мы можем применить формулу двумерного расстояния или формулу евклидова расстояния, заданную как

Формула расстояния между двумя точками:

Формула для расстояния \ (d \) между двумя точками с координатами \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2 \)):

d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² ]

Это называется формулой расстояния .

Чтобы найти расстояние между двумя точками, заданными в трехмерной плоскости, мы можем применить формулу трехмерного расстояния, заданную как,

d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² + (\ (z_2 \) — \ (z_1 \ )) ² ]

Давайте теперь узнаем, как вывести эту формулу.

Вывод формулы для расстояния между двумя точками

Чтобы вывести формулу для вычисления расстояния между двумя точками на двумерной плоскости, предположим, что есть две точки с координатами, заданными как, A (\ (x_1, y_1 \)) B (\ (x_2, y_2 \))

Далее мы предположим, что отрезок линии, соединяющий A и B, равен \ (\ overline {AB} = d \).Теперь мы нанесем данные точки на координатную плоскость и соединим их линией.

Далее мы построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \ (\ overline {AB} \).

Применение теоремы Пифагора для △ ABC:

AB ² = AC ² + BC ²

d ² = (\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² (Значения с рисунка)

Здесь вертикальное расстояние между заданными точками равно | \ (y_2 \) — \ (y_1 \) |.

Горизонтальное расстояние между заданными точками равно | \ (x_2 \) — \ (x_1 \) |.

d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² ] (извлечение квадратного корня с обеих сторон)

Таким образом, формула расстояния для нахождения расстояния между двумя точками доказана.

Примечание: если две точки A и B находятся на оси x, то есть координаты A и B равны (\ (x_1 \), 0) и (\ (x_2 \), 0) соответственно, тогда расстояние между двумя точками AB = | \ (x_2 \) — \ (x_1 \) |.

Используя аналогичные шаги и концепцию, мы также можем вывести формулу для нахождения расстояния между двумя точками, заданными на трехмерной плоскости.

Как найти расстояние между двумя точками?

Расстояние между двумя точками с использованием заданных координат можно рассчитать с помощью следующих шагов:

• Запишите координаты двух заданных точек на координатной плоскости как A (\ (x_1, y_1 \)) и B (\ (x_2, y_2 \)).
• Мы можем применить формулу расстояния, чтобы найти расстояние между двумя точками, d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² ]
• Выразите данный ответ в единицах.

Примечание: мы можем применить формулу трехмерного расстояния в случае, если две точки заданы на трехмерной плоскости, d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² + (\ (z_2 \) — \ (z_1 \)) ² ]

Пример: Найдите расстояние между двумя точками с координатами A = (1, 2) и B = (1, 5).

Решение:

Расстояние между двумя точками с использованием координат может быть задано как, d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² ], где (\ (x_1, y_1 \)) и (\ (x_2, y_2 \)) — координаты двух точек.

⇒ d = √ [(1 — 1) ² + (5 — 2) ² ]

⇒ d = 3 шт.

Из приведенного выше примера мы также можем заметить, что, когда x-координаты данных точек совпадают, мы можем найти расстояние между двумя точками, найдя разницу между y-координатами.

Расстояние между двумя точками на сложной плоскости

Расстояние между двумя точками на комплексной плоскости или двумя комплексными числами z \ (_ 1 \) = a + ib и z \ (_ 2 \) = c + id в комплексной плоскости — это расстояние между точками (a, b) и (c, d), заданное как,

| z \ (_ 1 \) — z \ (_ 2 \) | = √ [(a — c) ² + (b — d) ² ]

Связанные темы:

Важные примечания относительно расстояния между двумя точками:

• Расстояние d между двумя точками с координатами \ ((x_1, y_1) \) и \ ((x_2, y_2 \)): d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \) ) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² ]
• Расстояние от точки (a, b) от:
  (i) ось x — это | b |.
  (ii) ось y — это | a |.
  Мы использовали знаки абсолютного значения, потому что расстояние никогда не может быть отрицательным.

Часто задаваемые вопросы о расстоянии между двумя точками

Что означает расстояние между двумя точками?

Расстояние между двумя точками определяется как длина прямой линии, соединяющей эти точки в координатной плоскости. Это расстояние никогда не может быть отрицательным, поэтому мы берем абсолютное значение при нахождении расстояния между двумя заданными точками.

Как рассчитать расстояние между двумя точками на 2D-плоскости?

Расстояние между любыми двумя точками, заданными на двумерной плоскости, можно рассчитать, используя их координаты. Расстояние между двумя точками A (\ (x_1, y_1 \)) и B (\ (x_2, y_2 \)) можно рассчитать как, d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² ].

Как найти расстояние между двумя точками на 3D-плоскости?

Чтобы вычислить расстояние между двумя точками на трехмерной плоскости, мы можем применить формулу трехмерного расстояния, заданную следующим образом: d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² + (\ (z_2 \) — \ (z_1 \)) ² ], где ‘d’ — расстояние между двумя точками, а (\ (x_1, y_1, z_1 \)), (\ (x_2, y_2, z_2 \)) — координаты двух точек.

Какое кратчайшее расстояние между двумя точками?

Кратчайшее расстояние между двумя точками можно рассчитать, найдя длину прямой линии, соединяющей обе точки. Мы можем применить формулу расстояния, чтобы найти это расстояние в зависимости от координат, заданных в двух- или трехмерной плоскости.

Как найти расстояние между двумя точками с помощью теоремы Пифагора?

Расстояние между двумя точками на декартовой плоскости можно вычислить, применив теорему Пифагора.Мы можем сформировать прямоугольный треугольник, используя линию, соединяющую данные две точки, в качестве гипотенузы. Здесь перпендикуляр и основание будут прямыми, параллельными осям x и y, с одним концом как одна из заданных точек, а другой конец как их точка пересечения. Используя теорему Пифагора, (гипотенуза) ² = (основание) ² + (перпендикуляр) ² , мы можем найти длину гипотенузы с помощью заданных координат двух точек. Эта длина равна расстоянию между двумя точками.

Какова формула расстояния для определения расстояния между двумя точками в координатной геометрии?

В координатной геометрии формула расстояния между двумя точками задается как, d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² ], где (\ (x_1, y_1 \)), (\ (x_2, y_2 \)) — координаты двух точек. Мы можем применить другую формулу, если данные точки liw в трехмерной плоскости, d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² + (\ (z_2 \) — \ (z_1 \)) ² ], где ‘d’ — расстояние между двумя точками, а (\ (x_1, y_1, z_1 \)), (\ (x_2, y_2 , z_2 \)) — координаты двух точек.

Как вывести формулу для определения расстояния между двумя точками?

Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы получить формулу расстояния между двумя точками. Мы можем принять линию, соединяющую две точки, как гипотенузу прямоугольного треугольника, образованного в декартовой плоскости. Длину гипотенузы можно вычислить с помощью теоремы Пифагора и заданных координат двух точек, чтобы получить формулу расстояния между двумя точками.

Как найти расстояние по вертикали между двумя точками?

Расстояние по вертикали между двумя точками можно найти, вычислив разность y-координат двух точек, т.е.е., расстояние по вертикали между двумя точками, \ (d_y \) = \ (y_2 — y_1 \), где (\ (x_1, y_1 \)), (\ (x_2, y_2 \)) — координаты двух точек .

Как найти евклидово расстояние между двумя точками?

Евклидово расстояние между двумя точками можно рассчитать с помощью следующих шагов:

• Запишите координаты обеих заданных точек как (\ (x_1, y_1 \)) и (\ (x_2, y_2 \)).
• Примените формулу евклидова расстояния, расстояние, d = √ [(\ (x_2 \) — \ (x_1 \)) ² + (\ (y_2 \) — \ (y_1 \)) ² ]
• Выразите данный ответ в единицах.

Формула расстояния | Блестящая вики по математике и науке

Предположим, что A = x1A = x_1A = x1 и B = x2B = x_2B = x2 — две точки, лежащие на прямой действительных чисел. Тогда расстояние между AAA и BBB равно

d (A, B) = ∣x1 − x2∣. d (A, B) = \ lvert x_1 — x_2 \ rvert. d (A, B) = ∣x1 — x2 ∣.

На плоскости мы можем рассматривать ось xxx как одномерную числовую линию, поэтому мы можем вычислить расстояние между любыми двумя точками, лежащими на оси xxx, как абсолютное значение разности их xxx-координат.2} .d (P1, P2) = (x1 — x2) 2+ (y1 — y2) 2.

Поскольку ∣x1 − x2∣ \ lvert x_1 — x_2 \ rvert∣x1 −x2 ∣ — это расстояние между xxx-координатами двух точек и ∣y1 − y2∣ \ lvert y_1 — y_2 \ rvert∣y1 — y2 ∣ — расстояние между yyy-координатами двух точек, формулу расстояния в плоскости xyxyxy можно представить как длину гипотенузы прямоугольного треугольника с вершинами P1 = (x1, y1) P_1 = ( x_1, y_1) P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2), P_2 = (x_2, y_2), P2 = (x2, y2) и P = (x2, y1) P = (x_2, y_1) P = (x2, y1).Тогда формула расстояния — это просто утверждение теоремы Пифагора.

И в 1D, и в 2D функция расстояния удовлетворяет следующим свойствам:

1. d (P, Q) ≥0d (P, Q) \ geq 0d (P, Q) ≥0 для всех точек P, Q P, QP, Q с равенством тогда и только тогда, когда P = QP = QP = Q
2. d (P, Q) = d (Q, P) d (P, Q) = d (Q, P) d (P, Q) = d (Q, P) для всех точек P, QP, QP, Q
3. d (P, Q) ≤d (P, R) + d (R, Q) d (P, Q) \ leq d (P, R) + d (R, Q) d (P, Q) ≤d (P, R) + d (R, Q) для всех точек P, Q, RP, Q, RP, Q, R.

Какое расстояние между точками (0,5) (0,5) (0,5) и (0,13) (0,13) (0,13)?

---

Обратите внимание, что обе эти точки лежат на оси yyy, и поэтому расстояние между точками является абсолютной величиной разности yyy-координат, которая составляет ∣5−13∣ = ∣ − 8∣ = 8.□ \ lvert 5-13 \ rvert = \ lvert -8 \ rvert = 8. \ _ \ Square∣5−13∣ = ∣ − 8∣ = 8. □

Чтобы обобщить вышеупомянутую проблему, если две точки P1 = (x1, y1) P_1 = (x_1, y_1) P1 = (x1, y1) и P2 = (x2, y2) P_2 = (x_2, y_2) P2 = (X2, y2) имеют одинаковую координату xxx, т.е. x1 = x2x_1 = x_2x1 = x2, тогда расстояние между двумя точками равно d (P1, P2) = ∣y1 − y2∣ d (P_1 , P_2) = | y_1-y_2 | d (P1, P2) = ∣y1 −y2 ∣, а отрезок P1P2‾ \ overline {P_1P_2} P1 P2 является вертикальным отрезком.

Аналогично, если P1P_1P1 и P2P_2P2 имеют одинаковую yyy-координату (y1 = y2y_1 = y_2y1 = y2), то d (P1, P2) = ∣x1 − x2∣d (P_1, P_2) = | x_1- x_2 | d (P1, P2) = ∣x1 −x2 ∣, а отрезок P1P2‾ \ overline {P_1P_2} P1 P2 — горизонтальный отрезок.

Найдите площадь прямоугольника в плоскости xyxyxy с вершинами

A = (6, −3), B = (6,7), C = (2,7) и D = (2, −3). A = (6, -3), B = (6, 7), C = (2, 7), \ text {и} D = (2, -3). A = (6, −3), B = (6,7), C = (2,7) и D = (2, −3).

---

Точки AAA и BBB имеют одинаковую xxx-координату, что означает d (A, B) = ∣7 — (- 3) ∣ = 10d (A, B) = \ lvert 7 — (-3) \ rvert = 10d ( A, B) = ∣7 — (- 3) ∣ = 10. Точки BBB и CCC имеют одинаковую yyy-координату, откуда d (B, C) = ∣6−2∣ = 4d (B, C) = \ lvert 6-2 \ rvert = 4d (B, C) = ∣6− 2∣ = 4.Мы проверяем, что точки CCC и DDD имеют одинаковую xxx-координату, а DDD и AAA имеют одинаковую yyy-координату, что означает, что точки действительно являются вершинами прямоугольника.

Тогда площадь прямоугольника равна [ABCD] = AB⋅BC = 4⋅10 = 40. □ [ABCD] = AB \ cdot BC = 4 \ cdot 10 = 40. \ _ \ square [ABCD] = AB⋅BC = 4⋅10 = 40. □

8,2 Расстояние между двумя точками | Аналитическая геометрия

Вам дана следующая диаграмма:

Вычислить длину линии \ (AB \) с точностью до 2 десятичных знаков. 2} \\ & = \ sqrt {\ text {4} + \ text {1}} \\ & = \ sqrt {\ text {5}} \\ & \ приблизительно \ текст {2,24} \ конец {выровнено} \)

На следующем рисунке показаны две точки на декартовой плоскости, \ (A \) и \ (B \).2 & = \ текст {4} \\ х + \ текст {1} & = \ pm \ sqrt {\ text {4}} \\ x & = \ pm \ text {2} — \ text {1} \\ x & = \ text {1} \ text {или} — \ text {3} \ end {align} \)

Теперь у нас есть выбор между двумя значениями для \ (x \). Из диаграммы видно, что подходящее значение для этого вопроса \ (x = \ text {1} \).

Обратите внимание, что в этом случае мы можем использовать диаграмму, чтобы проверить правильность нашего ответа, но мы также можем вычислить расстояние линии \ (AB \) с использованием нашего ответа.

На следующем рисунке показаны две точки на декартовой плоскости, \ (A \) и \ (B \). 2} \\ & = \ sqrt {17} \ end {выровнять *}

Если расстояние между \ (C (0; -3) \) и \ (F (8; p) \) составляет 10 единиц, найдите возможные значения \ (p \).{2}} \\ & = \ sqrt {64 + 36} \\ & = \ sqrt {100} \\ & = 10 \ end {выровнять *}

Решение верное.

Следовательно, \ (p = 3 \) или \ (p = -9 \).

Какова формула определения расстояния?

Расстояние между двумя точками

Если вы вспомните теорему Пифагора, формула расстояния на самом деле является вариацией этой теоремы.

Давайте углубимся в это с помощью точек на графике выше.У нас есть две точки: одна в x1, y1, а другая в x2, y2. Чтобы вычислить расстояние между ними, соедините точки вместе и сформируйте прямоугольный треугольник, который использует две точки в качестве углов. 2

Следовательно, если бы мы вставили точки (x1, y1) и (x2, y2), а затем переместили квадрат на другую сторону уравнения, чтобы он стал квадратным корнем, мы получим формулу для расстояние.

Какова формула расстояния?

d используется для обозначения расстояния в этом случае. Эта формула всегда верна и полезна, когда у вас есть два очка. Если вы знаете, где они находятся на графике, вы можете построить их, а затем нарисовать прямоугольный треугольник, который поможет вам найти длину его гипотенузы. Это использует теорему Пифагора, которую мы узнали еще при изучении геометрии. Гипотенуза — это расстояние, которое вы ищете между двумя точками! Теперь вы узнали, как работает формула расстояния.

При расчете расстояния следует помнить следующее: 1) Следите за тем, чтобы ваши значения x и y не совпадали. Убедитесь, что вы правильно сопоставили их в правильном порядке, так что если вы используете значение x в точке A, сопоставьте его со значением x в точке B при вычитании. Затем для второй части формулы убедитесь, что вы снова используете значение y из точки A, а затем вычитаете значение y из точки B. 2) Перед выполнением возведения в квадрат упростите то, что указано в скобках.Это правильный порядок при решении математических задач, и он верен в формуле расстояния. 3) Не забудьте записать символ квадратного корня. Это хорошая привычка, и если вы оставите ее до конца, вы можете забыть вернуть ее и получить неправильный ответ.

Примеры определения расстояния

Давайте воспользуемся формулой для расчета расстояния с примером вопроса.

Вопрос: какое расстояние между точками A (4,2) и B (6,8)?

Мы знаем, что будем использовать как значения x, так и значения y.Просто подставьте числа в формулу расстояния. Это будет выглядеть примерно так:

Выше мы рассматриваем B как точку 2 и последовательно используем координаты точки 2 перед A в формуле. Не забудьте возвести в квадрат разницу между X и Y, и вы получите число под квадратным корнем.