Геометрический знак пересечения: Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Отделение корней алгебраического уравнения в XVII и XVIII веке. Метод каскадов Мишеля Ролля и метод многоугольника Исаака Ньютона

XVII и XVIII веке. Метод каскадов Мишеля Ролля и метод многоугольника Исаака Ньютона. Г.И. Синкевич, СПбГАСУ Статья опубликована в сборнике «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». Вып. 20. СПб.: Издательство СПбГАСУ 2014. – с. 22–38. В работе рассмотрена история локализации корней алгебраического уравнения в работах Ролля и Ньютона, а также развитие их методов в XVIII веке. Ключевые слова: многоугольник Ньютона, метод каскадов Ролля. В XVII веке уже была богатая традиция вычисления корней алгебраических уравнений, возникшая в античной математике, обогащённая арабской математикой, работами Франсуа Виета (1540-1603), изданными в 1646 году и увенчанная методом Рене Декарта (1596-1650). Как правило, разыскивались положительные корни. В 1637 году в Лейдене вышло первое издание его «Рассуждения о методе», содержащее в качестве третьего приложения «Геометрию», содержащую также и методы решения алгебраических уравнений. Корни уравнения искались как точки пересечения некоторых плоских кривых, как правило, прямой, парабол и окружностей. Декарт утверждал важность представления уравнений с право частью, равной нулю. Он составлял уравнения с помощью перемножения двучленов и указал, что «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений» [1, с. 76]. Там же Декарт и привёл своё правило корней: если среди корней уравнения нет «невозможных» (то есть комплексных), то «истинных корней может быть столько, сколько раз в нём изменяются знаки + и –, а ложных 1 – сколько раз встречается подряд два знака + или дважды знаки –. Например, из того, что в уравнении 0 120 106 19 4 3 4      x xx x x после 4 x  имеется 3 4x  , что представляет собой перемену знака + на –, после xx 19  имеется +106x, после +106x имеется – 120, что даёт ещё две перемены знака, мы узнаём, что существуют три истинных корня. Имеется также один ложный корень, ибо встречаются подряд два знака минуса при 3 4x и 19xx» [1, с. 77]. Знак  использовался как знак равенства. Общее доказательство этого правила принадлежит Гауссу (1828). Декарт не ставил проблемы отделения и локализации корней. 1 отрицательных Сам геометрический образ задачи не соответствовал поиску пересечения кривой с осью, а осуществлялся как поиск точек пересечения двух кривых. Поэтому образ графика, имеющего на краях отрезка ординаты разных знаков, в терминах алгебры возникнуть не мог. И. Ньютон (I.Newton, 1642-1727), например, представлял переменные как изменяющиеся во времени, а не в зависимости друг от друга [2]. Представление о линии как о геометрическом месте точек началось с работы Лопиталя о конических сечениях, было развито Эйлером, а общий подход сформировался лишь в XIX веке. В 1658 году голландский математик Иоганн Гудде (I. Hudde, 1628-1704) предложил способ отделения корней с помощью производного уравнения, а именно такого вспомогательного уравнения, каждый элемент которого получался умножением на свой прежний показатель степени и делением на неизвестное

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции , нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение   стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение . Для него справедливы соотношения:

И эти же соотношения справедливы для уравнения  

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента   — если ветви параболы направлены вверх, то ,  а если вниз, то .

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена   — это абсциссы точек пересечения графика функции  с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то .

Если оба корня отрицательны, то .

Если корень с большим модулем положителен, то .

Если корень с большим модулем отрицателен, то .

Если корни имеют одинаковые знаки, то .

Если корни имеют разные знаки, то .

Во всех случаях, определив знак коэффициента  по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов  и

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена , если график функции   имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, .

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: . Так как , следовательно, .

3. Оба корня отрицательны, следовательно,   их сумма отрицательна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

2. Определить знаки коэффициентов  квадратного трехчлена , если график функции   имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, .

2. Корни имеют разные  знаки, следовательно, их произведение отрицательно: . Так как , следовательно, .

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно,  сумма корней положительна: . Так как , следовательно, .

Ответ: , , .

Замечание: — ордината точки пересечения параболы с осью , поэтому знак можно определить сразу.

Пересечение геометрического тела плоскостью — Энциклопедия по машиностроению XXL

ГЛАВА 21. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЬЮ Пересечение параллелепипеда  [c.102]

Плоская фигура, получаемая при мысленном пересечении геометрического тела плоскостью, называется сечением. Сечения широко применяются в техническом черчении дл Г выявления формы и внутреннего устройства предметов.  [c.149]

Глава XI. Пересечение геометрического тела плоскостью  [c.11]

ГЛАВА XI. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТЕЛА ПЛОСКОСТЬЮ  [c.71]

Различают следующие группы пересечений геометрических тел пересечения двух многогранников (рис.. ЗО, о—s) пересечения многогранников с телами вращеиия (рис. 40, а и 6) пересечения тел вращения (рис. 41). Цифрами /—/// на рис. 41—43 обозначены секущие плоскости. Пересечение считают полным, если одно тело пронизывает другое целиком, и неполным при частичном пересечении, т. е. когда не все ребра и образующие входящего тела участвуют в пересечении.  [c.327]

Определение 305 — Образование проекции 305—311 —Виды проекций 311 — 315 — Изображения на картинной плоскости 315—319 — Построения геометрических тел 319—327 — Построения липни пересечения геометрических тел 327—331  [c.

Пересечение геометрических тел проецирующими плоскостями и определение натуральных величин сечений  [c.123]

Построение линии пересечения тела плоскостью входит составной частью в решение других задач, например при определении точки пересечения прямой и поверхности тела или при построении линии пересечения поверхностей двух геометрических тел. Линии пересечения поверхности тела плоскостью находят иногда при построении разверток, при конструировании деталей трубопроводов и т. п.  [c.107]

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ  [c.72]

Построение аксонометрических проекций, сечений поверхностей геометрических тел плоскостями, линий взаимного пересечения поверхностей геометрических тел и т.д. связано с выполнением большого количества сложных построений и больших затрат времени.  [c.400]

На рис. 4.2 изображена деталь, форма которой образована комбинацией из основных геометрических тел цилиндра, конуса, сферы и тора. Уметь строить изображения основных геометрических тел в любом их положении относительно плоскостей проекций, строить их плоские сечения, наносить на их поверхности точки и линии, строить линии их взаимного пересечения, а в необходимых случаях пользоваться их аналитическими выражениями — необходимые условия успешного изучения курса машиностроительного черчения.  

Плоские сечения многогранников представляют собой замкнутые фигуры, вершины и стороны которых определяются пересечением заданной плоскости соответственно с ребрами и гранями данного геометрического тела. Таким образом, для построения сечений находят или точки пересечения ребер с заданной плоскостью или строят прямые, по которым плоскость пересекается с гранями тела. Первый способ называют способом ребер, второй — способом граней. Покажем применение их на следующих конкретных примерах.  

Точки пересечения прямой с поверхностью любого геометрического тела находят общим способом через прямую проводят вспомогательную плоскость, строят фигуру сечения тела плоскостью и отмечают точки пересечения прямой с ее контуром. Э%и точки и являются искомыми.  

Для того чтобы определить точки пересечения прямой линии с поверхностью геометрического тела (точку входа в точку выхода), следует провести через данную прямую секущую плоскость тогда в секущей плоскости будут находиться прямая линия и плоская фигура (сечение), а точки пересечения этой прямой с контуром плоской фигуры будут искомыми точками входа и выхода. Точно так же определяют и точку пересечения прямой линии с плоской фигурой, если прямая не лежит в одной плоскости с плоской фигурой и не параллельна ей.  [c.132]

На листе формата АЗ начертить карандашом комплексный чертеж геометрического тела с проходным отверстием построить третью проекцию линии пересечения поверхностей на одной из проекций применить разрез (соединение половины вида с половиной разреза или местный разрез) используя метод замены плоскостей проекций, построить натуральную величину фигуры сечения.

Моменты сил относительно осей координат легко определяются по формулам (4)—(6) группы (56), хотя в большинстве случаев удобнее употреблять геометрический способ. Так, например, для определения моментов относительно оси Ох проводят плоскость, перпендикулярную к этой оси, и проектируют на нее все силы потом опускают на эти проекции перпендикуляры из точки пересечения оси с плоскостью и умножают каждую из проекций на длину соответствующего перпендикуляра, приписывая этому произведению знак плюс или минус соответственно направлению, по которому силы вращают тело около оси Ох  

При вычерчивании деталей иногда бывает необходимо определить точки встречи (пересечения) прямых линий с поверхностями различных геометрических тел.

Точки искомых линий определяют, применяя вспомогательные поверхности, которыми рассекают заданные поверхности. В качестве вспомогательных поверхностей используют плоскости (способ секущих плоскостей) или сферы (способ секущих сфер). Выбор способа построения линии пересечения поверхностей зависит от вида заданных геометрических тел и их расположения в пространстве.  [c.128]

На рис. 154 показано также построение сечения модели фронтально проецирующей плоскостью. Положение фронтального следа этой плоскости отмечено линией сечения А—А. Секущая плоскость последовательно пересекает геометрические тела, составляющие данную модель пирамиду, призму, цилиндр, призматическое отверстие в цилиндре и шестиугольную призму. Построение линии пересечения поверхно-  [c.142]

Геометрические тела всегда связывают с системой прямоугольных координат, которую совмещают с плоскостями симметрии тел или с их гранями, занимающими положение плоскостей уровня. На аксонометрической проекции вначале рекомендуется изображать видимые части геометрических тел (верхние и передние основания или грани). Построение проекций линий пересечения следует начинать с изображения их опорных точек. На закопченной аксонометрической проекции обводят только видимые линии, чтобы сделать ее более наглядной.  [c.81]

При проецировании модели с натуры следует сперва продумать, из каких простейших геометрических тел она состоит, а затем выбирать направление проецирования. Модель по отношению к основным плоскостям проекций следует расположить так, чтобы отдельные проекции были по возможности более простыми. Для этого следует плоскости, ограничивающие модель, располагать либо параллельно, либо перпендикулярно плоскостям проекций. По отношению к фронтальной плоскости проекций модель следует расположить так, чтобы на эту плоскость она спроецировалась наиболее наглядно. Это изображение является главным видом. Если проекция модели представляет собой симметричную фигуру, то ось симметрии проводится в первую очередь (штрихпунктиром). При вычерчивании отдельных элементов модели, представляющих собой простые геометрические тела (параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар), следует соблюдать проекционную связь между отдельными проекциями, используя для этой цели не только оси координат, но также осевые линии (оси тел вращения), центровые линии (две взаимно перпендикулярные штрихпунктирные линии, проходящие через центр окружности) и оси симметрии (следы плоскостей симметрии, перпендикулярных плоскости проекций). Невидимые контуры изображают штриховой линией. Для построения линий пересечения поверхностей элементов модели  [c.134]

Шпово 2 1. Пересечение геометрических тел плоскостью 105  [c.105]

При пересечении геометрических тел плоскостью образуется замкнутая ломаная или кривая линия. Изображение плоской фигуры, которая получается в результате мыслениого пересечения предмета плоскостью, называется сечением. Сечения применяют в техническом черчении и проектных чертежах для лучшего выявления формы изображенного предмета.  [c.40]

Переходим к редукции геометрических тел. Чтобы изобразить тетраедр 1-2-3-А (фиг. 90) на плоскости достаточно построить, при любом произвольном параметре Q = 0V, редуцированные следы 1-2-3 и фокали Я1Я2Я3 — ребер тетраедра и его основания аЬс. В этом случае фокус Pi 2, точка пересечения фокалей Нх Н 2 будет изображать плоскость грани 1-2, а прямая 7-2 след этой грани.  [c.173]

МИ ДЛЯ пересекающихся плоскостей, или одной точкой при условии, что и. звестно направление линии пересечения. В реальных задачах пересекаются отсеки плоскостей, т. е. плоские фигуры, представляющие собой грани или основания геометрических тел и предметов. Их линией пересечения является отрезок прямой.  [c.135]

Любая плоскость в общем случае мерес(чплоской кривой или ломаной липии. Рассмотрим случаи пересечения плоскостью гранных тел и тел пранюиня. Часто такие сечения называют наклонными сечениями.  [c.85]

Построение линии пересечения плоскости с гранным геометрическим телом сводится к построению линии пересечения двух плоскостей и построению точки встречи прямой и плоскгк ти.  [c.85]

Если оси поверхностей врагце-ння пара. 1лельны, то в качестве посредников удобнее применять плоскости, так как расположив плоскость перпендикулярно осям геометрических тел, получим в пересечении плоскости с поверхиос-  [c.100]

Пересечения прямых заданных уравнениями.

Если прямые

лежат в одной плоскости, то

или в векторной форме

Обратно, если выполняется условие (3), то прямые лежат в одной плоскости.

Пояснение. Если прямые (1) и (2) лежат в одной плоскости, то в последней лежит прямая (рис. 177), т. е. векторы компланарны (и обратно). Это и выражает уравнение (3) (см. § 120).

Замечание. Если (при этом (3) обязательно удовлетворяется), то прямые параллельны. В противном случае прямые, удовлетворяющие условию (3), пересекаются.

Пример. Определить, пересекаются ли прямые

и если да, то в какой точке.

Решение. Прямые (1) и (2) лежат в одной плоскости, так как определитель (3), равный обращается в нуль. Эти прямые не параллельны (направляющие коэффициенты не пропорциональны). Чтобы найти точку пересечения, надо решить систему четырех уравнений (1), (2) с тремя неизвестными. Как правило, подобная система не имеет решений, но в данном случае (вследствие выполнения условия (3)) решение есть. Решив систему каких-либо трех уравнений, получим Четвертое уравнение удовлетворяется. Точка пересечения (1; 2; 3).

1. Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
2. Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
3. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .

, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ :

Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Пример 2

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Ответ :

Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Пример 3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Пример 4

Найти точку пересечения прямых

Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.

Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?

Ответ :

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Пример 5

Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.

Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

Полное решение и ответ в конце урока:

Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:

Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:

Пример 6

Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:

Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ :

Развернём геометрический этюд:

М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.

Аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .

Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Проверку, опять же, легко выполнить устно.

Пример 7

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение и точка .

Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

Наше увлекательное путешествие продолжается:

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точки до прямой выражается формулой

Пример 8

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

Выполним чертёж:

Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.

Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:

1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .

2) Находим точку пересечения прямых: .

Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.

3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .

Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.

Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.

Пример 9

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.

Что ни угол, то косяк:

В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .

Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.

Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .

Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:

Пример 10

Найти угол между прямыми

Решение и Способ первый

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Если прямые не перпендикулярны , то ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых:

Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций ):

Ответ :

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.

Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.

Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой .

При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.

Навигация по странице.

Точка пересечения двух прямых – определение.

Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.

Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Решение.

Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: . Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.

Ответ:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду , а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Пример.

и .

Решение.

Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой :

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида . Используем для ее решения :

Ответ:

M 0 (-5, 1)

Существует еще один способ нахождения координат точки пересечения двух прямых на плоскости. Его удобно применять, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида , а другая – уравнением прямой иного вида. В этом случае в другое уравнение вместо переменных x и y можно подставить выражения и , откуда можно будет получить значение , которое соответствует точке пересечения заданных прямых. При этом точка пересечения прямых имеет координаты .

Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.

Пример.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Решение.

Подставим в уравнение прямой выражения :

Решив полученное уравнение, получаем . Это значение соответствует общей точке прямых и . Вычисляем координаты точки пересечения, подставив в параметрические уравнения прямой:
.

Ответ:

M 0 (-5, 1) .

Для полноты картины следует обговорить еще один момент.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых на плоскости полезно убедиться в том, что заданные прямые действительно пересекаются. Если выяснится, что исходные прямые совпадают или параллельны, то о нахождении координат точки пересечения таких прямых не может быть и речи.

Можно, конечно, обойтись и без такой проверки, а сразу составить систему уравнений вида и решить ее. Если система уравнений имеет единственное решение, то оно дает координаты точки, в которой исходные прямые пересекаются. Если система уравнений решений не имеет, то можно делать вывод о параллельности исходных прямых (так как не существует такой пары действительных чисел x и y , которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям заданных прямых). Из наличия бесконечного множества решений системы уравнений следует, что исходные прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть, совпадают.

Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.

Пример.

Выясните, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.

Решение.

Заданным уравнениям прямых соответствуют уравнения и . Решим систему, составленную из этих уравнений .

Очевидно, что уравнения системы линейно выражаются друг через друга (второе уравнение системы получается из первого умножением обеих его частей на 4 ), следовательно, система уравнений имеет бесконечное множество решений. Таким образом, уравнения и определяют одну и ту же прямую, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Ответ:

Уравнения и определяют в прямоугольной системе координат Oxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых и , если это возможно.

Решение.

Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения , так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса обратилось в неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда можно сделать вывод, что исходные прямые параллельны, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Второй способ решения.

Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.

— нормальный вектор прямой , а вектор является нормальным вектором прямой . Проверим выполнение и : равенство верно, так как , следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.

Ответ:

Координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и , если они пересекаются.

Решение.

Составим систему из уравнений, которые являются общими уравнениями заданных прямых: . Определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля , поэтому система уравнений имеет единственное решение, что свидетельствует о пересечении заданных прямых.

Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:

Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, 2x-1=0 и .

Ответ:

Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями и .

Решение.

Составим систему уравнений из уравнений заданных прямых: . Решение этой системы даст нам искомые координаты точки пересечения прямых в пространстве. Найдем решение записанной системы уравнений.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная — .

Определим А и ранг матрицы T . Используем

(PDF) О сложности некоторых геометрических проблем пересечения

также продемонстрировал, что алгоритм предварительной обработки является оптимальным в наихудшем случае для обычного многоугольника

.

Мы предложили линейный алгоритм пересечения линии и многоугольника, который использует только элементарные структуры данных, и поэтому он более практичен, чем алгоритм Хомана

и др. [14], ограниченный простыми многоугольниками. В самом деле, если кто-то готов принять время предварительной обработки O (Nlog N)

(что больше не является оптимальным для простых многоугольников), предложенный здесь алгоритм линейно-многоугольник, межсекционный

будет более эффективным даже для простых многоугольников.

Было продемонстрировано несколько практических приложений, включая оптимальный алгоритм

для наихудшего случая для отсечения многоугольника и алгоритм отсечения N-линейных сегментов против обычного многоугольника

с Medges за Θ (M N) время в наихудшем случае. Ранее известные методы

либо ограничены простым многоугольником [10, 14], либо требуют времени Ω (M N log M)

[22].

Наконец, мы предложили эффективные алгоритмы устранения скрытых линий и скрытых поверхностей, которые используют только элементарные структуры данных.Предлагаемые алгоритмы сокращают временные требования

для наихудшего случая ранее использовавшихся алгоритмов с (N3) до O (N2log N),

и с (R2N) до O (RN log N + R2) соответственно, где N — общее количество ребер

набора обычных многоугольников в трехмерном пространстве, а R — линейное разрешение

устройства отображения.

Ссылки

[1] Ахо, А. В., Хопкрофт, Дж. Э. и Ульман, Дж. Д. Проектирование и анализ компьютеров

Алгоритмы, Аддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс.1975.

[2] Ахо, А. В., Хопкрофт, Дж. Э. и Ульман, Дж. Д. Структуры и алгоритмы данных.

Аддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс, 1983.

[3] Асано Т., Асано Т. и Имаи Х. Разбиение многоугольной области на трапеции. J.

ACM 33,2 (апрель 1986 г.) 290–312.

[4] Бен-Ор, М. Нижние оценки для алгебраических вычислительных деревьев. Proc. Пятнадцатая ежегодная конференция ACM

Symp. по теории вычислений (апрель 1983 г.) 80–86.

[5] Деваи Ф. Сложность вычислений двумерной видимости.Proc. 3-я Европейская конференция

по CAD / CAM и компьютерной графике, Париж, Франция, февраль 1984 г., MI-

CAD’84 Vol. 3, 827–841.

[6] Деваи Ф. Квадратичные оценки для исключения скрытых линий. Proc. 2-й симпозиум ACM

по вычислительной геометрии, Йорктаун-Хайтс, Нью-Йорк, США, 1986, 269–275.

[7] Фоли, Дж. Д., Ван Дам, А. Основы интерактивной компьютерной графики. Addison-

Wesley, Reading, Mass., 1982.

[8] Франклин, В. Р., Акман, В.Адаптивная сетка для многогранной видимости в пространстве объектов:

реализация. Компьютер J. 31,1 (1988) 56–60.

[9] Фредман М. Л., Вейде Б. О сложности вычисления меры S [ai, bi].

Комм. ACM 21,7 (июль 1978 г.) 540–544.

11

Interface, Inc. — Interface представляет новую коллекцию восходящих знаков, посвященную пересечению природы и геометрии

АТЛАНТА, 30 сентября 2021 г. / PRNewswire / — Interface®, всемирная компания по производству напольных покрытий и мировой лидер в области устойчивого развития, представляет сегодня свою последнюю коллекцию ковровой плитки — Rising Signs ™.Концепция Rising Signs, созданная Кари Пей, вице-президентом по глобальному дизайну продуктов Interface, черпает вдохновение в смелых архитектурных линиях лестниц и мостов, которые соединяют людей друг с другом и с воздушным пространством на открытом воздухе. Коллекция объединяет абстрактные органические узоры, встречающиеся в природе, с геометрическими элементами, встречающимися в архитектуре. Созданные для разнообразия и универсальности, восемь стилей в коллекции Rising Signs дают дизайнерам интерьеров гибкость в подходе к рисунку и цвету в своих проектах.Коллекция предлагает визуальные эффекты, которые варьируются от крупномасштабных углов с привлекательными оттенками драгоценных камней до более мягких струящихся узоров и землистых, успокаивающих нейтральных оттенков.

«Когда мы смотрим в окно и видим вещи, которые связывают нас друг с другом и с природой, мы окружены позитивными знаками — людьми, объединяющимися друг с другом и с природой в создании большего целого. При разработке коллекции Rising Signs, мы хотели визуально расширить эти особые связи », — объясняет Пей.«Rising Signs сочетает органические текстуры, цвета и эстетику биофильного дизайна с определенными архитектурными элементами, чтобы соответствовать потребностям сегодняшних пространств. Именно дизайн оказывает положительное влияние на жизнь людей, их пространства и планету. Коллекция Rising Знаки — это метафора стремления к чему-то большему ».

Все знаки указывают на прогресс

Rising Signs идеально подходят для крупномасштабных проектов, обеспечивая эстетическую гибкость с узорами, которые работают вместе в бесконечных комбинациях, чтобы возвышать интерьер.Биофильные элементы дизайна коллекции переносят на улицу, что может улучшить общее состояние здоровья и самочувствие и даже повысить продуктивность. Кроме того, его набор нейтральных и мягких цветов драгоценных камней отражает поэзию как искусственных, так и природных элементов, объединившихся, чтобы указать на позитивные изменения.

, такие как Play the Angle ™, Spandrel ™, Proportional ™ и Upward Bound ™, создают смелые геометрические формы, которые производят поразительное впечатление, а органические изгибы Up at Dawn ™ и Binary Code ™ подчеркивают более мягкий, биофильный подход.Angle Up ™ обеспечивает баланс между угловатостью и органичностью, в то время как Karmic Relief ™ отражается по полу с гибридным размывающим узором.

С шестью стилями, доступными в виде досок 25 см x 1 м и двумя стилями, выполненными в виде плитки 50 см x 50 см, узоры коллекции Rising Signs дополняют друг друга и могут быть объединены, чтобы очертить пространство. Кроме того, в рамках модульной системы напольных покрытий Interface архитекторы, дизайнеры и разработчики могут легко и эффективно сочетать продукты из коллекции Rising Signs с роскошной виниловой плиткой Interface (LVT) и резиновым покрытием nora® для создания красивых, позитивных пространств.

Rising Signs полностью перерабатывается по программе ReEntry ™ от Interface и изготовлен из 100% переработанного нейлона. Все продукты Rising Signs также являются углеродно-нейтральными на протяжении всего жизненного цикла благодаря программе компании «Carbon Neutral Floors ™», подтвержденной третьей стороной, что еще больше упрощает участие в растущей силе позитивных изменений.

Запуск в Северной Америке

Interface отмечает запуск Rising Signs мероприятиями в трех региональных выставочных залах по всей Северной Америке, в частности в Чикаго, Мехико и Торонто, с 4 по 6 октября.Кроме того, все выставочные залы Interface по всей Северной Америке будут приглашать дизайнеров и клиентов лично испытать Rising Signs всю осень.

Дополнительную информацию о Rising Signs можно найти на сайте www.interface.com/risingsigns.

О компании Interface
Interface, Inc. — международная компания по производству напольных покрытий, специализирующаяся на углеродно-нейтральной ковровой плитке и эластичных напольных покрытиях, включая роскошную виниловую плитку (LVT) и каучуковые напольные покрытия nora®. Мы помогаем нашим клиентам создавать высокопроизводительные внутренние пространства, которые способствуют благополучию, продуктивности и творчеству, а также устойчивости планеты.Наша миссия, Climate Take Back ™, приглашает вас присоединиться к нам, поскольку мы обязуемся действовать таким образом, чтобы оздоровить планету и создать климат, пригодный для жизни.

Узнайте больше об Interface на interface.com и blog.interface.com, о нашем бренде nora на nora.com, о нашем бренде FLOR® на FLOR.com и о нашей программе Carbon Neutral Floors ™ на interface.com/carbonneutral.

Подписывайтесь на нас в Twitter, YouTube, Facebook, Pinterest, LinkedIn, Instagram и Vimeo.

Просмотреть исходный контент для загрузки мультимедиа: https: // www.prnewswire.com/news-releases/interface-unveils-new-rising-signs-collection-celebrating-the-intersection-of-nature-and-geometry-301388772.html

SOURCE Interface, Inc.

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

 @InProceedings {despr_et_al: LIPIcs: 2017: 7183,
  author = {Винсент Деспр {\ 'e} и Фрэнсис Лазарус},
  title = {{Вычисление числа геометрических пересечений кривых}},
  booktitle = {33-й Международный симпозиум по вычислительной геометрии (SoCG 2017)},
  pages = {35: 1–35: 15},
  series = {Международные слушания по информатике им. Лейбница (LIPIcs)},
  ISBN = {978-3-95977-038-5},
  ISSN = {1868-8969},
  год = {2017},
  объем = {77},
  editor = {Борис Аронов и Мэтью Дж.Кац},
  publisher = {Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum fuer Informatik},
  адрес = {Дагштуль, Германия},
  URL = {http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/7183},
  URN = {urn: nbn: de: 0030-drops-71838},
  doi = {10.4230 / LIPIcs.SoCG.2017.35},
  annote = {Ключевые слова: вычислительная топология, кривые на поверхностях, комбинаторная геодезическая}
}