Знак правило: Разделительный мягкий знак: правила и примеры, русский язык 2 класс

Разделительный мягкий знак: правила и примеры, русский язык 2 класс

Роль мягкого знака в русском языке

Итак, мягкий знак не обозначает и не имеет абсолютно никакого звука. Роль этой буквы в русском языке заключается в другом: она является показателем мягкости согласных звуков на письме, а также выполняет разделительную функцию. Тему «Разделительный мягкий знак» проходят по предмету русский язык во 2 классе.

Мягкий знак — показатель мягкости и формы слова

Мягкий знак используется на письме для смягчения предыдущего согласного звука. Если мы слышим мягкий согласный звук в середине или на конце слова, значит на письме в этом месте после мягкого согласного следует писать мягкий знак: сосулька, восемь, банька, мель.

Также мягкий знак пишется после шипящих на конце некоторых слов для указания на определённую словарную форму. Например, в слове мышь мягкий знак указывает на то, что это имя существительное, в форме женского рода, III склонения.

Разделительный мягкий знак

В качестве разделительного мягкий знак используется на письме для разделения согласной буквы и букв Е, Ё, Ю, Я, И. Это нужно для различения похожих между собой слов. Например, в парах слов семя — семья, налёт — нальёт, Коля — колья именно мягкий знак указывает на то, какое именно слово перед нами.

Разделительный мягкий знак пишут и в некоторых словах иностранного происхождения: шампиньон, бульон, павильон. Правописание таких слов следует запоминать.

Правила написания слов с мягким знаком

Мягкий знак никогда не пишется в абсолютном начале слова и после приставки.

Если мягкий знак используется для указания формы слова (ночЬ, видишЬ, идёшЬ), то он пишется после согласного на конце слова.

Как показатель мягкости Ь пишется после буквы, обозначающей мягкий согласный звук: письмо, деньги, словарь.

Игры с буквами и словами

«Игры с буквами и словами» — это забавное путешествие в мир русского языка! С помощью весёлых стихов и иллюстраций ребята узнают о прописных и строчных буквах, о многозначных словах, о правилах переноса, а также поотгадывают загадки и посмеются вместе с героями этой умной и весёлой книжки!

Правила написания слов с разделительным мягким знаком

1. Разделительный мягкий знак пишется в середине слова перед гласными Е, Ё, Ю, Я, И: вьюга, шью, братья.
2. Разделительный Ь пишется в некоторых словах иностранного происхождения перед буквой О: батальон, почтальон, павильон.
3. Разделительный мягкий знак пишется после согласных в корнях слов: сентябрь, соловьи, дочь.

Методические советы учителям

Для того чтобы учащиеся лучше запоминали новую информацию, рекомендуется использовать наглядный материал. Основные правила сформулированы сжато и логично, структуры в виде схем и таблиц позволяют быстрее ориентироваться в положениях и нормах.

В помощь учителю предлагаем две таблицы с правилами по русскому языку на темы:

• «Роль мягкого языка»,
• «Разделительный твёрдый и мягкий знаки».

Что ещё почитать?

Задания для закрепления темы

Для закрепления или повторения темы «Разделительный мягкий знак» во 2 классе, можно использовать не только стандартные упражнения на пропущенную букву, но и добавить в практикум интересные задания-игры.

«Два столбца»

Задание: разделить слова на два столбика, в первый столбец записать слова, где Ь используется как показатель мягкости, во второй внести слова, где Ь является разделительным. Приведите свои примеры слова с разделительным мягким знаком.

Слова: друзья, лось, заячья, крестьянин, деревья, боль, семья, лягушачьи, серьёзный, букварь, вьюга, польза, лисья, клочья, лень.

Ответ:

«Добавь слово»

Задание: дописать предложение, используя слова с мягким знаком; объяснить, в каких словах разделительный Ь, а в каких — показатель мягкости. Получившиеся слова можно записать в соответствующие столбцы в таблицу из предыдущего задания.

Предложения:

1. Мама, папа, я — счастливая …
2. После петушиной драки во дворе повсюду были …
3. Сегодня на улице плохая погода — весь … идёт …
4. Ястреб расправил …
5. Охотник зарядил своё …
6. Вчера наша кошка поймала …
7. Женя и Вова — закадычные …
8. Сова охотится …
9. Катя пошла в магазин, а … забыла дома
10. На улице громко чирикали …

Ответы:

1. Мама, папа, я — счастливая семья.
2. После петушиной драки во дворе повсюду были перья.
3. Сегодня на улице плохая погода — весь день идёт дождь.
4. Ястреб расправил крылья.
5. Охотник зарядил своё ружьё.
6. Вчера наша кошка поймала мышь.
7. Женя и Вова — закадычные друзья.
8. Сова охотится ночью.
9. Катя пошла в магазин, а деньги забыла дома.
10. На улице громко чирикали воробьи.

Слова с разделительным мягким знаком: семья, перья, крылья, ружьё, друзья, ночью, воробьи.

Слова, где Ь — признак мягкости: день, дождь, мышь, деньги.

«Всем сестрам по серьгам»

Задание: преобразовать словосочетания по типу «шерсть кошки — кошачья шерсть». Для удобства можно записывать слова в таблицу, где в первом столбце будут данные словосочетания, а во втором — новые получившиеся .

Словосочетания:

1. шубка лисы
2. стая волка
3. икра рыбы
4. кваканье лягушек
5. рога оленя
6. берлога медведя
7. шерсть овцы
8. уши зайца
9. молоко козы
10. карканье вороны

Ответы:

1. лисья шубка
2. волчья стая
3. рыбья икра
4. лягушачье кваканье
5. оленьи рога
6. медвежья берлога
7. овечья шерсть
8. заячьи уши
9. козье молоко
10. воронье карканье

Наглядные материалы к уроку

«Создай фамилию»

Задание: образовать от данных имён фамилии. Для удобства можно записывать слова в таблицу, где в первом столбце будут записаны имена, а во втором — получившиеся фамилии.

Имена: Григорий. Евгений, Юрий, Василий, Арсений, Афанасий, Макарий, Аркадий, Анатолий.

Ответы:

Урок 58.

Русский язык. 2 класс.

Урок 58. Разделительный мягкий знак

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Правописание слов с разделительным мягким знаком.
2. Правила переноса слов с разделительным мягким знаком.
3. Различение разделительного мягкого знака и мягкого знака-показателя мягкости.

Глоссарий по теме:

Разделительный мягкий знак пишется в корне слова и отделяет согласную букву от гласных букв Е, Ё, Ю Я,И.

Мягкий знак – показатель мягкости – это буква, которая не обозначает звуков, а только указывает на мягкость предшествующего согласного звука.

Основная и дополнительная литература по теме урока

Канакина В. П., Горецкий В. Г. Русский язык. Учебник. 2 класс. В 2 ч. Ч. 2. — М.: Просвещение, 2018. – С. 31 – 38.

Канакина В. П. Русский язык. Рабочая тетрадь. 2 класс. В 2 ч. Ч. 2. — М.: Просвещение, 2018. – С. 19-22.

Канакина В.П., Щеголёва Г.С. Русский язык. 2 класс. Контрольные работы. В 2 ч. Ч. 2. – М.: Просвещение, 2018. — С. 41 — 45.

Канакина В. П. Русский язык. 2 класс. Тетрадь учебных достижений. – М.: Просвещение, 2017. – С. 50 — 51.

Канакина В. П. Русский язык. Раздаточный материал. Пособие для учащихся. 2 класс. – М.: Просвещение, 2018. — С. 41.

Тихомирова Е .М. Тренажёр по русскому языку к учебнику В.П. Канакиной, В. Г. Горецкого «Русский язык. 2 класс. В 2 ч.» ФГОС ( к новому учебнику) – М.: Издательство «Экзамен», 2018. — С.61-64.

Тихомирова Е. М. Тесты по русскому языку. 2 класс. В 2 ч. Ч. 2: к учебнику В.П. Канакиной, В. Г. Горецкого «Русский язык. 2 класс. В 2 ч. Ч. 1.» ФГОС ( к новому учебнику) – М.: Издательство «Экзамен», 2017. — С. 22 — 29.

Русский язык: предварительный контроль: текущий контроль: итоговый контроль: 2 класс: учебное пособие для общеобразовательных организаций / О. Е. Курлыгина, О. О. Харченко. – М.: Просвещение: УчЛит, 2018. — С. 64-68.

Открытые электронные ресурсы по теме урока

Канакина В. П. и др. Русский язык. 2 класс. Электронное приложение. — М.: Просвещение, 2011. Ссылка для скачивания: http://catalog.prosv.ru/attachment/ca950bac-d794-11e0-acba-001018890642.iso

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Многие люди думают, что живут в мире обычных вещей. А между тем, если только присмотреться … То даже в алфавите можно увидеть театральную труппу, а в буквах — искусных актёров. Они разыгрывают на сцене книжных страниц разнообразнейшие пьесы. Одни едва справляются с одной ролью. А у других их столько, что они не сходят с книжных театральных подмостков ни на одну строчку!

Среди этих «трудяжек» есть и такие, которые даже не обозначают звуков, но без них всё равно не обойтись. Догадались, о какой букве речь? Конечно, это мягкий знак!

То, что эта буква не обозначает звука и только указывает на мягкость предшествующего согласного, вам известно давно. А вот какие у неё ещё роли?

Давайте разберёмся. Для этого тоже возьмём на себя роль – роль исследователей. Проведём эксперимент со словами. По правилам в любом эксперименте должна быть гипотеза, то есть предположение. У нашего эксперимента тоже есть гипотеза. Мы с вами предположим следующее: у мягкого знака только одна роль — указывать на мягкость предшествующего согласного звука. Если убрать мягкий знак, то мягкий согласный звук заменит парный ему твёрдый согласный.

Для эксперимента подберём несколько слов с мягким знаком. Первая группа слов: мягкий знак в середине слова – коньки, мальчик. Вторая группа: мягкий знак на конце слова – окунь, моль. Третья группа: мягкий знак не совсем на конце слова — после него следует гласная буква: солью, колья.

Итак, уберём мягкий знак в словах первой группы. Коньки – конки, мальчик – малчик. Рассмотрите транскрипцию этих слов: [коН′к′и] — [коНк′и], [маЛ′ч′ик] – [маЛч′ик] . С исчезновением мягкого знака, одни и те же буквы стали обозначать теперь другие парные по мягкости – твердости звуки. [коН′к′и] — [коНк′и]. Звук [Н′] поменялся на звук [Н]. [маЛ′ч′ик] – [маЛч′ик]. Звук [Л′] уступил место звуку [Л]. В значении слов тоже произошли изменения. Коньки – спортивный инвентарь. Конки – городские железные дороги с лошадьми, предшественницы трамваев. Мальчик – ребенок, будущий мужчина. Слово малчик вообще не имеет значения.

Уберём мягкий знак во второй группе слов. Окунь – окун, моль – мол. Рассмотрим транскрипции этих слов: [окуН′] – [окуН] , [моЛ′] – [моЛ]. Так же, как и в предыдущей группе слов, с исчезновением мягкого знака, одни и те же буквы стали обозначать другие парные по мягкости – твердости звуки. [окуН′] – [окуН] Звук [Н′] поменялся на звук [Н]. [моЛ′] – [моЛ]. Звук [Л] встал на место звука [Л′]. Это так же повлияло на значение слов. Моль – мелкая бабочка, гусеница которой является вредителем. Мол — сооружение в порту для защиты судов от морских волн. Окунь – пресноводная рыба с красноватыми нижними плавниками. Окун – значение потерялось.

Может и с третьей группой слов будет то же самое? Больше экспериментировать не нужно? Нет! У настоящих учёных гипотеза требует многократного подтверждения. Поэтому продолжаем работать!

Итак, третья группа слов: мягкий знак не совсем на конце слова, после него следует гласная буква. Солью — солю, колья – Коля. Как и в первых двух случаях, когда мы убрали мягкий знак, значение слов изменилось. Солью — действие по удалению жидкости. Солю — действие по добавлению соли. Колья – заостренные палки. Коля — мужское имя

Но посмотрите на звуковые схемы! Мягкий согласный звук не заменил парный ему твёрдый согласный, как мы с вами предполагали!

Присмотритесь к транскрипциям этих слов: [саЛ′й′у] — [саЛ′у], [коЛ′й′а] – [коЛ′а]. Работу мягкого знака взяли на себя гласные буквы Ю и Я. Правда им при этом пришлось расстаться со звуком [Й′] – с исчезновением мягкого знака он тоже пропал.

Значит, наша гипотеза неверна? Мягкий знак не только указывает на мягкость предшествующего согласного, а выполняет ещё какую-то работу? Да, это так. Наша гипотеза не подтвердилась, но мы сделали открытие!

В таких словах как солью и колья, главная задача мягкого знака отделить согласную букву от гласной. Только при этом условии у гласной буквы появляется возможность обозначать два звука – согласный звук [Й′] и последующий гласный звук.

Такой мягкий знак стали называть уже не показателем мягкости, а разделительным мягким знаком.

В некоторых словах, где есть разделительный мягкий знак, предшествующий согласный звук вовсе не мягкий, а твёрдый. Произнеси и прислушайся: вьюга, бью, ружьё, вьюнок. Буквы, стоящие перед мягким знаком обозначают твёрдый согласный звук.

Понаблюдав за большим количеством слов, учёные-языковеды выяснили, что разделительный мягкий знак от согласных отделяет не все гласные, а только Е, Ё, Ю, Я, И

Запомните правило! Разделительный мягкий знак пишется в корне слова после согласных букв перед гласными буквами Е, Ё, Ю, Я, И. Разделительный мягкий знак — это орфограмма.

Как же не пропустить эту орфограмму в словах?

Вот алгоритм правописания разделительного мягкого знака.

Шаг 1. Произнеси слово.

Шаг 2. Определи, есть ли в нём звук [Й′].

Шаг 3. Определи, какие звуки слышатся до и после звука [Й′].

Шаг 4. Если перед звуком [Й′] слышится согласный звук, а после — гласный звук, то пиши разделительный мягкий знак.

Если запомните этот алгоритм и будете его применять, то ошибок в правописании разделительного мягкого знака не будет. Но надёжнее всего проверять правописание слов с разделительным мягким знаком по орфографическому словарю. Он всегда будет вашим добрым другом в безбрежном море орфограмм русского языка.

Слова с разделительным мягким знаком нужно переносить так же, как и слова с мягким знаком – показателем мягкости.

Запомните! Разделительный мягкий знак при переносе слова не отделяется от буквы, которая стоит перед ним. Например, при переносе слова вьюнок, часть вью- мы оставим на строчке, а часть -нок перенесём. При переносе слова перья часть пе- оставим на строке, а часть -рья перенесём.

Очень непросто научиться правильно писать слова с разделительным мягким знаком. Вас часто в них будут подстерегать ошибки. Но если вы будете пользоваться теми знаниями, с которыми встретились на этом уроке, то вас ждёт успех! Кому ум служит, тот ни о чём не тужит!

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание. Поставьте слова в таблицу.

Определите, какой мягкий знак записан в словах. Расставьте слова в соответствующий столбец таблицы.

ОКУНЬКИ, ОСЕНЬЮ, ПЛАТЬЕ, СЕМЬЯ, ВЬЮГА, УЧИТЕЛЬ, ЖИЛЬЁ, КОНЬКИ, СЧАСТЬЕ, ПТИЧЬИ, КРЫЛЬЦО, ПАЛЬТО, ХЛОПЬЯ

Подсказка: Вспомни, в каких случаях в словах русского языка пишется разделительный мягкий знак. Определи, в каких из предложенных слов, пишется разделительный мягкий знак, а в каких мягкий знак – показатель мягкости.

Правильный ответ:

Задание. Отметьте пословицы.

Прочитайте пословицы. Вставьте в пропуски мягкий знак, если это необходимо. Определите, какой мягкий знак вы вставили. Отметьте пословицы, в словах которых вставили только разделительный мягкий знак.

Учен__е — свет, а неучен__е — т__ма.

Курит__ — здоров__ю вредит__.

Книга в счаст__е украшает, а в несчаст__е утешает.

Февраль силен метел__ю, а март — капел__ю.

Подсказка: Вспомни, в каких случаях в словах русского языка пишется разделительный мягкий знак, а в каких – мягкий знак –показатель мягкости.

Правильный ответ:

Ученье — свет, а неученье — тьма.

Курить — здоровью вредить.

Книга в счастье украшает, а в несчастье утешает.

Февраль силен метелью, а март — капелью.

«Ь» и «Ъ» разделительные знаки (примеры)

Разделительный мяг­кий знак пишет­ся внут­ри сло­ва, но не после при­став­ки, перед бук­ва­ми «е», «ё», «ю», «я».

Твердый знак пишет­ся после рус­ских и ино­языч­ных при­ста­вок, закан­чи­ва­ю­щих­ся на соглас­ный, и в слож­ных словах.

В какой части слова пишется разделительный мягкий знак?

Разделительный мяг­кий знак пишет­ся в сере­дине слов, как пра­ви­ло, меж­ду опре­де­лен­ны­ми мор­фе­ма­ми. Уточним, где имен­но пишет­ся этот гра­фи­че­ский знак.

Он может быть написан:

1. в корне слова:

• пье­де­стал
• вьюга
• пор­тьера
• подьячий
• ком­пью­тер
• обе­зьяна
• барьер.

2. Между кор­нем и суф­фик­сом или окон­ча­ни­ем слова:

• воробьиный
• соловьиный
• оже­релье
• предплечье.

3. Учтём, что при скло­не­нии при­тя­жа­тель­ных при­ла­га­тель­ных в кос­вен­ных паде­жах появ­ля­ет­ся раз­де­ли­тель­ный мяг­кий знак:

• раз­бой­ничий   — раз­бой­ничьего, раз­бой­ничьему, раз­бой­ничьим, о раз­бой­ничьем.

4. В ино­языч­ных сло­вах (фран­цуз­ско­го про­ис­хож­де­ния) перед бук­вой «о» пишет­ся раз­де­ли­тель­ный мяг­кий знак, например:

• поч­та­льон
• бульон
• меда­льон
• каньон
• коти­льон
• бата­льон
• пави­льон
• ком­па­ньон

Дополнительный мате­ри­ал

Где в слове пишется твердый знак?

Разделительный твер­дый знак пишет­ся в сло­вах после рус­ских при­ста­вок, окан­чи­ва­ю­щих­ся на соглас­ный звук, перед началь­ны­ми бук­ва­ми кор­ня сло­ва «е», «ё», «ю», «я», напри­мер:

Значит, в сло­вах «саги­ти­ро­вать», «про­эк­за­ме­но­вать»,» пред­ок­тябрь­ский», «возал­кать», «меж­этаж­ный», «изу­кра­шен­ный», «сэко­но­мить» и т.п. не пишем раз­де­ли­тель­ный твер­дый знак по той про­стой при­чине, что кор­ни слов начи­на­ют­ся с букв «а», «о», «у», «э».

Источник изоб­ра­же­ния: абв-стенд.рф

Твердый знак в сложных словах

Твердый знак раз­де­ля­ет кор­ни в слож­ных сло­вах с началь­ны­ми эле­мен­та­ми двух-, трех-, четырёх- при усло­вии, что вто­рой корень име­ет в нача­ле бук­вы «е», «ё», «ю», «я», напри­мер:

• двухъ­языч­ный
• трёхъ­ярус­ный
• трёхъ­ём­кост­ный
• четы­рёхъ­яр­до­вый

В сло­вах «трех­ос­ный», «двух­ас­пект­ный», «четы­рёхо­ру­дий­ный» «ъ» не напи­шем: нет началь­ных букв кор­ня «е», «ё», «ю», «я».

Твердый знак в иноязычных словах

В ино­языч­ных сло­вах с при­став­ка­ми, окан­чи­ва­ю­щи­ми­ся на соглас­ный (аб-, ад-, диз-, ин-, интер-, кон-, контр-, об-, суб-, транс-, пан-) перед кор­нем с теми же началь­ны­ми бук­ва­ми «е», «ё», «ю», «я» пишет­ся раз­де­ли­тель­ный твер­дый знак, например:

• субъ­ект
• инъ­ек­ция
• дизъ­юнк­ция
• конъ­юнк­ту­ра
• объ­ект
• панъ­ев­ро­пей­ский
• адъ­юнкт
• абъ­юра­ция
• трансъ­ев­ро­пей­ский

В заим­ство­ван­ном сло­ве «фельдъ­егерь» напи­шем раз­де­ли­тель­ный ъ.

Дополнительный мате­ри­ал

Видеоурок «Русский язык 2 класс. Написание разделительных Ь и Ъ»

Мягкий знак — правила написания

Мягкий знак – это одна из двух букв русского алфавита, которая не передает никакого звука. Служит она для того, чтобы на письме обозначать мягкость согласных. Так уж сложилось в системе русского языка, что все согласные можно разделить на мягкие и твердые.

Причем, некоторые фонемы могут реализовываться в разных словах и как мягкие, и как твердые, например:

• Торт и термит: фонема «т» в первом слове реализована твердым звуком «т», во втором – мягким; кобра – кит, барсук – белый, маска – мишка и т.д.

Однако есть фонемы, которые всегда:

а) Только твердые: «ж», «ш», «ц». Эти фонемы не имеют парных мягких;

б) Только мягкие: «ч», «щ», «й». Эти фонемы не имеют парных твердых.

Остальные, как уже было сказано выше, могут быть и мягкими, и твердыми – все зависит от слов, в которых эти фонемы реализуются.

На письме мягкость согласных обозначается двумя способами:

а) Написанием следом за ними букв, обозначающих гласные звуки, «и», «е», «я», «ю», «ё»;

б) Написание следом за ними мягкого знака.

Итак, мягкий знак используется для обозначения на письме мягкости предшествующих ему согласных.

Существуют три основные позиции:

• На конце слова: конь, тетрадь, пень, читать, выписать, лошадь, семь и т.д.;
• В середине слова перед твердой согласной: письмо, кобальт, резьба, косьба, возьму, Вязьма, стрельба, весьма и т.д.;
• После мягкого согласного «л» перед всеми остальными звуками в словах типа: больно, вельми, мальчик, пальчик, нельзя и т.д.

Примечание. Разделительный мягкий знак пишется перед йотированными гласными «е», «ё», «ю», «я» не только для отделения предшествующей согласной от йота, но и для того, чтобы показать двойственность этих гласных. Например, в слове «вьюга» разделительный «ь» выполняет обе функции: отделяет согласный «в» от следующего за ним согласного «й» (йота) и указывает на то, что буква «ю» здесь передает сразу два звука: «й» и «у». То же самое касается слов «вьюн», «курьер», «семья», «ружье», «воробьиный» и др.

Мягкий знак не пишется в буквосочетаниях «чк», «чн», «нч», «нщ», «рщ», «щн», «ст», «нт»:

• Дочка, ночной, пончик, каменщик, спорщик, помощник, мостик, фантик.

Примечание. Мягкий знак пишется в некоторых словах иностранного происхождения перед гласным «О»:

• Бульон, батальон, гильотина, компаньон, миньон, карманьола, павильон, почтальон, шампиньон.

Однако, в слове «жульен» мягкий знак пишется перед «е». Написание таких слов нужно просто запомнить.

Твёрдый и мягкий знак. Разделительный Ъ и Ь

Буквы  Ъ  и  Ь  (твёрдый и мягкий знак) не обозначают звуков, они используются в письменной речи для указания правильного произношения слов. Сравните:

вюга – вЬюга,

подезд – подЪезд.

Разделительный твёрдый знак

Буква  Ъ  используется только в качестве разделительного знака. Пишется твёрдый знак после приставок, оканчивающихся на согласную букву, за которыми следует гласная  Е,  Ё,  Ю  или  Я.  Например:

объяснение,  съёжиться,  въезжать.

Разделительный твёрдый знак пишется в сложных словах, первую часть которых образуют числительные  ДВУХ-,  ТРЁХ-  и  ЧЕТЫРЁХ-,  за которыми следует гласная  Е,  Ё,  Ю  или  Я.  Например:

двухъярусный,  четырёхъядерный,

но

двухэтажный,  трёхочковый.

Разделительный  Ъ  используется для того, чтобы при произношении слов согласная буква не сливалась с гласной.

Твёрдый знак не пишется:

1. Перед гласными  А,  О,  У,  Э.  Например:

   безаварийный,  подоконник,  подучить,  сэкономить.

2. В сложносокращённых словах. Например:

   детясли (детские ясли).

Обозначение мягкости согласных

В письменной речи в середине и на конце слов буква  Ь  обозначает мягкость предшествующего согласного звука. Например:

деньги,  путь,  тюльпан.

Для обозначения мягкости согласных мягкий знак пишется:

1. На конце слов:

   день,  вертеть,  дождь.

2. В середине слова после мягкого согласного, стоящего перед твёрдым:

   больше,  женьшень,  письмо.

3. В середине слова после мягкого согласного, стоящего перед мягким  Г,  К,  Б  или  М  в том случае, если при изменении слова  Г,  К,  Б  или  М  становится твёрдым:

   серьги – серьга,

   письменный – письмо.

4. В середине слова после мягкой  Л,  перед любой согласной буквой:

   львёнок,  льстить,  польза.

   Но между двумя  Л,  идущими друг за другом —  ЛЛ,  мягкий знак не пишется:

   иллюминатор,  аллея,  иллюзия.

Мягкий знак в середине слова не пишется:

1. В сочетаниях  ЗН,  НТ,  СН,  ЗД,  СТ:

   казнить,  карантин,  краснеть,  здесь,  кости.

2. В сочетаниях с  Ч  и  Щ  со всеми согласными буквами, кроме  Л:

   ночной,  закончить,  счёт;

   болельщик,  мальчик.

Сочетания  ЧК,  ЧН,  ЧТ,  НЧ,  НЩ,  РЩ,  ЩН  пишутся без мягкого знака.

Пример.

свечка,  точный,  почта,  клянчить,  каменщик,  сборщик,  мощный.

Разделительный мягкий знак

Буква  Ь  используется в словах в качестве разделительного знака. Пишется мягкий знак внутри слов после согласных, за которыми следует гласная  Е,  Ё,  И,  Ю  или  Я.  Например:

колье,  льёт,  соловьи,  вьюга,  звенья.

При произношении слов с разделительным мягким знаком всегда слышится звук  [й’].  Разделительный  Ь  указывает на то, что буквы  Е,  Ё,  И,  Ю,  Я  обозначают два звука:

Е [й’э],   Ё [й’о],   И [й’и],   Ю [й’у],   Я [й’а].

Разделительный  Ь  не пишется после приставок.

Примечание: разделительный мягкий знак пишется в некоторых словах иностранного происхождения перед буквой  О:

почтальон,  бульон,  батальон,  медальон,  шампиньон.

Разделительный  Ь  используется для того, чтобы при произношении слов согласная буква не сливалась с гласной.

Товарные знаки, знаки обслуживания, географические указания и наименования места происхождения товаров

Товарный знак (ТЗ) — обозначение, служащее для индивидуализации  товаров юридических лиц или индивидуальных предпринимателей (статья  1477 ГК РФ). В качестве товарных знаков могут быть зарегистрированы  словесные, изобразительные, объемные и другие обозначения или их комбинации  (статья  1482 ГК РФ).

Знак обслуживания (ЗО) — обозначение, служащим для индивидуализации выполняемых юридическими лицами либо индивидуальными предпринимателями работ или оказываемых ими услуг. Правила Гражданского Кодекса Российской Федерации о товарных знаках соответственно применяются к знакам обслуживания (статья  1477 ГК РФ).

Коллективный знак (КЗ) — товарный знак, предназначенный для обозначения товаров, производимых или реализуемых входящими в данное объединение лицами и обладающих едиными характеристиками их качества или иными общими характеристиками. Коллективным знаком может пользоваться каждое из входящих в объединение лиц (статья  1510 ГК РФ).

Географическое указание (ГУ) — обозначение, идентифицирующее происходящий с территории географического объекта товар, определенное качество, репутация или другие характеристики которого в значительной степени связаны с его географическим происхождением (характеристики товара). На территории данного географического объекта должна осуществляться хотя бы одна из стадий производства товара, оказывающая существенное влияние на формирование характеристик товара (ст. 1516 ГК РФ).

Наименование места происхождения товара (НМПТ) — обозначение,  представляющее собой либо содержащее современное или историческое,  официальное или неофициальное, полное или сокращенное наименование страны,  городского или сельского поселения, местности или другого географического  объекта, а также обозначение, производное от такого наименования и ставшее  известным в результате его использования в отношении товара, особые свойства  которого исключительно или главным образом определяются характерными для  данного географического объекта природными условиями и (или) людскими  факторами (статья  1516 ГК РФ).

Архив

Правила знаков

Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.

Рассмотрим подробней основные правила знаков.

Деление.

Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».

Умножение.

Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».

Вычитание и сложение.

Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.

Правило знака Декарта (Алгебра 2, Полиномиальные функции) — Mathplanet

Знаковое правило Декарта используется для определения количества действительных нулей полиномиальной функции.

Он говорит нам, что количество положительных действительных нулей в полиномиальной функции f (x) такое же или меньше, чем на четные числа, как количество изменений знака коэффициентов. Количество отрицательных действительных нулей f (x) равно количеству изменений знака коэффициентов членов f (-x) или меньше этого числа на четное число.{2} + x-6 \\ $$

Наша функция упорядочена в порядке убывания переменной, иначе нам пришлось бы сделать это в качестве первого шага. Во-вторых, мы подсчитываем количество изменений знака для коэффициентов f (x).

Вот коэффициенты нашей переменной в f (x):

$$ 1 \; \; \; + 4 \; \; \; — 3 \; \; \; + 1 \; \; \; — 6 $$

Наши переменные меняются от положительного (1) до положительного (4), от отрицательного (-3), от положительного (1) до отрицательного (-6).

Между первыми двумя коэффициентами нет изменений знаков, но между вторым и третьим у нас есть первое изменение, затем между третьим и четвертым у нас есть второе изменение, а между нашими коэффициентами 4 ^-го и 5 ^-го мы имеем третье изменение коэффициентов.{2} -x-6 $$

Здесь мы видим, что у нас есть две смены знаков, следовательно, у нас есть два отрицательных нуля или меньше, но четное количество нулей.

Всего у нас 3 или 1 положительных нуля или 2 или 0 отрицательных нулей.

правил знаков — математика дыхания

Число — математический объект, используемый для измерения, маркировки и других математических операций. Основные математические операции — это сложение, вычитание, умножение и деление.

Дополнение:

Добавление двух целых чисел — это общая сумма этих количеств вместе.

Дополнение пишется со знаком плюс «+» между терминами; то есть в инфиксной записи. Результат обозначается знаком равенства. Например,

(«один плюс один равняется двум»)

(«два плюс два равно четыре») и т. Д.

ПРАВИЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЗНАКОВ:

Если знаки такие же, добавить и оставить знак прежним:

Случай 1: Если знак обоих чисел положительный, результат будет иметь положительный знак.

Например:

(а) (+3) + (+6) = (+9)

(б) (+18) + (+2) = (+20) и т. Д.,

Случай 2: Если знаки o оба числа отрицательны, результат будет иметь отрицательный знак.

Например:

(в) (-3) + (-6) = (-9)

(г) (-18) + (-2) = (-20) и т. Д.,

Если знаки разные, то вычесть и оставить знак большего значения.

Случай 1: Если знак большего значения используется положительным знаком, то результат будет иметь положительный знак.

Например:

(д) (+6) + (-3) = (+3)

(ж) (-2) + (+18) = (+16)

Случай 2: Если знак большего значения используется отрицательным знаком, то результат будет иметь отрицательный знак.

Например:

(д) (-6) + (+3) = (-3)

(ж) (+2) + (-18) = (-16)

ВЫЧИСЛЕНИЕ:

Вычитание — это операция удаления объектов из коллекции. Он пишется со знаком «-» между терминами. Результат обозначается знаком равенства. Например,

2 — 1 = 1 («два минус один равняется 1»)

5 — 3 = 2 («пять минус три равно два») и т. Д.

ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАКА:

Например,

Пр. 2: (-10) — (+8)

= (-10) + (-8) = (-18) [Изменил знак с (+8) на (-8), затем следовал правилу добавления знаков]

Пр. 3: (-10) — (-8)

= (-10) + (+8) = (-2) [Изменил знак с (-8) на (+8), затем следовал правилу добавления знаков]

Пр. 4: (+10) — (-8)

= (+10) + (+8) = (+18) [Изменил знак с (+8) на (-8), затем следовал правилу добавления знаков]

Пр. 5: (+10) — (+8)

= (+10) + (-8) = (+2) [Изменил знак с (+8) на (-8), затем следовал правилу добавления знаков]

Умножение:

Умножение можно рассматривать как повторное сложение; то есть умножение двух чисел эквивалентно сложению такого количества копий одного из них, множителя , и значения другого, множителя .

«Обычно множитель записывается первым, а множитель — вторым».

Умножение записывается со знаком «х» между членами. Результат обозначается знаком равенства. Например,

2 х 1 = 2

5 х 3 = 15.

Например, 4, умноженное на 3 (часто записывается как 3 x 4 и называется «3 умножить на 4»), можно вычислить, сложив 3 копии 4 вместе:

3 х 4 = 4 + 4 + 4 = 12

ПРАВИЛО ЗНАКА УМНОЖЕНИЯ:

ЕСЛИ ЗНАКИ ОДИНАКОВЫЕ, НЕСКОЛЬКО И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ЗНАК.

Случай 1: Если знаки положительные, умножьте и поставьте положительный знак.

Например:

(а) (+3) х (+6) = (+18)

(б) (+10) х (+2) = (+20)

Случай 2: Если знаки отрицательные, умножьте их и поставьте положительный знак.

Например:

(а) (-3) х (-6) = (+18)

(б) (-10) х (-2) = (+20)

ЕСЛИ ЗНАКИ ОТЛИЧАЮТСЯ, МНОЖЕСТВЕННО И ПОСТАВЛЯЙТЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ЗНАК, НЕ ОТВЕТСТВЕННЫЙ ЗНАЧЕНИЮ НОМЕРА.

Например:

(а) (+3) х (-6) = (-18)

(б) (-3) х (+6) = (-18)

РАЗДЕЛ:

Деление противоположно умножению. Пишется с использованием знака «÷ или /» между терминами. Результат обозначается знаком равенства.

Когда мы знаем факт умножения, мы можем найти деление факт:

ПРАВИЛО ЗНАКА ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ:

ПРАВИЛО ЗНАКА РАЗДЕЛЕНИЯ ТАКОЕ, КАК УМНОЖЕНИЕ, ПОЭТОМУ СОБЛЮДАЙТЕ ПРАВИЛА ЗНАКА УМНОЖЕНИЯ.

Например:

^{(a) (-15)} / ₃ = (-5) [Правило знака умножения: если знаки разные, поставить знак минус]

^{(b) (15)} / _(-3) = (-5) [Правило знака умножения: если знаки разные, поставить знак минус]

^{(c) (-15)} / _(-3) = (+5) [Правило знака умножения: если знаки одинаковые, то ставьте знак плюс]

^{(d) (+15)} / ₍₊₃₎ = (+5) [Правило знака умножения: если знаки одинаковые, то поставить знак плюс]

Нравится:

Нравится Загрузка. ..

Правило знаков Декарта | Purplemath

Purplemath

Правило знаков Декарта — полезный помощник для нахождения нулей многочлена, предполагая, что у вас нет графика для просмотра. Эта тема не так полезна, если у вас есть доступ к графическому калькулятору, потому что вместо того, чтобы выполнять угадывание и проверку, чтобы найти нули (с помощью теста рациональных корней, правила знаков Декарта, синтетического деления и других инструментов ), вы можете просто посмотреть картинку на экране.Но если вам нужно его использовать, Правило на самом деле довольно простое.

• Используйте Правило знаков Декарта, чтобы определить количество действительных нулей:

  
  f ( x ) = x ⁵ — x ⁴ + 3 x ³ + 9 х ² — х + 5

Правило знаков Декарта не скажет мне, где находятся нули многочлена (мне нужно будет использовать тест рациональных корней и синтетическое деление или нарисовать график, чтобы на самом деле найти корни ), но Правило скажет мне сколько корней я могу ожидать и какого типа.

MathHelp.com

Сначала я посмотрю на многочлен в его нынешнем виде, не меняя знака на x .Это случай положительного корня:

f ( x ) = x ⁵ — x ⁴ + 3 x ³ + 9 x ² — x + 5

Игнорируя фактические значения коэффициентов, я затем смотрю на знаки этих коэффициентов:

f ( x ) = + x ⁵ — x ⁴ + 3 x ³ + 9 x ² — x + 5

Начиная это домашнее задание, я проведу маленькие линии внизу, чтобы выделить, где знаки меняются с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный от одного термина к другому. Это не обязательно, но это поможет мне отслеживать вещи, пока я все еще учусь.

Потом подсчитываю количество изменений:

В случае положительного корня происходит четыре смены знака. Это число «четыре» является максимально возможным количеством положительных нулей (то есть всех положительных x -перехватов) для полинома f ( x ) = x ⁵ — x ⁴ + 3 x ³ + 9 x ² — x + 5.

Тем не менее, некоторые из корней могут быть получены с помощью квадратичной формулы, и эти пары корней могут быть сложными и, следовательно, не поддаваться графическому изображению в качестве перехватов x . Из-за такой возможности мне приходится отсчитывать до двух, чтобы найти полный список возможного количества нулей. То есть, хотя может быть до четырех действительных нулей, может быть только два положительных действительных нуля, а также может быть ноль (то есть может не быть вообще).

Я закончил случай положительного корня, теперь я смотрю на f (- x ). То есть, изменив знак на x , я теперь делаю случай отрицательного корня:

f (- x ) = (- x ) ⁵ — (- x ) ⁴ + 3 (- x ) ³ + 9 (- x ) ² — (- x ) + 5

= — x ⁵ — x ⁴ — 3 x ³ + 9 x ² + x + 5

Смотрю на знаки:

f (- x ) = — x ⁵ — x ⁴ — 3 x ³ + 9 x ² + x + 5

. ..и подсчитываю количество смен знаков:

В этом случае отрицательного корня меняется только один знак, так что есть ровно один отрицательный корень . (В этом случае я не пытаюсь отсчитывать до двух, потому что первое вычитание даст мне отрицательное число.)

Есть 4, 2 или 0 положительных корней и ровно 1 отрицательный корень.

В некоторых текстах вы оцениваете f ( x ) как x = 1 (для положительных корней) и при x = –1 (для отрицательных корней), поэтому вы получите выражения «1 — 1 + 3 + 9 — 1 + 5 «и» –1 — 1 — 3 + 9 + 1 + 5 «соответственно.Но вы не стали бы упрощать, и числовые значения не имели бы значения; вы бы проанализировали только признаки, как показано выше.

• Используя Правило знаков Декарта, определите количество действительных решений для:

  
  4 x ⁷ + 3 x ⁶ + x ⁵ + 2 x ⁴ — x ³ + 9 x ² + x + 1 = 0

Сначала я смотрю на связанный многочлен f ( x ); используя «+ x «, это случай положительного корня:

f ( x ) = +4 x ⁷ + 3 x ⁶ + x ⁵ + 2 x ⁴ — x ³ + 9 х ² + х + 1

Есть две смены знака, поэтому есть два или, если считать попарно, ноль положительных решений.

Теперь я смотрю на многочлен f (- x ); используя «- x «, это случай отрицательного корня:

f (- x ) = 4 (- x ) ⁷ + 3 (- x ) ⁶ + (- x ) ⁵ + 2 (- x ) ⁴ — (- x ) ³ + 9 (- x ) ² + (- x ) + 1

= –4 x ⁷ + 3 x ⁶ — x ⁵ + 2 x ⁴ + x ³ + 9 x ² — х + 1

Имеется пять смен знака, поэтому существует пять или, если считать попарно, три или одно отрицательное решение.Тогда мой ответ:

Есть два или ноль положительных решений и пять, три или одно отрицательное решение.

В приведенном выше примере максимальное количество положительных решений (два) и максимальное количество отрицательных решений (пять) суммируются до ведущей степени (семь). Всегда будет верно, что сумма возможных чисел положительных и отрицательных решений будет равна степени многочлена: или на два меньше, или на четыре меньше, или….

Это может быть полезно для проверки вашей работы. Например, если бы я дал максимальный ответ «два» для возможных положительных решений в приведенном выше примере, но дал бы только, скажем, «четыре» для возможных отрицательных решений, тогда я бы знал, что я где-то ошиблись, потому что 2 + 4 не равно 7, 5, 3 или 1.

• Используйте Правило знаков Декарта, чтобы найти количество действительных корней:

  
  f ( x ) = x ⁵ + 4 x ⁴ — 3 x ² + х — 6

Сначала я смотрю на случай положительного корня, который смотрит на f ( x ):

f ( x ) = + x ⁵ + 4 x ⁴ — 3 x ² + x — 6

Знаки меняются местами три раза, так что имеется три положительных корня или один положительный корень. В любом случае, у меня определенно есть по крайней мере один положительный настоящий корень.

Теперь я смотрю на случай отрицательного корня, который смотрит на f (- x ):

f (- x ) = (- x ) ⁵ + 4 (- x ) ⁴ — 3 (- x ) ² + (- x ) — 6

= — x ⁵ + 4 x ⁴ — 3 x ² — x — 6

Знаки меняются дважды, так что у меня два отрицательных корня или их нет вовсе.Тогда мой ответ:

Есть три положительных корня или один; есть два отрицательных корня или их нет.

• Воспользуйтесь правилом знаков Декарта, чтобы найти количество действительных корней:

  
  f ( x ) = x ⁵ + x ⁴ + 4 x ³ + 3 х ² + х + 1

Сначала я смотрю на f ( x ):

f ( x ) = + x ⁵ + x ⁴ + 4 x ³ + 3 x ² + x + 1

Знак не меняется, поэтому положительных корней нет. Теперь смотрю на f (- x ):

f (- x ) = (- x ) ⁵ + (- x ) ⁴ + 4 (- x ) ³ + 3 (- x ) ² + (- x ) + 1

= — x ⁵ + x ⁴ — 4 x ³ + 3 x ² — x + 1

Имеется пять смен знака, так что имеется пять отрицательных корней.Тогда мой ответ:

Нет положительных корней, а есть пять, три или один отрицательный корень.

• Воспользуйтесь правилом знаков Декарта, чтобы определить возможное количество решений уравнения:

  
  x ³ + x ² — x — 1 = 0

Я начну со случая положительного корня, оценивая связанный функциональный оператор:

f ( x ) = + x ³ + x ² — x — 1

Знаки меняются один раз, так что у этого есть ровно один положительный корень. Теперь проверим случай отрицательного корня:

f (- x ) = (- x ) ³ + (- x ) ² — (- x ) — 1

Знаки меняются дважды, так что есть два отрицательных корня или вообще нет. Тогда мой ответ:

Есть ровно один положительный корень; есть два отрицательных корня или их нет.

• Используйте Правило знаков Декарта, чтобы определить возможное количество решений уравнения:

  
  2 x ⁴ — x ³ + 4 x ² — 5 x + 3 = 0

Сначала я смотрю на f ( x ):

f ( x ) = +2 x ⁴ — x ³ + 4 x ² -5 x + 3

Имеется четыре смены знака, поэтому имеется 4, 2 или 0 положительных корней. Теперь смотрю на f (- x ):

f (- x ) = 2 (- x ) ⁴ — (- x ) ³ + 4 (- x ) ² — 5 (- x ) + 3

Знак не меняется, значит, нет отрицательных корней. Тогда мой ответ:

Есть четыре, два или ноль положительных корней и ноль отрицательных корней.

Правило знаков Декарта может быть полезно для того, чтобы помочь вам выяснить (если у вас нет графического калькулятора, который может показать вам), где искать нули многочлена. Например, предположим, что Rational Roots Test дает вам длинный список потенциальных нулей, вы нашли один отрицательный ноль, а Правило знаков говорит, что существует не более одного отрицательного корня. Тогда вы знаете, что нашли все возможные отрицательные корни (рациональные или иные), поэтому теперь вам следует начать искать потенциальные положительные корни.

Точно так же, если вы нашли, скажем, два положительных решения, а Правило знаков гласит, что у вас должно быть, скажем, пять, три или одно положительное решение, тогда вы знаете, что, поскольку вы нашли два, существует по крайней мере еще один (чтобы у вас было до трех) и, возможно, еще три (чтобы у вас было пять), поэтому вам следует продолжать искать положительное решение.

Кстати, если вам интересно, почему действует Правило знаков Декарта, не надо. Доказательство длинное и сложное; вы можете изучить его после того, как пройдете курс исчисления и теории доказательств, а также некоторые другие, более продвинутые классы.Я нашел в Интернете интересную статью (в формате Adobe Acrobat), которая содержит доказательства многих аспектов нахождения полиномиальных нулей, а раздел о Правиле знаков занимает семь страниц.

URL: https://www.purplemath.com/modules/drofsign. htm

Используйте правило знаков Декарта

Существует простой способ определить возможное количество положительных и отрицательных действительных нулей для любой полиномиальной функции.Если многочлен записан в порядке убывания, Правило знаков Декарта сообщает нам о взаимосвязи между количеством изменений знака в [латексе] f \ left (x \ right) [/ latex] и количеством положительных вещественных нулей. . Например, полиномиальная функция ниже имеет одно изменение знака.

Это говорит нам, что функция должна иметь 1 положительный действительный ноль.

Существует аналогичное соотношение между количеством смен знака в [latex] f \ left (-x \ right) [/ latex] и количеством отрицательных действительных нулей.{n — 1} +… + {a} _ {1} x + {a} _ {0} [/ latex] — полиномиальная функция с действительными коэффициентами:

• Количество положительных вещественных нулей либо равно количеству смен знака [латекс] f \ влево (x \ справа) [/ latex]], либо меньше количества смен знака на четное целое число. {2} -4x — 12 [/ латекс].{2} + 4x — 12 \ hfill \ end {case} [/ latex]

  Опять же, есть две смены знака, поэтому существует либо 2, либо 0 отрицательных действительных корней.

  Есть четыре возможности, как мы видим ниже.

  Положительное вещественное число Нули	Отрицательное Действительное число Нули	Комплексный Нулей	Всего Нулей
  2	2	0	4
  2	0	2	4
  0	2	2	4
  0	0	4	4

  Попробовать 6

  Используйте Правило знаков Декарта, чтобы определить максимально возможное количество положительных и отрицательных действительных нулей для [латекса] f \ left (x \ right) = 2 {x} ^ {4} -10 {x} ^ {3} + 11 {x} ^ {2} -15x + 12 [/ латекс]. Используйте график, чтобы проверить количество положительных и отрицательных действительных нулей для функции.

  Решение

  Правило знаков Декарта

  Правило знаков Декарта помогает определить возможное количество настоящие корни полинома п ( Икс ) без реального построения графиков или решения. Обратите внимание, что это правило не дает точное количество корней полинома или определить корни полинома.

  Правило гласит, что возможное количество положительных корней многочлена равно количеству смен знака коэффициентов при членах или меньше, чем изменение знака на кратное 2 .

  Например, если есть 3 меняет знак коэффициенты членов многочлена, то возможное количество положительных корней многочлена равно 3 или же 1 .

  [Перед применением правила знаков Декарта убедитесь, что члены многочлена расположены в порядке убывания экспоненты . ]

  Пример 1:

  Найдите количество положительных корней многочлена.

  Икс 3 + 3 Икс 2 — Икс — Икс 4 — 2

  Расположите члены многочлена в порядке убывания показателей:

  — Икс 4 + Икс 3 + 3 Икс 2 — Икс — 2

  Подсчитайте количество смен знака:

  — Икс 4 + ⎴ 1 Икс 3 + 3 Икс 2 — ⎴ 2 Икс — 2

  Есть 2 знак меняется в многочлене, поэтому возможное количество положительных корней многочлена 2 или же 0 .

  Следствие правила знаков Декарта:

  Сначала перепишите данный многочлен, подставив — Икс для Икс . Это то же самое, что отрицание коэффициентов членов нечетной степени.

  Следующее правило гласит, что возможное количество отрицательных корней исходного многочлена равно количеству смен знака (в коэффициентах членов после отрицания членов нечетной степени) или меньше, чем изменение знака на кратное 2 .

  Пример 2:

  Найдите возможное количество действительных корней многочлена и проверьте.

  Икс 3 — Икс 2 — 14 Икс + 24

  Члены полинома уже находятся в порядке убывания показателей.

  Подсчитайте количество смен знака:

  + Икс 3 — ⎴ 1 Икс 2 — 14 Икс + ⎴ 2 24

  Есть 2 знак меняется в многочлене, и возможное количество положительных корней многочлена 2 или же 0 .

  Пусть данный многочлен равен ж ( Икс ) и заменить — Икс для Икс в полином и упростим:

  ж ( — Икс ) знак равно ( — Икс ) 3 — ( — Икс ) 2 — 14 ( — Икс ) + 24 знак равно — Икс 3 — Икс 2 + 14 Икс + 24

  Подсчитайте количество смен знака:

  — Икс 3 — Икс 2 + ⎴ 1 14 Икс + 24

  Там есть 1 изменение знака во втором многочлене. Итак, из следствия правила знаков Декарта, возможное количество отрицательных корней исходного многочлена равно 1 .

  Многочлен можно переписать как: ( Икс — 2 ) ( Икс — 3 ) ( Икс + 4 )

  Мы можем проверить, что есть 2 положительные корни и 1 отрицательный корень данного многочлена.

  Обратите внимание, что повторяющиеся корни многочлена учитываются отдельно.

  Например, полином

  ( Икс — 2 ) 2 , который можно записать как Икс 2 — 2 Икс + 4 , имеет 2 подписать изменения. Следовательно, многочлен имеет 2 положительные корни.

  Правило знаков Декарта — ChiliMath

  Цель правила знаков Декарта — дать представление о том, сколько действительных корней может иметь многочлен P \ left (x \ right). Нас интересуют два типа реальных корней, а именно положительных и отрицательных реальных корней. Правило на самом деле простое.

  Вот вкратце Правило знаков Декарта.

  ---

  Расшифровка или объяснение правила знаков Декарта

  Предположим, что P \ left (x \ right) является многочленом, в котором показатели упорядочены от самого высокого до самого низкого, с действительными коэффициентами, исключая ноль, и содержит ненулевой постоянный член.

  Число положительных действительных корней равно

  • равно количеству смен знака в P \ left (x \ right)
  • или , меньше, чем количество смен знака в P \ left (x \ right) на некоторое кратное 2.

  Количество отрицательных действительных корней равно

  • равно количеству смен знака в P \ left ({- x} \ right)
  • или , меньше, чем количество смен знака в P \ left ({- x} \ right) на некоторые кратно 2.

  Таким образом, если n — количество изменений знака в P \ left (x \ right) или P \ left ({- x} \ right), то количество положительных или отрицательных корней может быть равно n, n- 2, н-4, н-6 и др.

  Обратите внимание, что мы начинаем с количества смен знака «n», затем мы продолжаем вычитать его на некоторое кратное 2 (положительные четные целые числа), например 2, 4, 6 и т. Д.

  Мы прекращаем вычитание до тех пор, пока разница не станет 0 или 1. Вот и все!

  ---

  Быстрые примеры для обоих случаев:

  • Пусть P \ left (x \ right) имеет n = 7 количество смен знака, возможное количество положительных вещественных корней будет

  7, 5, 3 или 1

  • Пусть P \ left (x \ right) имеет n = 6 количество смен знака, возможное количество отрицательных действительных корней будет

  6, 4, 2 или 0

  ---

  Примеры правила знаков Декарта

  Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть это правило в действии!

  Пример 1 : Найдите количество действительных корней многочлена, приведенного ниже, с помощью правила знаков Декарта.

  Начните с четкой маркировки каждого члена многочлена. Я буду использовать красный цвет для положительного символа (+) и черный для отрицательного символа ( — ). Это позволит нам легко отслеживать смену знака.

  Считается изменением знака , если два знака соседних коэффициентов переключаются (или чередуются). Например, он может меняться от положительного к отрицательному или от отрицательного к положительному.

  Для положительных вещественных корней :

  Используйте данную функцию, потому что «x» в скобках P \ left (x \ right) положительный.

  Есть два изменения знака, как показано стрелками. Поскольку n = 2, значит, имеется 2 или 0 положительных вещественных корней.

  Для отрицательных действительных корней :

  Используйте измененную версию функции P \ left ({- x} \ right), где «x» в скобках отрицательный.

  Прежде чем подсчитать смену знака, нам потребуется некоторый побочный расчет. Подставьте «-x» в P \ left (x \ right), чтобы получить P \ left ({- x} \ right). Поехали…

  А теперь посчитаем…

  Есть три смены знака, указанные стрелками.Поскольку n = 3, значит, имеется 3 или 1 отрицательный действительный корень.

  В качестве окончательного ответа мы скажем, что существует 2 или 0 действительных положительных корней и 3 или 1 действительных отрицательных корня.

  Вот график полинома, показывающий, что наша «догадка» действительно верна! Фактически, он имеет два (2) положительных корня и три (3) отрицательных корня.

  ---

  Пример 2 : Найдите количество действительных корней многочлена, приведенного ниже, с помощью правила знаков Декарта.

  Прежде чем мы начнем с этой проблемы, я должен предупредить вас, что , а не , относитесь к этому как к синтетической задаче деления, когда мы помещаем нули в недостающие степени x ‘.Пока многочлен упорядочен с убывающим числом показателей, этого достаточно.

  Для положительных вещественных корней :

  Используйте заданный многочлен и подсчитайте количество смен знака.

  Есть три смены знака для P \ left (x \ right), это означает, что может быть 3 или 1 положительных вещественных корней.

  Для отрицательных действительных корней :

  Вычислите -x в P \ left (x \ right), чтобы получить P \ left ({- x} \ right), затем подсчитайте изменение знака.

  Существует только одно изменение знака для P \ left ({- x} \ right), это означает, что существует ровно 1 отрицательный действительный корень .

  Для нашего окончательного ответа есть 3 или 1 действительный положительный корень и ровно 1 отрицательный действительный корень.

  ---

  Пример 3 : Найдите количество действительных корней (положительных и / или отрицательных) указанного ниже многочлена.

  Чтобы найти положительные корни :

  Обратите внимание, что все члены многочлена положительны.

  Поскольку знак P \ left (x \ right) не меняется, это означает, что многочлен имеет NO положительных вещественных корней.

  Чтобы найти отрицательные корни :

  Решите относительно P \ left ({- x} \ right), затем посчитайте изменение знаков.

  Поскольку у нас есть семь (7) смен знака в P \ left ({- x} \ right), имеется 7, 5, 3 или 1 отрицательный действительный корень.

  В нашем окончательном ответе нет положительных действительных корней, а есть 7, 5, 3 или 1 отрицательный действительный корень.

  ---

  Пример 4 : Найдите количество действительных корней многочлена (положительного и / или отрицательного) ниже.

  Чтобы найти положительные корни :

  Подсчитайте количество чередующихся знаков в P \ left (x \ right).

  У нас есть шесть изменений знака, что означает наличие 6, 4, 2 или 0 положительных действительных корней.

  Чтобы найти отрицательные корни :

  Сначала решите относительно P \ left ({- x} \ right), затем посчитайте вариации знаков.

  Знак не меняется в P \ left ({- x} \ right), что означает отсутствие отрицательных вещественных решений.

  Есть 6, 4, 2 или 0 положительных действительных корней, и нет отрицательных действительных корней.

  Умножение и деление чисел со знаком

  4

  Мы можем делать только арифметические операции обычным способом. Чтобы вычислить 5 (−2), мы должны сделать 5 · 2 = 10 — и затем выбрать знак. Это +10 или -10? Для ответа у нас есть следующее Правило Знаков.

  1. Какое правило знаков для умножения, деления и

  дроби?

  Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
  Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
  Сначала решите проблему сами!

  Подобные знаки производят положительное число;
  в отличие от знаков, отрицательное число.

  Пример 1.	−5 (−2)	=	10.	Как знаки.
  	5 (-2)	=	−10.	В отличие от знаков.
  	−12 −4	=	3.	Как знаки.
  	12 −4	=	−3.	В отличие от знаков.

  Описание этих правил см. Ниже.

  2. Напишите формальное правило знаков применительно к дробям.

  — а — б

  =

  a b

  — а б

  = —

  a b

  a — b

  = —

  a b

  Формальное правило — это просто правило, которое мы пишем буквами. Мы пишем его буквами, потому что хотим, чтобы он применялся к любым числам. Мы хотим, чтобы он применялся ко всему, что выглядит так .

  Пример 2.	−2 −6	=	1 3
  	-2 6	=	–	1 3
  	1 −3	=	–	1 3

  Проблема 1.Рассчитайте следующее.

  а)	7 (−8) = −56		б)	(-7) 8 = -56		в)	8 (−7) = −56		г)	−8 (−7) = 56
  e)	(−3) 7 = −21		е)	5 (-9) = -45		г)	−6 (−9) = 54		ч)	−8 (−4) = 32

  Проблема 2. Оцените следующее. (Будьте осторожны, чтобы различать операции.)

  а)	4-6 = −2		б)	4 (−6) = −24
  c)	(−4) — 6 = −10		г)	(−4) (- 6) = 24
  e)	5 — 8 · 2 = −11		е)	(5-8) · 2 = −6
  г)	5-8 + 2 = -1		ч)	5 — (8 + 2) = −5
  i)	2-3 (−6) = 20		j)	(2–3) (- 6) = 6

  Пример 3.Форма a — b (- c ). Рассмотрим задачу в такой форме:

  3-5 (−2).

  Нам нужно вычесть 5 раз −2:

  3-5 (−2)	=	3 — (−10)
  	=	3 + 10
  	=	13.

  Итак, даже если задача означает вычесть (5 умножить на -2), мы можем интерпретировать это как означающее: -5 умножить на -2 = +10. Мы можем просто написать

  3-5 (−2)	=	3 + 10
  	=	13.

  Другими словами, любая проблема, которая выглядит так —

  a — b (- c )

  — можно оценить так:

  а + б в .

  Проблема 3. Оцените следующее.

  а)	8-2 (−4) = 8 + 8 = 16		б)	9-5 (-2) = 9 + 10 = 19
  c)	−20-3 (−5) = −5		г)	−70 — 9 (−7) = −7
  e)	3 + 4 (-9) = -33		е)	−6 + 5 (−2) = −16
  г)	−10-2 (4 −8) = −2		ч)	(−10-2) (4 −8) = (−12) (- 4) = 48

  Проблема 4. Две переменные. Пусть значение y зависит от значения
  x следующим образом:

  y = 3 x — 6.

  Вычислите значение y , которое соответствует каждому значению x :

  Когда x = 0, y = 3 · 0-6 = 0-6 = −6.

  Когда x = 1, y = 3 · 1-6 = 3-6 = −3.

  Когда x = −1, y = 3 · −1-6 = −3-6 = −9.

  Когда x = 2, y = 3 · 2-6 = 6-6 = 0.

  Когда x = −2, y = 3 · −2-6 = −6-6 = −12.

  Когда x = 3, y = 3 · 3-6 = 9-6 = 3.

  Когда x = −3, y = 3 · −3-6 = −9-6 ​​= −15.

  Проблема 5. Отрицательные факторы.

  а)	(−2) (- 2) = 4		б)	(−2) (- 2) (- 2) = −8
  c)	(−2) (- 2) (- 2) (- 2) = 16		г)	(−2) (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) = −32

  Проблема 6. По предыдущей задаче:

  даже отрицательных факторов дает положительное число. В то время как нечетное количество отрицательных факторов дает отрицательное число.

  Пример 4. Умножаем −2 (−9) 7 (−5).

  Решение . Перед четным умножением мы видим, что, поскольку имеется нечетных отрицательных множителей, знак будет отрицательным.

  −2 (−9) 7 (−5) = −2 · 9 · 7 · 5.

  Нам осталось только умножить эти числа.

  Но порядок факторов значения не имеет. (Урок 1.) Умножение будет проще, если мы сначала умножим 2 · 5 —

  .

  −2 · 9 · 7 · 5	=	−2 · 5 · 9 · 7
  	=	−10 · 63
  	=	−630.

  Урок 4 арифметики.

  Умножение всегда проще, если множители дают 10, 100 или любую степень 10.

  Задача 7. Умножить.

  а)	2 (−3) 4 = −24		б)	(−2) 3 (−4) = 24		в)	2 (−3 −4) = −14
  г)	(−3) (- 4) (- 5) = −60		д)	(−1) (- 2) (- 3) (- 4) = 24
  е)	(−2) 8 (−5) 7 = 560		г)	25 (−8) (- 3) (- 4) = −100 · 24 = −2400
  h)	(-1) (- 1) (- 1) = -1		я)	(−1) (- 1) (- 1) (- 1) = 1

  Проблема 8.Оцените каждое из следующих чисел как положительную или отрицательную дробь в наименьшем значении или как целое число.

  а)

  −24 6

  = —

  4

  б)

  24 −6

  = —

  4

  в)

  −24 −6

  =

  4

  г)

  3 −12

  = —

  1 4

  д)

  −8 −20

  =

  2 5

  е)

  −18 42

  = —

  3 7

  г)

  −2 3

  = —

  2 3

  ч)

  2 −3

  = —

  2 3

  я)

  −2 −3

  =

  2 3

  j)

  −12 3

  = —

  4

  к)

  −5 −20

  =

  1 4

  л)

  3 −4

  = —

  3 4

  Итак, здесь снова Правило знаков.

  Как при умножении, так и при делении:

  Подобные знаки производят положительное число;
  в отличие от знаков, отрицательное число.

  Пример 5. Умножение дробей.

  Для умножения дробей умножьте числители
  и знаменатели, как в арифметике.

  Соблюдайте правило знаков.

  Проблема 9.Умножить.

  а)

  −3 5

  ·

  7 8

  =

  −21 40

  =

  –

  21 40

  б)

  1 2

  ·

  — x 4

  =

  — x 8

  =

  –

  x 8

  c)

  −2 3

  ·

  x −8

  =

  −2 x −24

  =

  x 12

  г)

  x −6

  ·

  3 −5

  =

  3 x 30

  =

  x 10

  Разъяснение правила знаков

  Чтобы решить, как должны вести себя отрицательные числа, мы не можем скопировать арифметика. Скорее, мы должны уважать природу логики «либо — либо», «да» или «нет».

  Например, введение слова «не» в высказывание меняет его истинностное значение. Если утверждение было истинным, «не» делает его ложным, и наоборот. Если это заявление

  Сегодня понедельник

  верно, значит

  Сегодня не понедельник

  — ложь. Но если мы напишем

  Сегодня не понедельник ,

  , это снова меняет его истинностное значение.Это утверждение верно

  В алгебре нет истинного или ложного, но у нас есть логический эквивалент: положительный или отрицательный. Таким образом, если значение x положительное, то значение — x должно быть отрицательным, и наоборот.

  Итак, поскольку мы называем положительное или отрицательное значение числа его знаком, то мы можем сформулировать следующий принцип:

  Знак минус меняет знак числа.

  Знак минус является логическим эквивалентом «не». «Геометрически знак минус отражает число симметрично около 0.

  Мы видели, что с — (- 3) = 3.

  (Что касается 0, лучше сказать, что он имеет оба знака: −0 = +0 = 0. См., Например, Урок 11, Задача 11.)

  Если теперь применить этот принцип к умножению:

  Отрицательный фактор меняет знак товара.

  Таким образом, если ab положительно, то (- a ) b также не может быть положительным.Оно должно быть отрицательным — оно должно быть отрицательным для ab .

  (- a ) b = — ab .

  То есть «отличия от знаков производят отрицательное число».

  А при введении еще одного отрицательного фактора знак снова меняется:

  (- a ) (- b ) = ab .

  «Подобные знаки дают положительное число».

  Тот же логический принцип применим к делению и дробям.Следовательно, у нас есть Правило знаков.

  Чтобы доказать, что (- a ) b является отрицанием ab , что некоторые называют строгим способом, мы должны применить определение отрицания числа.

  No related posts.