Цены снижены! Бесплатная доставка контурной маркировки по всей России

В чем измеряется угловая скорость: Формула угловой скорости в физике

Содержание

Формула угловой скорости в физике

Содержание:

Определение и формула угловой скорости

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота $(\varphi)$ . Часто используют вектор элементарного поворота $\bar{d\varphi}$ , который равен по величине элементарному углу поворота тела $(d \varphi)$ за маленький отрезок времени dt и направлен по мгновенной оси вращения в сторону, откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами. Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью

называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой $\omega$ . Математически определение угловой скорости записывают так:

$$\bar{\omega}=\frac{d \bar{\varphi}}{d t}=\dot{\bar{\varphi}}(1)$$

Угловая скорость — векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($\bar{\omega}$ при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

$$\omega=\frac{\varphi}{t}(2)$$

где $(\varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён. {3} \approx 20(\mathrm{rad})$$

Ответ. $\varphi = 20$ рад.

Читать дальше: Формула удельного веса.

Угловые эффекты / Хабр

Добрый день, дорогой читатель! Это вторая переводная статья из цикла статей о создании физического движка авторства Chris Hecker. Если Вы ещё не ознакомились с первой, то рекомендую это сделать, т. к. всё сразу станет понятнее. Большое спасибо за поддержку первого перевода: это очень стимулирует работать дальше и больше! Приятного чтения!


Только что я захотел подпереть дверь чем-нибудь тяжёлым, чтобы ко мне не вошёл злоумышленник. Неужели я многого прошу? Я хочу, чтобы его машина перевернулась и взорвалась в определенным месте. Я хочу, чтобы огромные шестерни заело перед тем, как меня расплющит. И я хочу наспех построить штуку, похожую на качели, для того, чтобы катапультировать милый пылающий подарок через крепостную стену замка. Кто же может мне помешать воплотить это всё в реальность? Вы предположите, что мой соперник в игровом мире, но в действительности – программист физического движка, потому что в основе всего вышеперечисленного лежит угловой эффект. Можно пересчитать по пальцам те игры, где реализованы угловые эффекты, не говоря уж о том, чтобы найти хотя бы одну, в которой это сделано правильно.

Основная причина, почему угловые (или иначе вращательные) эффекты не реализованы в играх на сегодняшний день – это то, что программисты считают, что физика, описывающая вращательное движение, слишком сложная для понимания и воплощения в реальность. На уроках физики в старшей школе (где мы все узнали второй закон Ньютона) обычно не рассказывают о вращательных эффектах, и это не совсем очевидно, как перейти от силы, приложенной к объекту, ко вращению этого объекта. Конечно, динамика вращательного движения немного труднее для понимания, чем динамика линейного движения, но она проще, чем кажется. Любой, кто может создать физический движок в соответствии с тем материалом, что представлен в первой статье цикла, справится и с тем, чтобы включить в него угловые эффекты, описанные в этой статье.
Есть надежда, что после публикации данной статьи мир наполнится играми, которые используют все возможности и преимущества угловых эффектов, или, по меньшей мере, вы сможете создать игру, в которой вы, выгнувшись, выстрелите в ногу вашего друга в смертельном бою.

Краткое повторение


Несмотря на то, что каждая моя статья на какую-то единственную тему, я всегда перечитываю то, что написал ранее, для того, чтобы понять, где закончил. Я только что посмотрел свою первую статью о физике, и я в восторге: мы успели выучить так много, и притом, ни разу не писали программный код и не читали дополнительную литературу! Прежде, чем начнем, давайте освежим в памяти материал из последней статьи.

Таблица 1 содержит важнейшие выводы для динамики твердых тел. Из Уравнения 1 следует, что вектор коодинаты ( r ), вектор скорости (v), и вектор ускорения (a) связаны производными (и интегралами, если читать в обратном порядке). Как напоминание – мы отмечаем дифференцирование по времени штрихом (r’). r’ – это то же самое, что dr/dt, а r’’ – это то же, что и вторая производная по времени. Из Уравнения 2 следует, что сила связана с линейным импульсом (произведение массы на скорость), массой, и ускорением. Определение центра масс можно почерпнуть из Уравнения 3 (это точка, где все массы и расстояния уравновешивают друг друга). Уравнение 4 гласит, что полный линейный импульс твердого тела – это сумма всех его импульсов, которые, к нашей удаче, просто равны импульсу центра масс (CM). Уравнение 5 – это настоящий драгоценный камень. В нем используется Уравнение 4 для демонстрации того, что ускорение центра масс объекта связано с полной силой (вектором суммы всех сил, действующих на объект в данное время) посредством скалярной величины, массы объекта.

Подведем итоги всему, что описано в первой статье: мы узнали, что общая сила, действующая на наш центр масс, равна сумме всех сил, приложенных к телу (включая силу гравитации, фуру злодея, взрыв неподалёку, импульс тяги нашего двигателя и т.  д.). После мы разделили этот вектор суммы на массу тела для того, чтобы получить ускорение CM, и затем интегрировали ускорение по времени, чтобы получить скорость и координату тела.

Уравнение 5 – это просто шедевр! Вы увидите, что в нём нет понятия точек приложения сил к телу, а это является ключевым моментом для определения, как тело будет вращаться под их действием. Уравнение 5 правильное. В действительности, оно превосходно подходит для нахождения линейного ускорения. Мы упускаем половину дела. Но всё по порядку…

Каков твой угол?


В первой статье игнорировалось вращение, поэтому нам были необходимы лишь радиус-вектор и его производная для описания конфигурации нашего тела в 2D. Теперь добавим еще одну величину кинематики, ориентацию (обозначается заглавной буквой омега – Ω), для того, чтобы работать с угловыми эффектами. Для того, чтобы задать Ω, нам необходимо выбрать систему координат относительно твёрдого тела и систему координат игрового мира, и величина Ω будет равна разнице углов между ними в радианах, как показано на Рисунке 1.

Рисунок 1. Определение Ω

На рисунке оси xw, yw – оси координат игрового мира, а xb, yb – оси координат твердого тела. Ω больше 0, если считать против часовой стрелки. Здесь важно прояснить, почему мы изучаем динамику двумерного мира прежде, чем перейти в трёхмерный: ориентация в 2D – это скалярная величина (угол между системами координат в радианах), тогда как определение ориентации в трехмерном мире гораздо труднее.

По ходу того, как тело вращается, величина Ω изменяется. Это изменение приводит нас к другой величине кинематики – угловой скорости (обозначается строчной буквой омега – ω). В отличие от координаты и линейной скорости тела, мы не обозначаем угловую скорость следующим образом – Ω’. Тем не менее, иногда мы обозначаем производную скорости по времени, или угловое ускорение, как ω’ (это еще одна величина кинематики) или как α (строчная альфа). Не вините меня: не я придумал все эти обозначения; и в каждой книге, что я прочел, имеются небольшие расхождения.

A α$$display$$

Уравнение 14

Это уравнение – угловой эквивалент Уравнения 5; по факту, это F = ma для угловой динамики. Это уравнение связи полного момента силы и угловое ускорение тела посредством скалярного момента инерции. Если мы знаем момент силы, оказываемой на наше тело, мы можем найти его угловое ускорение, а дальше – угловую скорость и ориентацию в пространстве посредством интегрирования – поделив момент силы на момент инерции.

Алгоритм динамики


Он с трудом видится нам через этот вихрь уравнений, но все они – его составная часть. Мы вывели достаточно уравнений для того, чтобы получить великолепную динамику двумерного мира с произвольно заданными силами и моментами сил, перемещающими и вращающими наши объекты. Как же использовать эти уравнения? Ниже представлен базовый алгоритм:
  1. Найти величину центра масс и момент инерции в центре масс.
  2. Задать начальные координаты тела, его ориентацию в пространстве, его линейную и угловую скорости.
  3. Учесть все силы, действующие на тело и точки их приложения.
  4. Найти равнодействующую всех сил и разделить ее на массу тела для того, чтобы найти линейное ускорение центра масс (Уравнение 5).
  5. Для каждой силы построить скалярное произведение с перпендикуляром между вектором, направленным из центра масс в точку приложения силы, и вектором приложенной силы, добавить эту величину в полный момент силы в уравнении центра масс (Уравнение 11).
  6. Найти частное для полного момента силы и момента инерции в центре масс для нахождения углового ускорения (Уравнение 14).
  7. Численно интегрировать линейное ускорение и угловое ускорение для обновления координаты, линейной скорости, ориентации в пространстве и угловой скорости (смотри последнюю статью).
  8. Отрисовать объект в полученной координате, и перейти к Шагу 3.

В алгоритме выше есть лишь два шага, которые я не объяснил. Во-первых, как подсчитать момент инерции в Шаге 1 для сплошного объекта? Во-вторых, как решить проблему с силами из Шага 3? Ответ на первый вопрос может быть найден в простом примере кода, который я оставлю в приложении в конце этой статьи (вы выполните интегрирование объекта по его площади). Множество книг по динамике содержат рассчитанный момент инерции для часто встречающихся форм объектов в приложении в самом конце, поэтому вам не придется каждый раз выводить их самостоятельно.

Ответ на вопрос, как подсчитать силы из Шага 3, зависит от приложения, но немного общих рекомендаций я дам. Во-первых, такие силы, как гравитация, всегда направленные в одну сторону (вниз, в случае с гравитацией), не создают момент силы, т. к. они тянут все точки в одно и то же время в одном направлении, хотя мы и прикладываем эти силы напрямую к центру масс. Силы, подобные силе упругости, приложены к определенной точке объекта, они создадут момент силы, поэтому рассматриваем их в общем случае. Как мы увидели в первой статье, сила трения – это та же сила, направленная в противоположную от скорости тела сторону.

Вы можете сделать простую физическую модель, демонстрирующую силу трения, и просто приложить силу к центру масс, или вы можете выбрать, к каким частям объекта будут приложены силы трения, и сделать это, что может создать момент силы, действующий на объект. Силы, которые тела испытывают при столкновениях, немного труднее, и мы познакомимся с ними в следующей статье. Силы, подобные тяге ракетного двигателя, нужно рассматривать, как силы с точкой приложения (вы этом случае, если один из двигателей откажет, вы начнете крутиться вокруг своей оси до тех пор, пока не отрегулируете руль, чтобы обеспечить уравновешивание момента силы!). Если вы хотите что-то, похожее на гравитационные лучи из НЛО, то эта сила должна рассчитываться, как сила гравитации и не создавать момент силы, или она должна быть приложена к определенной точке объекта, и он будет вращаться вокруг этой точки, пока поднимается ввысь? Выбор за вами. Ключевой момент – не бояться экспериментировать с различными силами, рассчитанными разными способами, ведь уже сейчас у вас есть настоящий симулятор двумерной графики, попробуйте разные виды сил!

Я оставил весь необходимый вам код и ссылки на своем веб-сайте, потому что здесь закончилось свободное место. В своем простом приложении я воплотил в жизнь алгоритм динамики двумерного мира, а также добавил объекты, скрепленные пружиной; они вращаются вокруг своей оси, и иногда даже сталкиваются со стенами, крутсясь. Но об этом я расскажу в другой раз. Перейдите по ссылке за дополнительной литературой и простым приложением для Windows 32 и Macintosh.

Очень редко Chris Hecker испытывает на себе действие момента инерции, но обычно это проходит и довольно быстро. Силы можно прикладывать к [email protected]

Примечания переводчика: здесь представлена игра слов, обыгрывается тема статьи и ее содержание.

P.S. Обратная связь приветствуется. Ваши комментарии позволяют повысить качество работ. Спасибо!

P.P.S. Автор перевода выражает отдельную благодарность пользователям berez и Василий Терешков за правки перевода. Спасибо!

Конвертер угловой скорости и частоты вращения • Механика • Компактный калькулятор • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Конвертер длины и расстоянияКонвертер массыКонвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питанияКонвертер площадиКонвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептахКонвертер температурыКонвертер давления, механического напряжения, модуля ЮнгаКонвертер энергии и работыКонвертер мощностиКонвертер силыКонвертер времениКонвертер линейной скоростиПлоский уголКонвертер тепловой эффективности и топливной экономичностиКонвертер чисел в различных системах счисления.Конвертер единиц измерения количества информацииКурсы валютРазмеры женской одежды и обувиРазмеры мужской одежды и обувиКонвертер угловой скорости и частоты вращенияКонвертер ускоренияКонвертер углового ускоренияКонвертер плотностиКонвертер удельного объемаКонвертер момента инерцииКонвертер момента силыКонвертер вращающего моментаКонвертер удельной теплоты сгорания (по массе)Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему)Конвертер разности температурКонвертер коэффициента теплового расширенияКонвертер термического сопротивленияКонвертер удельной теплопроводностиКонвертер удельной теплоёмкостиКонвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излученияКонвертер плотности теплового потокаКонвертер коэффициента теплоотдачиКонвертер объёмного расходаКонвертер массового расходаКонвертер молярного расходаКонвертер плотности потока массыКонвертер молярной концентрацииКонвертер массовой концентрации в раствореКонвертер динамической (абсолютной) вязкостиКонвертер кинематической вязкостиКонвертер поверхностного натяженияКонвертер паропроницаемостиКонвертер плотности потока водяного параКонвертер уровня звукаКонвертер чувствительности микрофоновКонвертер уровня звукового давления (SPL)Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давленияКонвертер яркостиКонвертер силы светаКонвертер освещённостиКонвертер разрешения в компьютерной графикеКонвертер частоты и длины волныОптическая сила в диоптриях и фокусное расстояниеОптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×)Конвертер электрического зарядаКонвертер линейной плотности зарядаКонвертер поверхностной плотности зарядаКонвертер объемной плотности зарядаКонвертер электрического токаКонвертер линейной плотности токаКонвертер поверхностной плотности токаКонвертер напряжённости электрического поляКонвертер электростатического потенциала и напряженияКонвертер электрического сопротивленияКонвертер удельного электрического сопротивленияКонвертер электрической проводимостиКонвертер удельной электрической проводимостиЭлектрическая емкостьКонвертер индуктивностиКонвертер реактивной мощностиКонвертер Американского калибра проводовУровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицахКонвертер магнитодвижущей силыКонвертер напряженности магнитного поляКонвертер магнитного потокаКонвертер магнитной индукцииРадиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излученияРадиоактивность. Конвертер радиоактивного распадаРадиация. Конвертер экспозиционной дозыРадиация. Конвертер поглощённой дозыКонвертер десятичных приставокПередача данныхКонвертер единиц типографики и обработки изображенийКонвертер единиц измерения объема лесоматериаловВычисление молярной массыПериодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

Потолочный вентилятор, вращающийся со скоростью 250 оборотов в минуту

Общие сведения

Угловая скорость — это векторная величина, определяющая скорость вращения тела относительно оси вращения. Этот вектор направлен перпендикулярно плоскости вращения и определяется с помощью правила буравчика. Угловую скорость измеряют как отношение между углом, на который переместилось тело, то есть угловым смещением, и временем, на это потраченным. В системе СИ угловое ускорение измеряют в радианах в секунду.

Угловая скорость в спорте

Угловая скорость часто используется в спорте. Например, спортсмены уменьшают или увеличивают угловую скорость движения клюшки для гольфа, биты или ракетки, чтобы улучшить результаты. Угловая скорость связана с линейной скоростью так, что из всех точек на отрезке, вращающемся вокруг точки на этом отрезке, то есть вокруг центра вращения, самая отдаленная точка от этого центра движется с самой высокой линейной скоростью. Так, например, если клюшка для гольфа вращается, то конец этой клюшки, больше всего удаленный от центра вращения двигается с самой высокой линейной скоростью. В то же время все точки на этом отрезке движутся с одинаковой угловой скоростью. Поэтому удлиняя клюшку, биту, или ракетку, спортсмен также увеличивает линейную скорость, а соответственно скорость удара, передающуюся мячу, так что он может пролететь на большее расстояние. Укорачивая ракетку или клюшку, даже перехватив ее ниже, чем обычно, наоборот замедляют скорость удара.

При первобытнообщинном строе главными охотниками были мужчины

Спортсменам с более длинными руками и ногами удается добиться бо́льшей угловой скорости

У высоких людей с длинными конечностями есть преимущество в отношении линейной скорости. То есть, передвигая ноги с одинаковой угловой скоростью, они двигают ступни с более высокой линейной скоростью. То же происходит и с их руками. Такое преимущество может быть одной из причин того, что в первобытных обществах мужчины занимались охотой чаще, чем женщины. Вероятно, что из-за этого также в процессе эволюции выиграли более высокие люди. Длинные конечности помогали не только в беге, но и во время охоты — длинные руки бросали копья и камни с большей линейной скоростью. С другой стороны, длинные руки и ноги могут быть неудобством. Длинные конечности имеют больший вес и для их перемещения нужна дополнительная энергия. Кроме этого, когда человек быстро бежит, длинные ноги быстрее двигаются, а значит, при столкновении с препятствием удар будет сильнее, чем у людей с короткими ногами, которые двигаются с той же линейной скоростью.

В гимнастике, фигурном катании и нырянии также используют угловую скорость. Если спортсмен знает угловую скорость, то легко вычислить количество переворотов и других акробатических трюков во время прыжка. Во время кувырков спортсмены обычно прижимают ноги и руки как можно ближе к корпусу, чтобы уменьшить инерцию и увеличить ускорение, а значит и угловую скорость. С другой стороны, во время ныряния или приземления, судьи смотрят, как ровно спортсмен приземлился. На высокой скорости трудно регулировать направление полета, поэтому спортсмены специально замедляют угловую скорость, немного вытягивая от корпуса руки и ноги.

Спортсмены, которые занимаются метанием диска или молота, тоже контролируют линейную скорость с помощью угловой. Если просто бросить молот, не вращая его по кругу на длинной стальной проволоке, увеличивающей линейную скорость, то бросок будет не таким сильным, поэтому молот сначала раскручивают. Олимпийские спортсмены поворачиваются вокруг своей оси от трех до четырех раз, чтобы увеличить угловую скорость до максимально возможной.

Угловая скорость и хранение данных на оптических носителях

Диски в накопителе на жестких магнитных дисках («винчестере») вращаются со скоростями от 4&nbsp200 оборотов в минуту на портативных устройствах с низким энергопотреблением до 15&nbsp000 оборотов в минуту на высокоэффективных серверах

Во время записи данных на оптических носителях, например на компакт дисках (CD), для измерения скорости записи и считывания данных в приводе также используются угловая и линейная скорости. Существует несколько способов записи данных, во время которых используют переменную или постоянную линейную или угловую скорость. Так, например, режим постоянной линейной скорости (по-английски — Constant Linear Velocity или CVL) — один из основных методов записи дисков, при котором данные записывают с одинаковой скоростью по всей поверхности диска. Во время записи в режиме зональной постоянной линейной скорости (по-английски — Zone Constant Linear Velocity или ZCLV) постоянная скорость поддерживается во время записи на определенной части, то есть зоне диска. В этом случае диск замедляет вращение при записи на внешних зонах. Режим частично постоянной угловой скорости (Partial Constant Angular Velocity или PCAV) позволяет осуществлять запись с постепенным увеличением угловой скорости, пока она не достигнет определенного порога. После этого угловая скорость становится постоянной. Последний режим записи — режим постоянной угловой скорости (Constant Angular Velocity или CAV). В этом режиме во время записи по всей поверхности диска поддерживается одинаковая угловая скорость. При этом линейная скорость увеличивается по мере того, как записывающая головка перемещается все дальше и дальше к краю диска. Этот режим используется также при записи грампластинок и в компьютерных жестких дисках.

Угловая скорость в космосе

Геостационарная орбита

На расстоянии 35 786 километров (22 236 миль) от Земли находится орбита, на которой вращаются спутники. Это особенная орбита, потому что тела, вращающиеся на ней в одном направлении с Землей, проходят всю орбиту примерно за такое же время, которое требуется Земле, чтобы совершить полный круг вокруг своей оси. Это немного меньше 24 часов, то есть один сидерический день. Так как угловая скорость вращения тел на этой орбите равна угловой скорости вращения Земли, то наблюдателям с Земли кажется, что эти тела не движутся. Такая орбита называется геостационарной.

На эту орбиту обычно выводят спутники, которые отслеживают изменения погоды (метеорологические спутники), спутники, следящие за изменениями в океане и спутники связи, которые обеспечивают телевизионное и радиовещание, телефонную связь и спутниковый Интернет. Геостационарную орбиту часто используют для спутников потому, что антенны, один раз направленные на спутник, не нужно направлять вторично. С другой стороны, с их использованием связаны такие неудобства, как необходимость иметь прямое поле видимости между антенной и спутником. Кроме того, геостационарная орбита находится далеко от Земли и для передачи сигнала необходимо использовать более мощные передатчики, чем те, что используются для передачи с более низких орбит. Сигнал приходит с задержкой приблизительно в 0,25 секунды, что заметно для пользователей. Например, во время трансляции новостей корреспонденты в удаленных районах обычно связываются со студией по спутниковому каналу; при этом заметно, что когда телеведущий задает им вопрос, они отвечают с задержкой. Несмотря на это, спутники на геостационарной орбите широко используются. Например, до недавнего времени связь между континентами осуществлялась, главным образом, с помощью спутников. Сейчас ее в основном заменили межконтинентальные кабели, проложенные по океанскому дну; однако спутниковую связь до сих пор применяют в отдаленных районах. В последние двадцать лет спутники связи также обеспечивают доступ к интернету, особенно в отдаленных местах, где нет наземной инфраструктуры связи.

Спутниковые антенны

Срок службы спутника в основном определяется количеством топлива на борту, требуемым для периодической коррекции орбиты. Количество топлива в спутниках ограничено, поэтому когда оно заканчивается, спутники выводят из эксплуатации. Чаще всего их переводят на орбиту захоронения, то есть орбиту, намного выше геостационарной. Это — дорогостоящий процесс; однако если оставлять ненужные спутники на геостационарной орбите, это грозит вероятностью столкновений с другими спутниками. Место на геостационарной орбите ограничено, поэтому старые спутники, оставленные на орбите, будут занимать место, которое мог бы использовать новый спутник. В связи с этим во многих странах существуют нормы, требующие от владельцев спутников подписать договор о том, что в конце эксплуатации спутник будет выведен на орбиту захоронения.

Литература

Автор статьи: Kateryna Yuri

Unit Converter articles were edited and illustrated by Анатолий Золотков

Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.

Расчеты для перевода единиц в конвертере «Конвертер угловой скорости и частоты вращения» выполняются с помощью функций unitconversion.org.

Угловое ускорение

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Определение 1

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δt=t1-t, а изменение угловой скорости составит Δω=ω1-ω, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε=∆ω∆t=ε. Перейдем к пределу, когда Δt>0, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε=lim∆t→0∆ω∆t=dωdt=d2φdt=ω˙=φ¨.

Определение 2

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1T2 (т.е. 1время2). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается рад/с2 или иначе: 1с2(с-2).

Определение 3

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Определение 4

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1. Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε→=dω→dt, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε→ и ω→ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1).

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Закон равнопеременного вращения

Определение 5

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t0 угол вращения равен ϕ=ϕ0; угловая скорость — ω=ω0 (т.е. ω0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω0 до ω, а правую – в пределах от 0 до t, тогда:

ω=ω0+εt, dφ=ω0dt+εtdt.

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Определение 6

Закон равнопеременного вращения: φ=φ0+ωt+εt22.

Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.

Практические примеры

Пример 1

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Рисунок 2

Решение

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2.1. и 2.3. показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2.2. и 2.4. – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2.1. и 2.4.). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2.2. и 2.3.). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пример 2

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R. При этом выражение ϕ=αt3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω=dφdt=3αt2; ε=6αt.

Полное ускорение запишем как:

a=ar2+an2=Rε2+ω4=R36a2t2+81a4t8=3atR4+9a2t6.

Вращательные движения — Биомеханика движений фигуриста (Мишин А.Н.)

При рассмотрений обязательных упражнений мы встречались с разновидностями опорных вращательных движений. Мы знаем, что вращательные движения, например повороты, обусловлены главным образом встречным поворотом верхней части тела относительно нижней и не связаны с длительным и быстрым вращением всего тела. Напротив, в произвольном катании наиболее характерными являются движения, связанные с вращением всего тела вокруг продольной оси в 2; 2,5; 3; 3,5 и более оборотов в полете в прыжках, а во вращениях достигают нескольких десятков оборотов. Именно стремительные вращения вокруг вертикальной оси, пожалуй, являются наиболее ярким олицетворением движений произвольного катания.

Основы механики вращений

В связи с особой важностью вращательных движении в общем комплексе упражнений произвольного катания рассмотрим коротко основные понятия и терминологию механики вращательного движения тела вокруг вертикальной оси.

Характеристики вращательных движений. В качестве пример, вращающегося тела рассмотрим тело фигуриста, выполняющего пируэт на одной ноге (рис. 19, а). Будем условно считать, что вращение его тела происходит вокруг неподвижной оси.

Вращательным движением твердого тела относительно неподвижной оси называется такое движение, при котором две его точки остаются неподвижными. Ось, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Вращение тела характеризуется угловой скоростью тела. Величина угловой скорости определяется отношением угла поворота тела к времени, за которое произошел этот поворот:

Угловая скорость характеризуется не только величиной, но и направлением в пространстве, т. е. является вектором, направленным по оси вращения в ту сторону, откуда вращение наблюдается против часовой стрелки. Различают среднюю угловую скорость, измеряемую в течение нескольких оборотов, и мгновенную угловую скорость тела в данный момент.

Если угловая скорость всех точек напряженного тела одинакова, то линейная скорость для каждой точки разная. Зависимость между угловой и линейной скоростями точки выражается формулой:

где R — расстояние точки от оси вращения.

Эта простая зависимость имеет во вращениях важное значение, так как при одной и той же угловой скорости тела со линейные скорости точек тела разные; чем дальше они остоят от оси вращения, тем их линейная скорость больше (рис. 19, б).

Рассмотрим ускорения точки вращающегося тела (рис. 20). Скорость точки является величиной векторной, т. е. может изменяться по величине и направлению в пространстве. Ускорение, вызванное изменением величины вектора скорости, называется касательным или тангенциальным; оно направлено по касательной к траектории движения точки, совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно вектору скорости при замедленном движении. Оно равно:

или

При движении точки по окружности ,где — угловое ускорение тела, имеющее размерность

Ускорение, вызванное изменением направления вектора скорости точки, называется нормальным. Оно направлено по нормали в сторону вогнутости траектории и равно при движении точки по окружности . Ускорение точки имеет размерность м/с2.

На рис. 20 приведены векторы касательного и нормального ускорений точки кисти руки фигуриста в пируэте. Таким образом, если вектор скорости изменяется и по величине, и по направлению, то движущаяся точка имеет ускорение, состоящее из касательного и нормального. Геометрическая сумма этих ускорений называется полным ускорением и направлена по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений.

Мерой инертности тела при. поступательном движении является его масса, измеряемая в килограммах. Во вращательном движении особое значение приобретает распределение массы тела относительно оси вращения: удаление массы тела от оси вращения увеличивает инертность тела во вращательном движении вокруг этой оси, а приближение к оси уменьшает.

Рис. 19. Схема вращения фигуриста
Рис. 20. Ускорения точек вращающегося тела

Мерой инертности тела во вращательном движении является момент инерции, равный сумме произведений масс частей тела на квадраты их расстояний до оси вращения:

где m — массы частей тела; r — расстояние масс тела до оси вращения.

Следует подчеркнуть, что в выражение для величины момента инерции входят расстояния масс частей тела до оси вращения во второй степени, что объясняет значительное изменение момента инерции тела с постоянной массой при перераспределении масс частей тела относительно оси вращения.

Одной из важных характеристик вращающегося тела является количество запасенного им вращательного движения. Она носит название момента количества движения*

или кинетического момента тела К. Величина кинетического момента вращающегося тела измеряется произведением момента инерции тела относительно оси I и угловой скорости, вращения тела вокруг этой оси :

Кинетический момент является характеристикой, свойственной вращательному движению.

Закон сохранения момента количества движения

Для анализа вращательных движений фигуриста очень важно знать закон сохранения кинетического момента. Одним из свойств вращающегося тела является стремление сохранить количество приобретенного вращательного движения, или, другими словами, величину кинетического момента. Для рассматриваемого нами случая закон сохранения кинетического момента может быть упрощенно сформулирован следующим образом:

«Кинетический момент тела относительно оси постоянен, если сумма моментов внешних сил относительно оси равна нулю»:

Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением конька о лед, можно считать, что при выполнении вращения на тело фигуриста действуют две внешние силы: сила веса и вертикальная составляющая реакции опоры. При хорошем выполнении пируэта эти силы совпадают с осью вращения, поэтому не создают моментов сил относительно оси.

Во вращательном движении при выполнении пируэта зависимость проявляется в постоянной взаимосвязи между величинами момента инерции тела и его угловой скоростью вращения. Другими словами, уменьшение одного множителя вызывает увеличение другого настолько, что их произведение остается неизменным. Именно поэтому приближение звеньев тела к оси вращения в процессе группировки, т. е. уменьшение момента инерции, обусловливает увеличение скорости вращения тела и наоборот.

Сравнение моментов инерции тела в различных положениях позволяет, в частности, установить, что группировка рук из положения в стороны может увеличить скорость вращения тела почти вдвое, а переход из положения ласточки в положение стоя с руками вдоль тела—более чем в семь раз. Эти данные не учитывают сил сопротивления, испытываемых телом при вращении, поэтому реальное увеличение угловой скорости всегда меньше и зависит от характера контакта конька со льдом. С этой точки зрения выгодны опора на переднюю треть конька без касания льда зубцами и отсутствие так называемого скобления ребром конька о лед. Наименьшее сопротивление оказывается в случае, если конец опорной ноги во время вращения выполняет петли небольшого размера (3—5 см).

Силы инерции при вращениях

Для определения динамической структуры вращательного движения рассмотрим силы инерции, действующие на звенья тела фигуриста при выполнении пируэта.

При анализе ускорений, действующих на точки вращающегося тела, было определено, что в общем случае таких ускорений два: нормальное и касательное. Отсюда на точки вращающегося тела действуют также две силы инерции: нормальная и касательная.

Возьмем систему координат хОу с началом в центре тяжести тела. Ось Oz направим по оси вращения. При равномерном вращении тела вокруг оси Oz с угловой скоростью w на две симметрично расположенные точки A и B будут действовать только нормальные силы инерции, равные по величине направленные противоположно центростремительному ускорению (рис. 21, а). И) формулы видно, что величина этих сил прямо пропорциональна массе точки т, квадрату угловой скорости w и расстоянию r точки от оси вращения.

При изменении угловой скорости появляются угловое ускорение и касательные силы инерции, равные по величине и направленные по касательной к траектории точек А и В в стороны, противоположные касательным ускорениям (рис. 21,б). Касательные силы инерции образуют пару сил, лежащую в плоскости, параллельной плоскости хОу. Эта пара сил препятствует вращению фигуриста вокруг оси Oz.

Причины изменения скорости вращения

В различных вращательных движениях и пируэтах фигурист меняет угловую скорость вращения своего тела в значительных пределах. В соответствии с законом сохранения кинетического момента изменение скорости вращения сопровождается изменением момента инерции тела— группировкой или раз-группировкой. Причиной изменения скорости являются определенные силы. Какие же силы вызывают изменение скорости вращения фигуриста?

Пренебрегая силами трения, можно сказать, что внешние силы, как мы уже говорили, не создают значительных моментов относительно оси вращения, т. е. не являются причиной изменений скорости вращения. Следовательно, изменение скорости вращения вызывают силы внутренние —группировки и разгруппировки, т. е. силы активного действия, обусловленные мышечной деятельностью человека.

Рассматривая эти силы, легко убедиться, что линии их действия при группировке и разгруппировке направлены к оси вращения или от нее, т. е., грубо говоря, они не поворачивают тело вокруг оси. Какие же силы непосредственно ускоряют или замедляют вращение тела? Это силы инерции Кориолиса, или, говоря точнее, моменты этих сил. Рассмотрим физическую сущность возникновения сил инерции Кориолиса, определим направление их действия и формулу для определения величины этих сил (рис.22).

В пируэте при группировке и разгруппировке имеют место два движения: вращение тела, которое будем называть переносным, и движение рук и свободной ноги вдоль радиуса к оси или от нее, которое будем называть относительным. Когда руки притягиваются к оси вращения (относительное движение), линейные скорости их частей станут меньше, т. е. звенья тела, участвующие в относительном движении, приобретут отрицательное ускорение (кориолисово). Иными словами —ускорение, направленное против вращения. Так-как всякая сила инерции всегда направлена в сторону, противоположную ускорению, то силы инерции Кориолиса будут направлены по ходу вращения. Они приложены к частям тела, выполняющим группировку, направлены в сторону вращения и увеличивают его угловую скорость.

Итак, в процессе вращения тела фигуриста, перемещения рук и свободной ноги к оси вращения или от нее возникают силы инерции Кориолиса, которые ускоряют вращение при группировке и замедляют его при разгруппировке. Кориоли-совы силы инерции зависят от величины угловой скорости вращения тела , линейной скорости частей тела при группировке и замедляют его при разгруппировке. Кориолисовы силы инерции зависят от величины угловой скорости вращения тела со, линейной скорости частей тела при группировке и разгруппировке — V, а также от синуса угла между векторами . Величина этих сил определяется по формуле:

На рис.23 приведена совокупность всех сил инерции, действующих на точки А и В вращающегося тела. Необходимо учитывать, что в действительности на каждую из точек тела действует результирующая сила инерции, равная векторной сумме перечисленных сил инерции: нормальной,касательной и кориоли-совой.

Рис. 21. Силы инерции точек врашающегося тела
Рис. 22. Силы инерции Кориолиса, действующие на точки вращающегося тела при группировке

Прецессия оси вращения

Анализируя вращательное движение, мы говорили, что в процессе вращения о. ц. т. тела находится точно над точкой опоры. В практике фигурного катания встречаются случаи, когда проекция о. ц. г. не совпадает с точкой опоры. В этом случае продольная ось тела z1, проходящая через точку опоры и о. ц. т., начинает вращаться вокруг вертикальной оси z2 с угловой скоростью (рис. 24). Такое движение оси вращающегося тела называют прецессией, а угловую скорость вращательного движения оси — угловой скоростью прецессии. Угловая скорость прецессии может быть определена из следующего выражения:

где: l-расстояние от точки опоры до о.ц.т. тела; — момент инерции фигуриста относительно оси вращения z1; Р-вес тела фигуриста; — угловая скорость фигуриста вокруг оси z1; —угловая скорость прецессии оси z1.

Прецессионное движение оси вращения нежелательно и с точки зрения качественной оценки пируэта, и, что, пожалуй, главное, с точки зрения управления движением, поскольку ориентация спортсмена, сохранение равновесия резко осложняются.

Из формулы видно, что угловая скорость прецессии обратно пропорциональна угловой скорости вращения фигуриста: чем больше угловая скорость вращения фигуриста, тем меньше угловая скорость прецессии , и наоборот. Отсюда вытекает важный практический вывод: чем больше скорость вращения тела фигуриста в пируэте, тем устойчивее положение оси вращения.

На устойчивость оси вращения положительно влияет также увеличение момента инерции тела относительно оси вращения . Однако наиболее важную роль в устойчивости оси вращения играет положение центра тяжести. Момент силы тяжести относительно точки опоры определяет угловую скорость прецессии. Для уменьшения угловой скорости прецессии следует уменьшить величину этого момента, т. е. стремиться к такому положению, при котором о.ц.т. тела находится над точкой опоры.

Устойчивость вращения к прецессии связана с расстоянием l от о.ц.т. до неподвижной точки вращения. Чем оно меньше, тем при прочих равных условиях меньше угловая скорость прецессии. Не удивительно поэтому, что наиболее устойчивым вращением является волчок —пируэт, в котором расстояние l минимально.

Интересно отметить, что устранение момента силы тяжести приводит к мгновенному устранению прецессии. Дру-гими словами, прецессия не обладает инерцией.

На практике встречаются две основные причины возникновения прецессии в пируэтах. В первом случае несовпадение точки опоры и проекции силы тяжести вызвано несовершенным въездом во вращение, неправильным определением центра вращения. Здесь резкое торможение, раннее начало вращения, неточное маховое движение порождают инерционные силы, отклоняющие о.ц.т. тела от вертикали.

В другом случае смещение о.ц.т. вызвано неправильным перемещением частей тела при смене позы.

Влияние положения тела фигуриста при вращениях на частоту сердечных сокращений*

Влияние положения тела фигуриста на характер кровообращения и частоту сердечных сокращений при вращениях наиболее ярко прослеживается при выполнении таких элементов, как вращение в ласточке, в ласточке со сменой ног, прыжок во вращение ласточка. В это время частота сердечных сокращений оказывается наиболее низка.

Интересна пульсограмма вращения в ласточке. При выполнении данного элемента отмечено заметное уменьшение частоты сердечных сокращений —6—12 уд/мин по сравнению с исходным — фоновым.

Этот интересный факт требует более глубокого исследования. Однако уже на основании проведенных опытов было высказано предположение, что данное явление может быть объяснено антиортостатической реакцией организма. Имеется в виду практически горизонтальное положение верхней части тела и свободной ноги при вращении. Возможно, что урежение пульса действительно является следствием реакции барорецепторов скаротидных синусов на увеличение венозного возврата крови, вызванного центробежными силами инерции.

Рис. 23. Совокупность сил инерции, действующих на точки вращающегося тела
Рис. 24. Прецессия оси вращения тела фигуриста

Исследования автора, проведенные под руководством профессора А. Б. Гандельсмана, позволяют предположить более сложную природу такого явления. Не отрицая возможности влияния центробежных сил на характер передвижения масс крови, хочется обратить внимание на два обстоятельства. Вращение в ласточке является пируэтом, в котором, пожалуй, в наибольшей степени выражен статический компонент движения. Вот почему энергетика этого упражнения весьма низкая. Кроме того, характер въезда во вращение и выезда из него не связан с необходимостью глубокого приседания и подъема, как в волчке, или группировки, как во вращении винт. Это также свидетельствует о наиболее низкой энергетической стоимости вращения в простой ласточке. Таким образом, можно предположить, что одной из причин урежения сердечного ритма при вращении в простой ласточке является именно низкая энергетика этого упражнения—более низкая, чем энергетика комплекса различных движений, при которых измеряется фоновый пульс.

Необходимо также учитывать эмоциональную сторону упражнения. В этом плане следует отметить, во-первых, сравнительную комфортность положения тела при вращении в ласточке и, во-вторых, наиболее низкую из всех вращений угловую скорость, которая и обусловливает относительно спокойный эмоциональный фон упражнения.

Другие же сходные по биомеханической структуре элементы: вращение в ласточке со сменой ног и прыжок во вращение ласточка —вызывают более выраженную ответную пульсовую реакцию, и феномен уменьшения частоты сердечных сокращений проявляется в меньшей степени. Этот факт связан с тем, что наряду с менее благоприятным эмоциональным фоном при выполнении данных двух элементов фигурист затрачивает дополнительную энергию на отталкивание и смену ног при вращении, что, естественно, увеличивает частоту сердечных сокращений.

Феномен уменьшения частоты сердечных сокращений при простом вращении в положении ласточка может быть использован при составлении произвольных программ.

Рационально включать вращения в ласточке в те места программы, после которых необходим промежуточный отдых, расслабление, снижение эмоционального фона, успокоение.

Анализ техники вращений

Благодаря кривизне лезвия конька в арсенале фигуриста может быть большое количество вращательных движений, возникающих естественно и выполняемых сравнительно легко. Такими движениями являются опорные вращения — пируэты. Они разнообразят произвольную программу, позволяют спортсмену продемонстрировать способность сохранять равновесие в сложной позиции при быстром вращении.

Пируэт представляет собой длительное вращательное движение тела вокруг вертикальной оси без заметного перемещения точки опоры. В зависимости от направления вращения различают пируэты вперед (вращение происходит в сторону опорной ноги) и назад (вращение выполняется в сторону свободной ноги).

С точки зрения позы, в которой выполняется пируэт, можно выделить три основные группы: пируэты стоя, пируэты в приседе (волчки) и пируэты в положении ласточка.

Различают простые пируэты, в которых вращение происходит в относительно неизменной позе, и сложные —со сменой позы (например, с переходом из положения стоя в положение сидя).

Пируэты могут выполняться на одной и обеих ногах. В последнем случае понятие «направление вращения» (вперед или назад) теряет смысл, так как обе ноги являются опорными. Поэтому здесь указывают лишь сторону вращения. В произвольных программах сейчас, как правило, встречаются сложные пируэты, состоящие из комбинаций перечисленных пируэтов.

Пируэт состоит из подхода, въезда, вращения и выезда. На рис. 25 приведены следы, оставленные при выполнении пируэта вперед. Дуги 1, 2, 3 и 4 соответствуют подходу, дуга 5 —въезду, точка 6—вращению, а дуги .7 и 8 —выезду. Подход. Существует несколько вариантов подходов. Наиболее удобным и поэтому целесообразным для начального обучения является сочетание тройки вперед-наружу с перебежкой назад. Используют подходы в виде тройки вперед-внутрь—назад-наружу, а также ходом вперед-наружу, подходе важно сохранять плавность скольжения, хорошу осанку, чтобы вращение было естественным, а приготовление к нему — незаметным.

Въезд. Это наиболее сложная и ответственная часть пируэта. Именно здесь возникает вращение. Как правило, если фигурист сообщил телу устойчивое вращение, то сохранять и поддерживать его не составляет большой сложности. След, оставляемый коньком при въезде, представляет собой кривую с плавно меняющейся кривизной. Выполняют въезд на согнутой ноге и не выпрямляют ее до тех пор, пока не возникнет устойчивое вращение.

Вращение телу можно придать двумя способами: толчком ногой при переходе с последней дуги подхода на въездную дугу, а также круговым маховым движением свободной ноги и руки при въезде. Во вращении стоя и в волчках следует использовать оба способа. При вращениях в ласточке маховое движение не всегда эффективно. Здесь оно приводит к выведению свободной ноги вперед, и для принятия положения ласточки фигурист вынужден в конце въезда резко отводить свободную ногу назад. Это движение часто вызывает потерю равновесия. Более простым и надежным является въезд с отведенной назад свободной ногой и одноименной рукой.

Напротив, при въезде в волчок круговое маховое движение весьма целесообразно и эффективно. Необходимо во время подхода сделать сильный мах руками и свободной ногой назад. Мах, т. е. выведение рук и ноги вперед, следует начинать только тогда, когда дуга достигнет максимальной кривизны.

Въезд во вращение стоя, по существу, не отличается от въезда в волчок. Здесь только опорная нога более выпрямлена. Не следует, однако, выпрямлять ее полностью: это может привести к нарушению равновесия.

Для устойчивости вращения очень важно, как выполнен конечный участок дуги въезда. В пируэтах вперед в конце въезда, когда дуга достигла максимальной кривизны, следует поворот тройкой вперед-наружу, после чего —окружность диаметром 30—40 см, выполняемая ходом назад-внутрь, и только затем начинается вращение.

Рис. 25. Следы пируэта вперед

Вращение. В простых пируэтах группировка отсутствует и положение, принятое в начале вращения, сохраняется почти неизменным. Поэтому здесь, как и при выполнении спиралей, важна точность положения тела, стабильность удержания его. Малейшая погрешность, допускаемая на протяжении пяти, шести и более оборотов, портит впечатление.

В ласточке необходимо вращаться на плоскости конька, не касаясь льда зубцами. Начинающие фигуристы часто теряют равновесие уже в начале вращения, так как чрезмерно перемещают центр тяжести тела вперед. Чтобы избежать этого, необходимо на протяжении всего вращения, особенно в начале его, оттягивать свободную ногу назад. Она должна быть выпрямлена, развернута, голова направлена вперед, а вытянутые руки на одной линии, находящейся в одной плоскости с опорной и свободной ногами.

В волчке вращение происходит на передней трети конька. Для повышения устойчивости в начале вращения допустимо легкое касание льда зубцами. Наиболее распространенная ошибка здесь—падение назад. Чтобы предотвратить ее, развернутая свободная нога и руки должны быть прямыми и вытянутыми вперед. Опорная нога при этом согнута, голова подтянута, плечи опущены.

Вращение стоя также происходит на передней трети конька с легким касанием льда зубцами.

В сложных пируэтах происходит группировка. Ее можно выполнять в двух вариантах: в первом варианте приближение рук и свободной ноги к оси вращения происходит при неизменном основном положении тела (например, стоя или в приседе), во втором поза меняется —части тела приближаются к оси вращения (например, переход из ласточки в волчок или из волчка в положение стоя). При этом скорость вращения тела возрастает.

Рассмотрим пример группировки в пируэте стоя, называемом винтом. Из положения, когда нога вытянута вперед, правую ногу, не опуская, выводят вперед, сгибают в колене и скрещивают с левой, на которой происходит вращение. Затем правую ногу опускают, скользя задней поверхностью голени по левой. Это движение сопровождается группировкой рук одновременно с группировкой ног или несколько позже. В заключительной фазе руки плотно прижимают к телу, а слегка согнутую опорную ногу выпрямляют, что дает дополнительное увеличение скорости вращения. Необходимо следить за симметрией группировки, ибо неодинаковое движение рук вызывает нарушение равновесия. В этом пируэте скорость вращения наибольшая—до 4 и более оборотов в секунду.

Выезд. Выполнению всегда предшествует движение, обратное группировке,— разгруппировка. Делается это для уменьшения скорости вращения, что облегчает выполнение выезда. Здесь важно, чтобы разгруппировка заканчивалась небольшим сгибанием опорной ноги.

Обычно выезд выполняют со сменой ноги: ранее свободная ном становится опорной, и вращение завершается тол-ком, аналогичным толчку в обязательной фигуре № 3, с последующим скольжением назад-наружу. Данный вариант выезда наиболее распространен; его рекомендуют при разучивании пируэтов. В программах мастеров встречаются более сложные выезды (например, вперед-наружу со сменой ноги, назад-внутрь без смены ноги, въезд в остановку, в прыжок). При любом варианте следует стремиться к слитности всех движений, к такому выполнению, при котором выезд является естественным продолжением вращения.

Заклоны. Особой разновидностью пируэтов являются так называемые заклоны. Их выполняют со значительным прогибом назад или в сторону и с откинутой головой. Вращение с необычным положением головы усложняет пространственную ориентировку, вызывает нарушение координации движений, порой сопровождается головокружением. В то же время заклоны —очень ценное упражнение для совершенствования равновесия.

Прежде чем осваивать данную группу пируэтов, фигурист должен научиться уверенно принимать эту позу без коньков. Подход и въезд делают как в обычных вращениях. Положение заклона принимают в тот момент, когда начинается вращение. Далее прогиб рекомендуется увеличить и вместе с тем по возможности (незаметно для наблюдателя) выполнять группировку. Опытные фигуристы иногда поднимают одну руку вверх или опускают вниз, чтобы ее положение совпадало с положением оси вращения: это обеспечивает дополнительную группировку, что вызывает увеличение скорости вращения. С заклонами весьма схожи паузы с захватом свободной ноги одной или двумя руками.

Пируэты назад.Исключительно ценными для дальнейшего овладения прыжками являются пируэты назад. Их выполняют в тех же позах, что и пируэты вперед. Но есть у них некоторые особенности. Так, несмотря на то, что направление общего вращения тела в пируэте назад и вперед может быть одно и то же, ощущения, испытываемые фигуристом, различны. Пируэты назад наиболее точно имитируют движения тела в полете при выполнении прыжков, поэтому важны как подготовительные упражнения. Они красивы; включают их в различные комбинации.

При обучении вращениям назад рекомендуется выполнять подход (рис. 26) в виде крутой дуги вперед-внутрь (дута 1). Въезд представляет собой дугу вперед-внутрь на другой ноге (дуга 2), описывая которую фигурист делает энергичное вращательное движение свободной ноги и рук. Вращение (точка 3) может выполняться в любом положении (в ласточке, волчке, стоя), а также в промежуточных положениях. Выезд (дуга 4) лучше всего разучивать на той же ноге, на которой происходило вращение: это помогает совершенствовать выезд из многооборотных прыжков.

Освоение пируэтов вперед и назад открывает большие возможности для выполнения различных комбинаций: это волчок со сменой ноги, вращение в ласточке со сменой ноги, варианты смены положения тела и ноги.

Для успешного овладения пируэтами важно определить удобную для спортсмена сторону вращения. Большинство фигуристов быстрее овладевают вращениями влево и лучше их переносят. Наиболее простой и верный способ определения «своего» направления вращения —выполнение пируэта назад с выездом без смены ноги. Если этот, пируэт и выезд увереннее и легче получаются на правой ноге, следует лучшие варианты своих вращений планировать влево, и наоборот.

Разучивание пируэтов вперед и назад в различных позах помогает подготовить организм фигуриста к вращательным нагрузкам, которые он постоянно испытывает во время катания.

Специальные упражнения для совершенствования вращений

Одним из важных направлений в тренировке вращений вне льда является работа над гибкостью.

При этом необходимо сочетать традиционные способы развития пассивной гибкости с помощью различных растягиваний, шпагатов, махов и т. п. с развитием активной гибкости. Например, одной из наиболее сложных поз, особенно для мальчиков, является вращение в ласточке. Для ее совершенствования целесообразно применять утяжелитель, прикрепляемый к стопе свободной ноги. Он позволяет добиваться хорошего эффекта при развитии как пассивной гибкости (выполнение махов назад), так и активной (удержание свободной ноги с грузом в требуемой позе).

Рис. 26. Следы пируэта назад

Этот же способ эффективен и в занятиях вне льда. Лучшим способом совершенствования положения тела во вращении ласточка, на наш взгляд, является разучивание так называемой качающейся ласточки—поочередно на обеих нoгax.

Целесообразно использовать тренажер «Грация» для совершенствования точности позы и чувства равновесия. Для совершенствования общей выносливости фигуриста к вращательным нагрузкам весьма эффективны специальные тренажеры в виде вращающихся платформ с электроприводом и плавной регулировкой скорости вращения в пределах от ноля до 5 и более оборотов в секунду.

В тренировках на льду основное внимание следует уделять поиску оптимального варианта въезда во вращение и оптимального контакта конька со льдом во время вращения. Следует анализировать характер следов на льду, обращая главное внимание на отсутствие скоблений, касания льда зубцами.

Хорошим средством совершенствования качества въезда во вращения, повышения стабильности их выполнения являются тренировки с выключением зрения. Надевая специальные непрозрачные очки, фигурист выполняет требуемое вращение. При этом обостряется деятельность двигательного, вестибулярного, тактильного и слухового анализаторов. Опыты показали, что такие упражнения повышают устойчивость навыка, делают выполнение вращений более уверенными, стабильными. Практика показала, что у одних фигуристов принятие требуемой позы происходит с участием зрительного анализатора, выключение зрения у них нарушает точность позы; у других же это происходит практически без участия зрительного анализатора. Сравнение стабильности и качества выполнения вращений показало, что обеспечение позы в основном с помощью двигательного анализатора более совершенно.

Г л а в а II

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ

 

§ 9. Поступательное движение твердого тела

 

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки дви­жутся по одинаковым и параллельным траекториям и имеют в каждый данный момент времени равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим движение отрезка прямой , проведенного в теле, совершающем поступательное движение (рис. 2.10). Из определения поступа­тельного движения следует, что в каждый данный момент времени отрезок , занимающий последовательно положения , ,   и т.д., остается параллельным своему первоначальному положению. Учиты­вая это и то что , делаем вывод, что ломаные линии   и   параллельны и при на­ложении совпадут всеми своими точками. При бесконечном уменьшении про­межутков времени между рассматриваемыми по­ложениями отрезка мы видим, что точка   и точка   описывают одинаковые кривые, т. е. кривые, совпадаю­щие при наложении.

Для доказательства второй части теоремы заметим, что

 

.  (2.27)

 

Возьмем производные по времени от левой и правой частей

 

.

 

Так как , то .

Тогда

 

;

;  (2.28)

;

. (2.29)

 

Разобранная теорема позволяет сделать вывод, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-либо одной его точки.

 

§ 10. Понятие о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

 

Вращением твер­дого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, все время остаются неподвижными.

Рассмотрим вращение твердого тела (рис. 2.11) вокруг оси, проходящей через две неподвижные точки   и . Проведем через ось   неподвижную полуплоскость   и движущуюся вместе с телом полуплоскость . Вращение тела будет определяться величиной дву­гранного угла   между по-луплоскостями   и . Угол   называется углом поворота. Условимся считать за положительное направление вращения тот случай, когда, смотря с заданного направления оси вращения, увеличение угла поворота наблюдается в сторону, противоположную движению часовой стрелки.

При вращении угол поворота   изменяется в зависимости от времени. Равенство:

 

 (2.30)

 

является уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси. Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени. Угол   в равенстве (2.30) выражается в радианах.

 

§ 11. Угловая скорость и угловое ускорение тела

 

 Предположим, что вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением , из которого можно в момент времени   найти . Пусть через промежуток времени   после момента времени   ­угол   изменится на .

Отношение приращения угла поворота   к промежутку времени , за

который произошло это приращение, называется средней угловой скоростью

 

. (2.31)

 

Переходя к пределу при , можем записать

 

;

. (2.32)

 

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной от угла поворота по времени. Угловая скорость измеряется в   и может быть как положительной, так и отрицательной. Угловая скорость   по­ложительна, если в данный момент вращение происходит против движения ча­совой стрелки, и отрицательна — в противоположном случае.

Зная зависи­мость угловой скорости   от времени , можно определить ее среднее прира­щение за единицу времени

 

.   (2.33)

 

Отношение приращения угловой скорости к приращению времени называется средним угловым ускорением.

Переходя к пределу при , записываем

 

;

.   (2.34)

 

Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое

ускорение измеряется в .

 

§ 12. Угловая скорость и угловое ускорение как векторы

 

Угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно представить в виде векторов. Вектор угловой скорости   направлен по оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела в дан­ный момент времени видно против хода часовой стрелки. По модулю этот вектор равен абсолютному значению . В качестве точки приложения вектора угловой скорости   может быть принята любая точка (вектор   есть вектор скользящий).

Вектор углового ус­корения   также лежит на оси вращения, совпадает по направлению с вектором угловой скорости   в случае ускоренного вращения (рис. 2.12, а) и направлен в противоположную сторону при замедленном вращении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 13. Скорость и ускорение точки вращаю­щегося тела

 

 Возьмем в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, некото­рую точку , находящуюся на расстоянии   от оси вращения. При вращении тела точка   движется по окружности радиуса   (рис. 2.12, б). Поэтому при пово­роте тела на угол   точка   окажется на расстоянии   от своего на­чального положения. Дифференцируя это равенство по времени, получим

 

.

 

Таким образом,

 

, (2.35)

 

т. е. скорость любой точки вращающегося тела равна произведению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость. Так как скорость   направлена по касательной к окружности, по которой движется точка , а касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то вектор   скорости любой точки вращающегося тела направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку   и ось вращения. Ускорение точки   складывается из касательной и нормальной составляющих. Касательная составляющая ускорения направлена по одной прямой со скоростью и в ту же сторону, что и скорость, если движение уско­ренное, и в противоположную сторону, если движение замедленное. По фор­мулам (2.21), (2.34) и (2.35)

 

. (2.36)

 

Нормальная составляющая ускорения направлена от точки   к оси вращения. Так как радиус кривизны в данном случае равен радиусу окружности, которую описывает точка, то по формулам (2.22) и (2.25)

 

. (2.37)

 

Касательное и нормальное ускорения точки вращающегося тела называются иначе вращательным   и центростремительным   ускорениями.

 Модуль полного ускорения на основании формулы (2.23) будет равен:

 

. (2.38)

 

Угол , который вектор полного ускорения   образует с радиусом ,

определяется равенством:

 

. (2.39)

 

 

 

 

 

§ 14. Векторные выражения скорости и ускорения точки

вращающегося тела

 

Проведем из произвольной точки   на оси вращения радиус-вектор   в рас­сматриваемую точку   тела (рис. 2.13). Тогда

 

,

 

поэтому

 

,

 

где символом   обозначено векторное произведение вектора угловой скорости   и радиуса-вектора . Вектор   перпендикулярен к плоскости, проходящей через точку   и ось вращения, и направлен в сторону вращения тела. Поэтому он совпадает с вектором скорости   как по величине, так и по направлению. Таким образом,

 

.   (2.40)

 

А так как

 

,

 

то

 

 

или

 

. (2.41)

 

Легко показать, что вектор   направлен по касательной к траектории точки в одну сторону со скоростью, если вращение ускоренное, и в противополож­ную сторону, если оно замедленное, а век­тор   направлен по радиусу к оси вра­щения. Поэтому первый из них есть вектор вращательного, а второй — центростреми­тельного ускорения точки:

; (2.42)

. (2.43)

 

Задача 2.6. Вал радиуса   приводится во вращение гирей, привешен­ной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением , где   — расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах,   — время в секундах. Опреде­лить угловую скорость   и угловое ускоре­ние   вала, а также полное ускорение вала в момент времени   (рис. 2.14).

Решение. Рассмотрим движение точки схода нити с поверхности вала , которая принадлежит одновременно и нити и гири. Скорость точки , принадлежащей нити, равна скорости движения гири:

 

.

 

Скорость точки   , принадлежащей валу, равна

 

.

 

Следовательно,

 

.

 

Получили

 

.

 

Находим угловое ускорение вала

 

.

 

Тогда полное ускорение

 

.

 

Угловая частота — Angular frequency

Угловая частота ω (в радианах в секунду) больше частоты ν (в циклах в секунду, также называемых Гц ) в 2 π раз . На этом рисунке для обозначения частоты используется символ ν , а не f . Сфера, вращающаяся вокруг оси. Точки дальше от оси перемещаются быстрее, удовлетворяя ω = v / r .

В физике , угловая частота ω (также упоминаемые условиями угловой скорости , радиальная частота , круговая частота , орбитальная частота , радиан частоты , и круговая частота ) является скалярной мерой скорости вращения. Он относится к угловому смещению в единицу времени (например, при вращении) или скорости изменения фазы синусоидальной формы волны (например, в колебаниях и волнах), или как скорость изменения аргумента синусоидального сигнала. функция. Угловая частота (или угловая скорость) — это величина угловой скорости вектора величины .

Один оборот равен 2π радиан , следовательно,

ω знак равно 2 π Т знак равно 2 π ж , {\ displaystyle \ omega = {{2 \ pi} \ над T} = {2 \ pi f},}

где:

ω — угловая частота или угловая скорость (измеряется в радианах в секунду ),
T — период (измеряется в секундах ),
f — обычная частота (измеряется в герцах ) (иногда обозначается символом ν ).

Единицы

В единицах СИ угловая частота обычно выражается в радианах в секунду , даже если она не выражает значение вращения. С точки зрения анализа размеров , единица Герц (Гц) также верна, но на практике она используется только для обычной частоты f и почти никогда для ω . Это соглашение используется, чтобы избежать путаницы, возникающей при работе с частотой или постоянной Планка, поскольку единицы измерения угла (цикл или радиан) опущены в системе СИ.

При цифровой обработке сигналов угловая частота может быть нормализована частотой дискретизации , давая нормированную частоту .

Примеры

Круговое движение

Во вращающемся или орбитальном объекте, существует зависимость между расстоянием от оси, , тангенциальная скорость , и угловая частота вращения. За один период тело, совершая круговое движение, преодолевает расстояние . Это расстояние также равна окружности пути , проходимый телом, . Уравнивая эти две величины и вспоминая связь между периодом и угловой частотой, получаем: р {\ displaystyle r} v {\ displaystyle v} Т {\ displaystyle T} v Т {\ displaystyle vT} 2 π р {\ displaystyle 2 \ pi r} ω знак равно v / р . {\ displaystyle \ omega = v / r.}

Колебания пружины

Предмет, прикрепленный к пружине, может колебаться . {2} x.}

LC-схемы

Резонансная угловая частота в последовательном LC-контуре равна квадратному корню из обратной величины произведения емкости ( C, измеренной в фарадах ) и индуктивности контура ( L , в единицах СИ — генри ):

ω знак равно 1 L C . {\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}}.}

Добавление последовательного сопротивления (например, из-за сопротивления провода в катушке) не изменяет резонансную частоту последовательного LC-контура. Для параллельной настроенной схемы приведенное выше уравнение часто является полезным приближением, но резонансная частота действительно зависит от потерь в параллельных элементах.

Терминология

Угловая частота часто условно называется частотой, хотя в строгом смысле эти две величины различаются в 2 π .

Смотрите также

Ссылки и примечания

Связанное чтение:

внешние ссылки

<img src=»https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>

Угловая скорость | Медицинские журналы

В физике угловая скорость относится к тому, насколько быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, то есть насколько быстро угловое положение или ориентация объекта изменяется со временем. Есть два типа угловой скорости: орбитальная угловая скорость и угловая скорость вращения. Угловая скорость вращения означает, насколько быстро твердое тело вращается относительно центра вращения. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированной точки начала координат, т.е.е. скорость изменения его углового положения относительно начала координат. Угловая скорость вращения не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости, которая зависит от выбора начала координат.

Обычно угловая скорость измеряется в углах в единицу времени, например радиан в секунду (угол, заменяющий расстояние от линейной скорости от времени вместе). Единица угловой скорости в системе СИ выражается в радианах в секунду, причем радиан имеет безразмерное значение, равное единице, поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ обозначаются как 1 / с или с − 1.Угловая скорость обычно обозначается символом омега (ω, иногда Ω). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная — по часовой стрелке.

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором, или 360 градусов за 24 часа, и имеет угловую скорость ω = (360 °) / (24 ч) = 15 ° / ч, или (2π рад) / (24 ч) ≈ 0,26 рад / ч. Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, {\ displaystyle v = r \ omega} {\ displaystyle v = r \ omega}.При радиусе орбиты 42000 км от центра Земли скорость спутника в космосе составляет v = 42000 км × 0,26 / ч ≈ 11000 км / ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется на восток вместе с вращением Земли (против часовой стрелки от северного полюса). В трех измерениях угловая скорость является псевдовектором, величина которого измеряет скорость, с которой объект вращается или вращается, и его направление перпендикулярно плоскости мгновенного вращения или углового смещения.Ориентация угловой скорости условно задается правилом правой руки.

В физике угловая скорость относится к тому, насколько быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, то есть насколько быстро угловое положение или ориентация объекта изменяется со временем. Есть два типа угловой скорости: орбитальная угловая скорость и угловая скорость вращения. Угловая скорость вращения означает, насколько быстро твердое тело вращается относительно центра вращения. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированной точки начала координат, т.е.е. скорость изменения его углового положения относительно начала координат. Угловая скорость вращения не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости, которая зависит от выбора начала координат.

Обычно угловая скорость измеряется в углах в единицу времени, например радиан в секунду (угол, заменяющий расстояние от линейной скорости от времени вместе). Единица угловой скорости в системе СИ выражается в радианах в секунду, причем радиан имеет безразмерное значение, равное единице, поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ обозначаются как 1 / с или с − 1.Угловая скорость обычно обозначается символом омега (ω, иногда Ω). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная — по часовой стрелке.

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором, или 360 градусов за 24 часа, и имеет угловую скорость ω = (360 °) / (24 ч) = 15 ° / ч, или (2π рад) / (24 ч) ≈ 0,26 рад / ч. Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, {\ displaystyle v = r \ omega} {\ displaystyle v = r \ omega}.При радиусе орбиты 42000 км от центра Земли скорость спутника в космосе составляет v = 42000 км × 0,26 / ч ≈ 11000 км / ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется на восток вместе с вращением Земли (против часовой стрелки от северного полюса). В трех измерениях угловая скорость является псевдовектором, величина которого измеряет скорость, с которой объект вращается или вращается, и его направление перпендикулярно плоскости мгновенного вращения или углового смещения.Ориентация угловой скорости условно задается правилом правой руки.

Актуальные темы общих наук

6.1 Угол вращения и угловая скорость — Физика

Задачи обучения разделу

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Опишите угол поворота и свяжите его с его линейным аналогом
  • Опишите угловую скорость и свяжите ее с ее линейным аналогом
  • Решить задачи, связанные с углом поворота и угловой скоростью

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в самых разных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (C) анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях с использованием уравнений, включая примеры снарядов и кругов.

Раздел Основные термины

Угол поворота

Что именно мы подразумеваем под круговым движением или вращением ? Вращательное движение — это круговое движение объекта вокруг оси вращения.Мы обсудим конкретно круговое движение и вращение. Круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории. Примеры кругового движения включают гоночный автомобиль, разгоняющийся по круговой кривой, игрушку, прикрепленную к веревке, раскачивающуюся по кругу вокруг вашей головы, или круговой loop-the-loop на американских горках. Вращение — это вращение вокруг оси, проходящей через центр масс объекта, например, вращение Земли вокруг своей оси, вращение колеса на своей оси, вращение торнадо на его пути разрушения или фигурист, вращающийся во время выступление на Олимпиаде.Иногда объекты будут вращаться во время кругового движения, как Земля вращается вокруг своей оси при вращении вокруг Солнца, но мы сосредоточимся на этих двух движениях по отдельности.

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] [OL] Объясните разницу между круговым и вращательным движением, используя вращение Земли вокруг своей оси и ее вращение вокруг Солнца. Объясните, что вращение Земли немного эллиптическое, хотя почти круглое.

[OL] [AL] Попросите студентов придумать примеры кругового движения.

При решении задач, связанных с вращательным движением, мы используем переменные, которые аналогичны линейным переменным (расстояние, скорость, ускорение и сила), но учитываем кривизну или вращение движения. Здесь мы определяем угол поворота, который является угловым эквивалентом расстояния; и угловая скорость, которая является угловым эквивалентом линейной скорости.

Когда объекты вращаются вокруг некоторой оси — например, когда компакт-диск на рис. 6.2 вращается вокруг своего центра — каждая точка в объекте следует по круговой траектории.

Рис. 6.2. Все точки на компакт-диске движутся по круговой траектории. Ямки (точки) вдоль линии от центра к краю все перемещаются на один и тот же угол ΔθΔθ за время ΔtΔt.

Длина дуги , — это расстояние, пройденное по круговой траектории. Радиус кривизны r — это радиус круговой траектории. Оба показаны на рисунке 6.3.

Рис. 6.3 Радиус ( r ) окружности повернут на угол ΔθΔθ. Длина дуги ΔsΔs — это расстояние, пройденное по окружности.

Рассмотрим линию от центра компакт-диска до его края. В заданное время каждая яма (используемая для записи информации) на этой линии перемещается на один и тот же угол. Угол поворота — это величина вращения, являющаяся угловым аналогом расстояния. Угол поворота ΔθΔθ — это длина дуги, деленная на радиус кривизны.

Угол поворота часто измеряется в радианах. (Радианы на самом деле безразмерны, потому что радиан определяется как отношение двух расстояний, радиуса и длины дуги.) Оборот — это один полный оборот, при котором каждая точка круга возвращается в исходное положение. Один оборот охватывает 2π2π радиан (или 360 градусов) и, следовательно, имеет угол поворота 2π2π радиан и длину дуги, равную длине окружности. Мы можем преобразовывать радианы, обороты и градусы, используя соотношение

1 оборот = 2π2π рад = 360 °. См. Таблицу 6.1 для преобразования градусов в радианы для некоторых распространенных углов.

2π рад = 360 ° 1рад = 360 ° 2π≈57.3 ° 2π рад = 360 ° 1рад = 360 ° 2π≈57,3 °

6,1

Градус Меры Меры радиана
30∘30∘ π6π6
60∘60∘ π3π3
90∘90∘ π2π2
120∘120∘ 2π32π3
135∘135∘ 3π43π4
180∘180∘ ππ

Таблица 6.1 Обычно используемые углы в градусах и радианах

Угловая скорость

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] Проверьте смещение, скорость, скорость, ускорение.

[AL] Спросите студентов, изменяется ли скорость при равномерном круговом движении. А как насчет скорости? А как насчет разгона?

Насколько быстро вращается объект? Мы можем ответить на этот вопрос, используя понятие угловой скорости. Рассмотрим сначала угловую скорость (ω) (ω) — это скорость, с которой изменяется угол поворота.В форме уравнения угловая скорость равна

. ω = ΔθΔt, ω = ΔθΔt,

6,2

, что означает, что угловое вращение (Δθ) (Δθ) происходит за время ΔtΔt. Если объект поворачивается на больший угол поворота в данный момент времени, он имеет большую угловую скорость. Единицы измерения угловой скорости — радианы в секунду (рад / с).

Теперь давайте рассмотрим направление угловой скорости, что означает, что теперь мы должны называть ее угловой скоростью. Направление угловой скорости — вдоль оси вращения.Для объекта, вращающегося по часовой стрелке, угловая скорость указывает от вас вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося против часовой стрелки, угловая скорость указывает на вас вдоль оси вращения.

Угловая скорость (ω) — это угловая версия линейной скорости v . Тангенциальная скорость — это мгновенная линейная скорость объекта во вращательном движении . Чтобы получить точное соотношение между угловой скоростью и тангенциальной скоростью, снова рассмотрим углубление на вращающемся компакт-диске.Эта яма перемещается по длине дуги (Δs) (Δs) за короткое время (Δt) (Δt), поэтому ее тангенциальная скорость равна

Из определения угла поворота, Δθ = ΔsrΔθ = Δsr, мы видим, что Δs = rΔθΔs ​​= rΔθ. Подставляя это в выражение для v , получаем

v = rΔθΔt = rω. v = rΔθΔt = rω.

Уравнение v = rωv = rω говорит, что тангенциальная скорость v пропорциональна расстоянию r от центра вращения. Следовательно, тангенциальная скорость больше для точки на внешнем крае компакт-диска (с большим r ), чем для точки ближе к центру компакт-диска (с меньшим r ).Это имеет смысл, потому что точка, находящаяся дальше от центра, должна покрывать большую длину дуги за то же время, что и точка ближе к центру. Обратите внимание, что обе точки по-прежнему будут иметь одинаковую угловую скорость, независимо от их расстояния от центра вращения. См. Рисунок 6.4.

Рисунок 6.4 Точки 1 и 2 вращаются на один и тот же угол (ΔθΔθ), но точка 2 перемещается на большую длину дуги (Δs2Δs2), поскольку она дальше от центра вращения.

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[AL] Объясните, что период времени ΔtΔt в уравнении, определяющем тангенциальную скорость (v = ΔsΔtv = ΔsΔt), должен быть коротким, чтобы дугу, описываемую движущимся объектом, можно было приблизительно представить как прямую. линия.Это позволяет нам определить направление касательной скорости как касательное к окружности. Это приближение становится все более точным по мере того, как ΔtΔt становится все меньше и меньше.

Теперь рассмотрим другой пример: шину движущегося автомобиля (см. Рис. 6.5). Чем быстрее вращается шина, тем быстрее движется автомобиль — большое ωω означает большое v , потому что v = rωv = rω. Точно так же шина большего радиуса, вращающаяся с той же угловой скоростью ωω, будет создавать для автомобиля большую линейную (тангенциальную) скорость v, .Это связано с тем, что больший радиус означает, что большая длина дуги должна касаться дороги, поэтому автомобиль должен двигаться дальше за то же время.

Рисунок 6.5 Автомобиль, движущийся со скоростью v, вправо, имеет шину, вращающуюся с угловой скоростью ωω. Скорость протектора шины относительно оси составляет v , такая же, как если бы автомобиль был поднят домкратом и колеса вращались, не касаясь дороги. Непосредственно под осью, где шина касается дороги, протектор шины движется назад по отношению к оси с тангенциальной скоростью v = rωv = rω, где r — радиус шины.Поскольку дорога неподвижна относительно этой точки шины, автомобиль должен двигаться вперед с линейной скоростью v . Большая угловая скорость шины означает большую линейную скорость автомобиля.

Однако есть случаи, когда линейная скорость и тангенциальная скорость не эквивалентны, например, когда автомобиль вращает свои колеса по льду. В этом случае линейная скорость будет меньше тангенциальной скорости. Из-за отсутствия трения под шинами автомобиля на льду длина дуги, по которой движутся протекторы шины, больше, чем линейное расстояние, по которому движется автомобиль.Это похоже на бег на беговой дорожке или на велотренажере; вы буквально никуда не денетесь.

Советы для успеха

Угловая скорость ω и тангенциальная скорость v являются векторами, поэтому мы должны включить величину и направление. Направление угловой скорости — вдоль оси вращения и указывает от вас для объекта, вращающегося по часовой стрелке, и к вам для объекта, вращающегося против часовой стрелки. В математике это описывается правилом правой руки.Тангенциальная скорость обычно описывается как вверх, вниз, влево, вправо, север, юг, восток или запад, как показано на рисунке 6.6.

Рис. 6.6. Поскольку муха на краю старинной виниловой пластинки движется по кругу, ее мгновенная скорость всегда направлена ​​по касательной к кругу. Направление угловой скорости в данном случае указано на странице.

Watch Physics

Взаимосвязь между угловой скоростью и скоростью

В этом видео рассматриваются определение и единицы угловой скорости и их связь с линейной скоростью.Здесь также показано, как преобразовать число оборотов в радианы.

Проверка захвата

Изменится ли линейная скорость объекта, движущегося по круговой траектории с постоянной угловой скоростью при увеличении радиуса траектории?

  1. Да, потому что тангенциальная скорость не зависит от радиуса.
  2. Да, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.
  3. Нет, поскольку тангенциальная скорость не зависит от радиуса.
  4. Нет, потому что тангенциальная скорость зависит от радиуса.

Решение задач, связанных с углом вращения и угловой скоростью

Snap Lab

Измерение угловой скорости

В этом упражнении вы будете создавать и измерять равномерное круговое движение, а затем сравнивать его с круговыми движениями с разными радиусами.

  • Одна струна (длина 1 м)
  • Один предмет (резиновая пробка с двумя отверстиями) для привязки к концу
  • Один таймер

Процедура

  1. Привяжите объект к концу строки.
  2. Поверните объект по горизонтальному кругу над головой (замахиваясь запястьем). Важно, чтобы круг был горизонтальным!
  3. Удерживайте объект на постоянной скорости во время качания.
  4. Измерьте таким образом угловую скорость объекта. Измерьте время в секундах, за которое объект совершит 10 оборотов. Разделите это время на 10, чтобы получить угловую скорость в оборотах в секунду, которую вы можете преобразовать в радианы в секунду.
  5. Какова приблизительная линейная скорость объекта?
  6. Переместите руку вверх по тетиве так, чтобы ее длина составляла 90 см.Повторите шаги 2–5.
  7. Переместите руку вверх по струне так, чтобы ее длина составила 80 см. Повторите шаги 2–5.
  8. Переместите руку вверх по струне так, чтобы ее длина составила 70 см. Повторите шаги 2–5.
  9. Переместите руку вверх по струне так, чтобы ее длина составила 60 см. Повторите шаги 2–5
  10. .
  11. Переместите руку вверх по струне так, чтобы ее длина составила 50 см. Повторите шаги 2–5
  12. .
  13. Постройте графики зависимости угловой скорости от радиуса (т. Е. Длины струны) и линейной скорости от радиуса. Опишите, как выглядит каждый график.

Проверка захвата

Если вы поворачиваете объект медленно, он может вращаться со скоростью менее одного оборота в секунду. Какими были бы обороты в секунду для объекта, который совершает один оборот за пять секунд? Какова была бы его угловая скорость в радианах в секунду?

  1. Объект будет вращаться со скоростью 15 об / с. Угловая скорость объекта будет 2π5рад / с.
  2. Объект будет вращаться со скоростью 15 об / с. Угловая скорость объекта будет π5рад / с.
  3. Объект будет вращаться со скоростью 5 об / с. Угловая скорость объекта будет 10πрад / с.
  4. Объект будет вращаться со скоростью 5 об / с. Угловая скорость объекта будет 5πрад / с.

Теперь, когда у нас есть понимание понятий угла поворота и угловой скорости, мы применим их к реальным ситуациям с часовой башней и вращающимся колесом.

Рабочий пример

Угол поворота часовой башни

Часы на часовой башне имеют радиус 1.0 мин. (а) На какой угол поворота движется часовая стрелка часов, когда она движется с 12 часов дня. до 15:00? (б) Какова длина дуги по внешнему краю часов между часовой стрелкой в ​​эти два момента времени?

Стратегия

Мы можем вычислить угол поворота, умножив полный оборот (2π2π радиан) на долю 12 часов, покрытых часовой стрелкой при переходе от 12 до 3. Когда у нас есть угол поворота, мы можем решить для длину дуги, переписав уравнение Δθ = ΔsrΔθ = Δsr, так как радиус задан.

Решение для (а)

При переходе с 12 на 3 часовая стрелка покрывает 1/4 из 12 часов, необходимых для совершения полного оборота. Следовательно, угол между часовой стрелкой в ​​точках 12 и 3 равен 14 × 2πrad = π214 × 2πrad = π2 (т.е. 90 градусов).

Решение (b)

Преобразование уравнения

получаем

Вставка известных значений дает длину дуги

Δs = (1,0 м) (π2рад) = 1,6 м Δs = (1,0 м) (π2рад) = 1.6 м

6,6

Обсуждение

Нам удалось отбросить радианы из окончательного решения в часть (b), потому что радианы фактически безразмерны. Это потому, что радиан определяется как отношение двух расстояний (радиуса и длины дуги). Таким образом, формула дает ответ в метрах, как и ожидалось для длины дуги.

Рабочий пример

Как быстро вращается автомобильная шина?

Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется со скоростью 15.0 м / с (около 54 км / ч). См. Рисунок 6.5.

Стратегия

В этом случае скорость протектора шины по отношению к оси шины такая же, как и скорость автомобиля по отношению к дороге, поэтому мы имеем v = 15,0 м / с. Радиус покрышки r = 0,300 м. Поскольку нам известны v и r , мы можем переписать уравнение v = rωv = rω, чтобы получить ω = vrω = vr и найти угловую скорость.

Решение

Чтобы найти угловую скорость, воспользуемся соотношением: ω = vrω = vr.

Вставка известных величин дает

ω = 15,0 м / с 0,300 м = 50,0 рад / с. ω = 15,0 м / с 0,300 м = 50,0 рад / с.

6,7

Обсуждение

Когда мы отменяем единицы измерения в приведенном выше вычислении, мы получаем 50,0 / с (то есть 50,0 в секунду, что обычно записывается как 50,0 с −1 ). Но угловая скорость должна иметь единицы рад / с. Поскольку радианы безразмерны, мы можем вставить их в ответ для угловой скорости, потому что мы знаем, что движение является круговым. Также обратите внимание, что если землеройный трактор с гораздо большими шинами, скажем, 1.Радиус 20 м, двигался с той же скоростью 15,0 м / с, его шины вращались медленнее. У них будет угловая скорость

ω = 15,0 м / с 1,20 м = 12,5 рад / с ω = 15,0 м / с 1,20 м = 12,5 рад / с

6,8

Практические задачи

1.

Какой угол в градусах между часовой и минутной стрелками часов, показывающих 9:00 утра?

  1. 0 °
  2. 90 °
  3. 180 °
  4. 360 °
2.

Каково приблизительное значение длины дуги между часовой и минутной стрелками часов, показывающих 10:00 a.м, если радиус часов 0,2 м?

  1. 0,1 м
  2. 0,2 м
  3. 0,3 м
  4. 0,6 м

Проверьте свое понимание

3.

Что такое круговое движение?

  1. Круговое движение — это движение объекта по линейному пути.
  2. Круговое движение — это движение объекта по зигзагообразной траектории.
  3. Круговое движение — это движение объекта по круговой траектории.
  4. Круговое движение — это движение объекта по окружности или вращение по круговой траектории.
4.

Что подразумевается под радиусом кривизны при описании вращательного движения?

  1. Радиус кривизны — это радиус круговой траектории.
  2. Радиус кривизны — это диаметр круговой траектории.
  3. Радиус кривизны — это длина окружности круговой траектории.
  4. Радиус кривизны — это площадь круговой траектории.
5.

Что такое угловая скорость?

  1. Угловая скорость — это скорость изменения диаметра круговой траектории.
  2. Угловая скорость — это скорость изменения угла, образованного круговой траекторией.
  3. Угловая скорость — это скорость изменения площади круговой траектории.
  4. Угловая скорость — это скорость изменения радиуса круговой траектории.
6.

Какое уравнение определяет угловую скорость ω? Предположим, что r — радиус кривизны, θ — угол, а t — время.

  1. ω = ΔθΔt
  2. ω = ΔtΔθ
  3. ω = ΔrΔt
  4. ω = ΔtΔr
7.

Назовите три примера объекта, совершающего круговое движение.

  1. Искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли, гоночный автомобиль, движущийся по круговой гоночной трассе, и волчок, вращающийся вокруг своей оси
  2. искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли, гоночный автомобиль, движущийся по круговой гоночной трассе, и мяч, привязанный к веревке, вращающейся по кругу вокруг головы человека
  3. Земля вращается вокруг своей оси, гоночный автомобиль движется по круговой гоночной трассе, и мяч, привязанный к веревке, вращается по кругу вокруг головы человека
  4. Земля, вращающаяся вокруг своей оси, лопасти работающего потолочного вентилятора и волчок, вращающийся вокруг собственной оси
8.

Какова относительная ориентация векторов радиуса и тангенциальной скорости объекта при равномерном круговом движении?

  1. Вектор тангенциальной скорости всегда параллелен радиусу круговой траектории, по которой движется объект.
  2. Вектор тангенциальной скорости всегда перпендикулярен радиусу круговой траектории, по которой движется объект.
  3. Вектор тангенциальной скорости всегда находится под острым углом к ​​радиусу круговой траектории, по которой движется объект.
  4. Вектор тангенциальной скорости всегда находится под тупым углом к ​​радиусу круговой траектории, по которой движется объект.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы Проверьте свое понимание , чтобы оценить, усвоили ли учащиеся учебные цели этого раздела. Если учащиеся борются с определенной целью, формирующая оценка поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

Как измерить угловое движение с помощью гироскопа

Измерение углового движения может быть важным в самых разных приложениях, включая спортивную биомеханику и астрономию. В этом сообщении блога я расскажу, как определять вращение и что необходимо для вычисления угловой скорости. Затем я расскажу, как измерить вращение и что требуется (включая формулы) для вычисления угловой скорости с помощью акселерометра. Существует множество акселерометров и систем сбора данных, которые могут помочь измерить как ориентацию, так и ускорение, но для этого поста я буду использовать один из датчиков enDAQ моей компании, поскольку он оснащен встроенными гироскопами и акселерометрами.

Я закрою:


Справочная рамка

Чтобы определить вращение (и, в более широком смысле, угловую скорость и ускорение), сначала необходимо определить некоторые термины:

Вектор на основе

Векторный базис — это набор некопланарных векторов, которые используются для определения ориентации. Векторные базы могут иметь дополнительные свойства, например:

  • Ортогонально — базисные векторы взаимно ортогональны. Ортогональные векторные базисы также жесткие по определению
  • Нормальный — все базисные векторы являются единичными векторами
  • Rigid — углы между базисными векторами постоянны.Это привносит в основу ощущение времени, поскольку время должно быть определено, чтобы углы не менялись с течением времени.
Примером трехмерного базиса ортонормированных векторов являются единичные векторы, образующие базис в.

Справочная рамка

Опорный кадр — это бесконечный набор неколлинеарных точек, где расстояние между любыми двумя точками постоянно. Еще раз, термин «постоянная» подразумевает чувство времени. Справочные рамки определяют как положение, так и ориентацию. Удобный способ определения системы отсчета N — использование точки и базиса ортонормированного вектора, зафиксированного в N .Системы отсчета могут быть ньютоновскими или неньютоновскими:

  • Ньютоновская система отсчета — (также известная как инерциальная система отсчета) неускоряющаяся (включая невращающуюся) систему отсчета, в которой точно предсказывается все движение. Земля — ​​это неньютоновская система отсчета, однако ее часто можно аппроксимировать как ньютоновскую систему отсчета.
  • Неньютоновская система отсчета — ускоряющаяся система отсчета, в которой не применяется.

В данном руководстве мы ограничимся рассмотрением трехмерных ортонормированных векторных базисов. Ориентация и ее производные (угловая скорость и ускорение) могут быть определены без указания каких-либо точек, поэтому они могут быть определены в терминах пары базисов векторов. Поскольку системы отсчета содержат векторные базы, ориентацию также можно определить в терминах двух систем отсчета. Положение и его производные (скорость и ускорение) определяются между двумя точками и, следовательно, требуют определения по крайней мере одной системы отсчета.


Ориентация

Ориентация твердого тела определяется выравниванием между векторным базисом, прикрепленным к телу, и другим векторным базисом или системой отсчета. Для целей этого руководства мы будем рассматривать ориентацию тела B (определяемую ортонормированными базисными векторами) в мировой системе отсчета W (определяемой ортонормированными базисными векторами). Есть несколько способов определить ориентацию B в W .

  1. Матрица вращения — матрица вращения b R w , которая определяется следующим образом:
  2. Углы Эйлера — последовательные повороты вокруг базисных векторов b . Эти повороты могут выполняться в любом порядке, например, XYZ или YZY .
  3. Параметры Эйлера (кватернионы) — Любое вращение (и), которое может быть выражено с помощью любого из двух предыдущих методов, также может быть выражено как одиночный поворот на θ вокруг единичного вектора.фиксируется как в W , так и в B для этого поворота, а θ — это угол между двумя произвольными векторами (фиксированными в W ) и (фиксированными в B ), которые изначально равны. Следует отметить, что фиксируется только для этого вращения, и не гарантируется, что он останется фиксированным для последующих вращений. Вращение с использованием параметров Эйлера можно удобно выразить и эффективно вычислить с помощью кватернионов.

Преобразование между этими формами может быть выполнено с использованием формул, приведенных в этом Техническом обзоре НАСА [2].


Кватернионы

Кватернион — это гиперкомплексное число в форме

.
(1)

где

(2)

В этом документе кватернионы будут выделены жирным шрифтом. Более удобный способ выразить (1) в виде суммы скаляра и вектора

(3)

Есть несколько свойств и определений кватернионов, которые будут иметь отношение к этому анализу.

Таблица 1: Свойства и определения кватернионов

Как упоминалось ранее, кватернионы — удобный способ выразить параметры Эйлера (вращения). Это можно сделать, переписав (3) как кватернион

.
(4)

Предположим, что это вектор в основе тела B . можно выразить как чистый кватернион

(5)

Предположим также, что преобразование между базисом тела B и мировой системой отсчета W достигается за счет поворота на θ вокруг, выраженного кватернионом единицы q , как определено в (4) .Преобразование в мир рамы W можно сделать с помощью

(6)

Эта операция известна как поворот кадра, потому что опорный кадр вращается, а сам вектор не изменяется. Доказательство этого соотношения можно найти в [3].


Угловая скорость

Угловая скорость тела B , выраженная в мировой системе координат W , обозначается как. При работе с вращениями возникает соблазн выразить угловую скорость вращающейся рамы как

.

, однако, это действительно только в том случае, если остается фиксированным в обоих кадрах! Если меняется, угловая скорость равна

.
(7)
(8)

, доказательство которого можно найти в [4].Поскольку является вектором, его необходимо дифференцировать в системе отсчета (или в векторном базисе). Оказывается, что производная по времени одинакова как в мировой системе отсчета, так и в основе тела. Используя (4), (7) можно записать как

(9)

где. Это уравнение можно доказать несколькими способами [1] [3]. При численном решении (9) действительная часть может быть отличной от нуля, однако этим можно пренебречь в разумном приближении.


Разгон

Помимо вычисления угловой скорости, кватернионы также могут использоваться для преобразования данных акселерометра между опорными кадрами.Ускорение определяется положением и, следовательно, должно определяться в системе отсчета, а не в векторной основе. Наиболее удобный способ формирования системы отсчета в этом случае — с точечным и векторным базисом. Выбор этой точки произвольный, так как ускорение одной системы отсчета в другой не зависит от абсолютного расстояния между любыми двумя точками. Любой вектор, например, ускорение, может быть преобразован из одной системы отсчета к другому с помощью уравнения (6).

Следует отметить, что мировая система отсчета является неньютоновской системой отсчета из-за вращения Земли.Этот эффект может иметь или не иметь отношения к вашим измерениям, в зависимости от приложения и продолжительности сбора данных.


Применение для датчиков enDAQ

Датчики

enDAQ оснащены блоком IMU, который выводит данные об ориентации в виде массива кватернионов. Эти кватернионы обеспечивают векторную основу датчика enDAQ D (определенную на рисунке 1) в одной из двух возможных базовых данных в каждой точке сбора данных.

Рисунок 1. Датчик enDAQ S4 с базисными векторами, обозначенными

Две возможные справочные базы связаны с тем, как ориентация рассчитывается IMU:

  1. Абсолютная ориентация — ориентация рассчитывается с помощью гироскопа с поправками от акселерометра и магнитометра.За основу берется мировой базис, W , который формируется путем направления на север, направления противоположно вектору силы тяжести и формирования правой системы
  2. .
  3. Relative Orientation — Ориентация рассчитывается с помощью гироскопа с поправками только от акселерометра. Базис D 0 совпадает с базисом датчика enDAQ D в первой точке сбора данных

Более подробную информацию о преимуществах и недостатках этих двух систем можно найти в этом сообщении блога enDAQ: Кватернионы для ориентации.

Гироскоп в IMU измеряет угловую скорость, а затем интегрирует, чтобы найти ориентацию. Это означает, что мы можем дифференцировать ориентацию, чтобы найти угловую скорость, не беспокоясь об усилении шума. На рисунке 2 сравнивается угловая скорость, рассчитанная с использованием (9), и угловая скорость, измеренная непосредственно IMU. Следует отметить, что IMU в датчике enDAQ не может одновременно обеспечивать кватернион ориентации и исходную угловую скорость IMU, поэтому данные на рисунке 2 были получены двумя датчиками enDAQ, установленными на одной и той же вращающейся поверхности.Небольшие различия между ними являются результатом различных уровней шума, а также несовершенства взаимной корреляции двух сигналов.

Рис. 2. Угловая скорость, вычисленная путем дифференцирования кватерниона и полученная непосредственно из IMU

Получение угловой скорости и ускорения от датчика enDAQ IMU

  1. Отформатируйте датчик enDAQ, выбрав абсолютную или относительную ориентацию.
  2. Получить данные.
  3. Численно дифференцируйте массив кватернионов, чтобы найти, используя
    Эти лекции дают хороший обзор методов конечных разностей численного интегрирования.
  4. Рассчитайте угловую скорость и ускорение для базиса enDAQ D в базисе A (где A — это либо мировой базис W , либо исходный базис D 0 ) численно с использованием уравнения 9) и Таблицу 1.

    где.
  5. Выбранный вами базис может быть не самым удобным для выражения угловой скорости, поэтому его можно преобразовать в новый базис N с помощью
    , где q — кватернион, описывающий преобразование между A и N .

Преобразование ускорения датчика enDAQ с помощью кватернионов

Массив кватернионов также может быть использован для преобразования данных ускорения от вращающегося enDAQ Датчик отсчета в неподвижной системе отсчета в каждой точке сбора данных с использованием

, где D — опорный кадр enDAQ, а A — либо мировой опорный кадр W , либо начальный опорный кадр D 0 в зависимости от того, находится ли устройство в режиме абсолютного или относительного положения.


Заключение

Итак, это ваш обзор углового движения и того, как использовать датчик enDAQ для измерения вращения и угловой скорости. Надеюсь, вы сочли это полезным. Чтобы получить больше подобного контента, не забудьте подписаться на наш блог, и если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь оставлять комментарии ниже или обращаться к нам напрямую.

Похожие сообщения:


Список литературы

[1] Базиль Граф. «Кватернионы и динамика».en. In: arXiv: 0811.2889 [math-ph] (ноябрь 2008 г.). arXiv: 0811.2889 [math-ph].

[2] Д. М. Хендерсон. «Углы Эйлера, кватернионы и матрицы преобразования». en. В: (1977), с. 42.

[3] Ян-Бинь Цзя. Кватернионы . Сентябрь 2019.

[4] Пол Митиги. Расширенная динамика и моделирование движения . 2015.

Научный эксперимент — измерение угловой скорости

Введение

Маленькая модель самолета получает большую часть своей тяги вперед за счет пропеллера.Пропеллер приводится в движение двигателем внутреннего сгорания или электродвигателем. Угловая скорость или скорость, с которой вращается винт, обычно измеряется в оборотах в минуту (об / мин), при этом тяга самолета прямо пропорциональна оборотам гребного винта.

Обычно число оборотов модели самолета измеряется с помощью тахометра. Этот эксперимент показывает, как можно измерить число оборотов в минуту с помощью регистратора данных DrDAQ.

Необходимое оборудование

  • Регистратор данных DrDAQ
  • Программное обеспечение осциллографа PicoScope
  • Модель самолета
  • Маленький фонарик / фонарик

Экспериментальная установка

Для этого эксперимента использовалась небольшая модель самолета с двумя пропеллерами, каждый с двумя лопастями.Идея состоит в том, чтобы использовать датчик освещенности DrDAQ для измерения частоты вращающегося гребного винта. В качестве источника света используется простой фонарик. Поскольку пропеллер состоит из двух лопастей, луч света от фонарика будет прерываться два раза при каждом обороте пропеллера.

DrDAQ используется для измерения частоты (f) светового луча в герцах (циклах в секунду), и исходя из этого можно рассчитать число оборотов в минуту:

об / мин гребного винта = (частота / количество лопастей гребного винта) * количество секунд в минуте = (f / 2) * 60

Функция измерителя в PicoScope может отображать частоту в герцах или ее можно вычислить вручную путем измерения отображаемой формы сигнала.В этом случае частота будет:

частота = (1 / T) * 1 000 000 — где T — время, затрачиваемое в мкс на один полный цикл формы сигнала.

Для измерения числа оборотов модель самолета была привязана к креслу в вертикальном положении так, чтобы пропеллер был обращен вниз (как показано на рисунке 1). Фонарик крепился вверху, а регистратор данных DrDAQ — внизу. Расстояние DrDAQ было скорректировано путем размещения его на нескольких книжках, стараясь не размещать его слишком близко к пропеллеру.

Рисунок 1: Измерение частоты вращения гребного винта с помощью DrDAQ

(PDF) Высокочувствительное измерение угловой скорости на основе оптоэлектронного генератора с внутриконтурным интерферометром Саньяка

Измеренные сдвиги частоты колеблющегося микроволнового сигнала

в зависимости от угловой скорости представлены на рис.5.

Линейная аппроксимация выполняется для измерения угловой скорости, и теоретические значения

добавляются для сравнения. Достигнутая шкала чувствительности

достигает 51,8 кГц / (рад / с) с коэффициентом корреляции

(R2) 0,998, что хорошо согласуется с теоретическими результатами

. Небольшое отклонение между экспериментальными

ментальными и теоретическими значениями может быть результатом неточности

параметров и ограниченного коэффициента экстинкции

PBS.Знак сдвига частоты ΔF указывает направление вращения

. Если ΔF означает, что стол вращается в направлении CW

, то -ΔF означает, что стол вращается в направлении CCW

. То же самое с направлением распространения

обмена OC и боковыми полосами первого порядка. Когда

OC и боковые полосы первого порядка переключают выходные порты

PBS путем настройки PC2, частота сместится в противоположное направление

при том же направлении вращения и скорости

.

Диапазон измерения датчика ограничен примерно

12,84 рад ∕ с, что определяется FSR OEO

, в пределах которого частотный сдвиг изменяется линейно с угловой скоростью вращения и не зависит. переключения режимов. В теории

минимальная угловая скорость, которая может быть оценена, равна

, что определяется чувствительностью предложенной схемы

и точностью измерения частоты ESA. Это может быть

заключено как 1.9 × 10-5рад ∕ с (3,98 ° / ч) с чувствительностью

51,8 кГц и частотным разрешением 1 Гц ESA использовал в нашем эксперименте

. Однако на практике

трудно достичь такого высокого разрешения из-за нестабильности осциллирующего микроволнового сигнала

. Помимо изменяемой внешней среды, такой как температура и вибрация, дрейф модулятора

и изменение состояния поляризации света

через ПК также будут способствовать нестабильности осциллирующего микроволнового сигнала

. .Кроме того, ограниченная точность

таблицы ротации может быть еще одним источником ошибок, которые могут снизить производительность системы. Обратите внимание, что для улучшения чувствительности

все источники невзаимности, за исключением того, что вызвано эффектом Саньяка

, должны быть устранены. Следовательно, система

должна работать в одномодовом состоянии, а многомодовые волокна

ухудшат характеристики измерения.

Волокна с сохранением поляризации предпочтительны для практических применений

.

В заключение, мы предложили и продемонстрировали измерение угловой скорости с высокой чувствительностью

на основе OEO

, встроенного в интерферометр Саньяка. Используя поляризационную зависимость LiNbO3MZM от поляризации

, был сгенерирован специальный сигнал ODSB по модулю

с обратно ортогональным OC и боковыми полосами

. Затем он был разделен на две ветви PBS

, движущимся в противоположных направлениях вдоль петли Саньяка.

Разность фаз между ОС и боковыми полосами, вызванная эффектом Саньяка

, была сопоставлена ​​с колеблющимся сдвигом частоты микроволн

путем включения петли Саньяка в структуру OEO

. Система не требует внешних источников СВЧ

и, таким образом, очень проста и компактна. Проблема блокировки

также устраняется благодаря тому факту, что основным сенсорным датчиком является интерферометр Саганка

, а OEO используется для преобразования разности фаз, вызванной

Саньяком, в сдвиг частоты os-

. колеблющийся микроволновый сигнал.Был проведен эксперимент

, в котором шкала сверхвысокой чувствительности 51,8 кГц / (рад / с) составила

для измерения угловой скорости. Обратите внимание, что высокая спектральная чистота

и SMSR сгенерированного микроволнового сигнала

OEO также могут обеспечить систему с высокой точностью

и высокоскоростным опросом за счет использования технологии цифровой обработки сигналов

.

Финансирование. Национальный фонд естественных наук Китая

(NSFC) (61475015, 61775015).

ССЫЛКИ

1. К. Чиминелли, Ф. Делль’Олио, К. Э. Кампанелла и М. Н. Армениз, Adv.

Опт. Фотон. 2, 370 (2010).

2. Пост E. J., Rev. Mod. Phys. 39, 475 (1967).

3. Х. К. Лефевр, К. Р. Physique 15, 851 (2014).

4. Дж. Синь, Дж. Лю, Дж. Цзин, Опт. Экспресс 25, 1350 (2017).

5. Т. Л. Густавсон, П. Буйе, М. А. Касевич, Phys. Rev. Lett. 78,

2046 (1997).

6. Колкиран А., Агарвал Г.С., Опт.Экспресс 15, 6798 (2007).

7. W. W. Chow, J. Gea-Banacloche, L. M. Pedrotti, V. E. Sanders, W.

Schleich, M.O. Scully, Rev. Mod. Phys. 57, 61 (1985).

8. Прокофьева Л. П., Сахаров В. К., Щербаков В. В., Quantum

Electron. 44, 362 (2014).

9. J. Li, M.-G. Сух, К. Вахала, Optica 4, 346 (2017).

10. В. Лян, В. С. Ильченко, А. А. Савченков, Э. Дейл, Д. Элиягу, А. Б.

Мацко, Л. Малеки, Optica 4, 114 (2017).

11. X. S. Yao, L. Maleki, J. Opt. Soc. Являюсь. В 13, 1725 (1996).

12. J. Yao, J. Lightwave Technol. 35, 3489 (2016).

13. Конг Ф., Ли У., Яо Дж., Опт. Lett. 38, 2611 (2013).

14. Б. Инь, М. Ван, С. Ву, Ю. Тан, С. Фэн, Х. Чжан, Опт.

Экспресс 25, 14106 (2017).

15. Дж. Лю, М. Ван, Ю. Тан, Ю. Ян, Ю. Ву, В. Цзинь и С. Цзянь, IEEE

Photon. Technol. Lett. 29, 2008 (2017).

16. Дж. Ли, С. Парк, Д.Х. Сео, С. Х. Йим, С. Юн, Д. Чо, Опт.

Экспресс 24, 21910 (2016).

17. Ю. Ян, М. Ван, Ю. Шен, Ю. Тан, Дж. Чжан, Ю. Ву, С. Сяо, Дж. Лю,

Б. Вэй, К. Дин и С. Цзянь , IEEE Photon. J. 10, 6800309 (2018).

18. Конопский В.Н., Опт. Commun. 126, 236 (1996).

19. V. De Almeida, Proc. SPIE 4185, 41854J (2000).

20. Б. Ву, М. Ван, Ю. Тан, Дж. Сун и С. Цзянь, IEEE Photon. J. 8,

5501208 (2016).

21.Григорий Б.М. // УФН. Усп. 43, 1229 (2000).

22. Г. Б. Малыкин, Phys. Усп. 57, 714 (2014).

Рис. 5. Сдвиги частоты микроволнового сигнала в зависимости от угловой скорости

.

2802 Том. 43, № 12/15 июня 2018 г. / Optics Letters Letter

Untitled Document

Untitled Document

Угловые величины

Первое, что вам нужно знать о вращательном движении, — это три основных измерения.Есть тета, которая измеряет угол, омега, который измеряет угловую скорость, а альфа измеряет угловое ускорение. Если вы также хотите узнать расстояния и еще три измерения, которые дело с длиной дуги.

— Тета — угол


На изображении круга выше вы можете видеть тэту и длину дуги. В этом случае тета составляет 45 градусов или (PI / 4) радиан в зависимости от какую систему измерения вы используете.Длина дуги рассчитывается по простой формула: [длина дуги] = [радиус] * [угол в радианах]
Таким образом, если радиус равен 16 единицам, длина дуги будет (PI / 4) * 16 = 4PI

— Omega — угловая скорость.


Анимация выше является примером угловой скорости. Каждый из этих разделов 45 градусов или ПИ / 4 радиана, и каждый из них покрывается за 0,75 секунды.
Итак, по формуле [среднее угловое скорость] = [изменение угла] / [изменение во времени] вы получите (PI / 4) /.75 = (1/3) PI за второй. Однако это только средняя скорость, которая принимает начало и конец. точки движения и вычисляет скорость от этого. Существует также мгновенный скорость: . Эта формула измеряет скорость в любой момент времени во время движения. .

Концепция тангенциальной скорости основана на том факте, что если бы вы внезапно выпустить вращающийся объект с орбиты, он улетит по касательной до той точки, где это было, когда произошло освобождение.Таким образом стрелки указывают в каком направлении объект полетел бы в этой точке вращения. Примечание кроме того, по мере приближения к центру стрелки становятся меньше. Это до к тому, что тангенциальная скорость связана с радиусом. Чем меньше радиус тем меньше тангенциальная скорость. Формула проста: [тангенциальная скорость] = [радиус] * [угловая скорость]
Итак, в этом примере (R равно 10) 10 * PI / 2 = 5PI м / с

— Alpha — угловое ускорение.


В этой анимации круг разделен на части, которые имеют размер PI / 16 радиан. (11.25 градусов) каждый. Если бы это была постоянная угловая скорость, один срез был бы покрывается за секунду. Но присутствует ускорение PI / 16 / сек / сек. Таким образом, сначала покрывается один кусок, затем два, затем три и так далее. Расчет также довольно проста и аналогична обычному ускорению.
Формула: [среднее угловое ускорение] = [изменение угловой скорости] / [время]
Так в случае с анимацией: (PI / 8 в секунду — PI / 16 в секунду) / 1 секунда = (PI / 16) / сек / сек.

Как и в случае со скоростью, рассчитывается среднее ускорение. от начальной и конечной скоростей. Мгновенное ускорение обозначается by: где dt — момент времени время во время поездки.

Тангенциальное ускорение тоже довольно легко вычислить. Формула вполне аналогично предыдущему: [тангенциальный ускорение] = [радиус] * [угловое ускорение]

Помните : никогда не используйте градусы в этих формулах, они только работать с радианами.

Связь радианов и угловой скорости с переменным током

Радианы и угловая скорость — это термины, которые обычно используются в теории переменного тока и измерениях переменного тока. Большая часть электроэнергии, используемой в коммерческих целях, вырабатывается как переменный ток (AC). Основная причина использования переменного тока заключается в том, что переменное напряжение может легко повышаться или понижаться. Это огромное преимущество в системах распределения электроэнергии, позволяющее генерировать и распределять мощность переменного тока при высоком напряжении и снижать его до более практичного напряжения на нагрузке.В сегодняшнем обсуждении мы рассмотрим отношение радиан и угловой скорости к цепи переменного тока. Переменный ток возникает, когда проводник вращается в магнитном поле. Это приводит к форме волны, которая называется синусоидальной волной.

Синусоида

Синусоидальная волна — это электрическая волна, которая создается, когда амплитуда или количество сигнала изменяется пропорционально синусу угла, на который проводник вращается в любой данный момент времени.Это очень распространенный тип переменного тока, который вырабатывается вращающейся электрической машиной, такой как генератор, или электронным генератором. Когда проводник вращается по окружности, он перемещается на 360 градусов. Эти точки градусов можно проиллюстрировать на осциллограмме. Например, полное вращение или полная форма волны составляет 360 градусов, половина вращения или половина формы волны — 180 градусов. На изображении ниже показано формирование синусоидальной волны при повороте проводника на 360 градусов.

Радиан

Ранее мы рассмотрели формирование синусоидальной волны при повороте проводника на 360 градусов. Теперь мы научимся измерять углы в радианах. В цепях переменного тока углы часто измеряются в радианах, а не в градусах. Радиан определяется дугой окружности, длина которой равна радиусу окружности. Длина окружности равна 2πr , где r — радиус. Таким образом, полный круг будет иметь 2π радиан, которые стянуты на 360 °.Другими словами, чтобы вычислить, сколько градусов в радианах, вы можете указать количество радианов в круге как 2π радиан, , что равно количеству градусов в круге (360 градусов). Таким образом, количество градусов в радианах можно найти, разделив 360 ° на 2π.

Формула: 2πr = 360 °, r = 360 ° / 2π, 1 радиан = 57,3 °

Угловая скорость

Угловая скорость — это еще один термин, связанный с мерой радиана.Это скорость изменения углового смещения во времени. Это равно расстоянию, пройденному проводником, которое измеряется в радианах, , деленное на период ( T ), времени, затраченное на один оборот. Термин угловая скорость также может быть обозначен буквенным обозначением ω , которое является строчной греческой буквой Омега. Следовательно, Омега равна такому количеству радианов в секунду. Если мы посмотрим только на одну форму сигнала, тогда ω будет равно 2π радиан за время в секундах i.е. ( ω = 2π / T ). Угол, на который перемещаются проводники за одну секунду, можно записать как:

Угловая скорость = ω = 2π / T (радиан / сек)

Еще один термин, который мы обсудим, который относится к радианной мере и угловой скорости, — это частота. Частота ( f ) относится к количеству циклов или сигналов в секунду с единицей измерения герц или Гц . В формуле f = 1 / T . Если мы объединим формулы двух последних членов, мы получим угловую скорость или Omega, равную 2πf .

Дано: ω = 2π / T и f = 1 / T, поэтому T = 1 / f, вместе ω = 2π / (1 / f) = 2πf

Термин омега ω — это термин, который вы встретите в ряде формул при изучении теории переменного тока в электричестве и электронике.

Мы надеемся, что это было полезно для вас как для техника или студента, приступившего к работе. Если у вас есть какие-либо вопросы о программах для специалистов по электронике или электромеханике, вы можете связаться с одним из наших консультантов по программе по бесплатному телефону 1-888-553-5333 или по электронной почте info @ gbctechtraining.com.

.

alexxlab / 19.04.2021 / Разное

Добавить комментарий

Почта не будет опубликована / Обязательны для заполнения *