Цены снижены! Бесплатная доставка контурной маркировки по всей России

Угловая скорость равна: Формула угловой скорости

Содержание

«Что такое «скорость угловой»?» – Яндекс.Кью

Перечитал кучу ерунды от предыдущих авторов. Прежде чем отвечать на такие вопросы, нужно хорошо разобраться в СТО (специальная теория относительности) и, во всяком случае, не путать её с ОТО (общая теория относительности). Оба названия неудачные. Принцип относительности есть не только в СТО, но и в классической механике, созданой Ньютоном, причём, этот принцип был сформулирован Галилеем ещё до Ньютона. СТО фактически является новой механикой, согласующейся с электродинамикой Максвелла. Что касается ОТО, то это теория гравитации, уточняющая ньютоновский же закон всемирного тяготения и согласованная с СТО в том смысле, что при отсутствии гравитационного поля ОТО отличается от СТО только математическим аппаратом, который в ОТО гораздо более сложный.

Обычно СТО основывают на двух постулатах. Первый — это принцип относительности, а второй утверждает существование инвариантной скорости (со времён Эйнштейна эта скорость называется «скорость света») и сформулирован самим Эйнштейном так: свет распространяется в «неподвижной» системе координат с определённой скоростью V, не зависящей от движения источника (сейчас скорость света в вакууме обозначается не «V», а «c»). Под «неподвижной» системой координат Эйнштейн подразумевает то, что позже стало называться инерциальной системой отсчёта (ИСО). Кстати, в классической механике инвариантная скорость тоже есть, но она бесконечная.

Как видим, нет ни одного слова про максимальность скорости света.

Из СТО, однако, вытекают следующие ограничения:

1) если частица в какой-то момент движется со скоростью, меньшей скорости света, то она всегда в прошлом, пока существовала, двигалась со скоростью, меньшей скорости света, и всегда в будущем, пока будет существовать, будет двигаться со скоростью, меньшей скорости света;

2) если частица в какой-то момент движется со скоростью света, то она всегда в прошлом, пока существовала, двигалась со скоростью света, и всегда в будущем, пока будет существовать, будет двигаться со скоростью света;

3) если частица в какой-то момент движется со скоростью, большей скорости света, то она всегда в прошлом, пока существовала, двигалась со скоростью, большей скорости света, и всегда в будущем, пока будет существовать, будет двигаться со скоростью, большей скорости света.

Таким образом, мы не можем ничего разогнать до сверхсветовой скорости, но, в принципе, сверхсветовая частица может родиться при столкновении обычных частиц.

Гипотетические частицы, движущиеся быстрее света, были названы тахионами. Их тщательно исследовали как в рамках СТО, так и в рамках квантовой теории. Насколько мне известно, существование тахионов противоречит квантовой теории, но здесь я не специалист. СТО самой по себе существование тахионов не проиворечит. Однако принцип причинности, понимаемый как невозможность послать самому себе сигнал в прошлое, запрещает существование тахионов: в СТО, располагая источником тахионов, можно отправить сигнал самому себе в прошлое, хотя посылка такого сигнала в прошлое на сколько-нибудь значительное время требует использования ретранслятора тахионного сигнала, движущегося от Земли с околосветовой скоростью далеко в космосе (скорее всего, можно было бы придумать конструкцию, обходящую это препятствие).

Тахионы также искали в специальных экспериментах, но обнаружить их не удалось. Так что отсутствие частиц и тел, движущихся со сверхсветовой скоростью, на настоящее время можно считать экспериментальным фактом. Со словом «доказано» нужно быть осторожным: остутсвие тахионов не доказано и никогда не будет доказано. Точно так же ни одна физическая теория не доказана и никогда не будет доказана. Что касается СТО и ОТО, то они, конечно, не доказаны, но подтверждаются (проверены) очень большим количеством экспериментов. Ссылки: СТО и ОТО.

То, что обычно пишут про то, как выглядит окружающий мир при движении

Угловая скорость — Большая советская энциклопедия

Углова́я скорость

Величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. ω =Δφ/ Δt, где Δφ — приращение угла поворота φ за промежуток времени Δt. В общем случае У. с. численно равна отношению элементарного угла поворота Δφ к соответствующему элементарному промежутку времени dt, то есть ω= dφ/dt. Вектор У. с. ω направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против хода часовой стрелки (в правой системе координат). Размерность У. с. T -1.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, скорость изменения угловой позиции предмета относительно фиксированной точки. Средняя величина угловой скорости w предмета, движущегося от угла q1 до угла q2 за время t выражается как (q2-q1)w)/t. Научно-технический словарь
  2. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — Векторная величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. w=Dj/Dt, где Dj— приращение угла поворота j за промежуток времени Dt, а в общем случае w=dj/dt. Вектор У. Физический энциклопедический словарь
  3. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости — где — приращение угла поворота за промежуток времени ?t. Большой энциклопедический словарь
  4. угловая скорость — Cкорость, с который вращающееся тело проходит угловое расстояние. Угловая скорость может измеряться в радианах, градусах или в оборотах в единицу времени. Большой астрономический словарь

Угловая скорость (средняя и мгновенная) — Студопедия

Средняя угловая скоростьэто физическая величина, численно равная отношению углового пути к промежутку времени:

, .

Мгновенная угловая скоростьэто физическая величина, численно равная изменения пределу отношения углового пути к промежутку времени при стремлении данного промежутка к нулю, или является первой производной углового пути по времени:

, .

Законы Ньютона

Первый закон Ньютона

· Инерциальной называется та система отсчёта, относительно которой любая, изолированная от внешних воздействий, материальная точка либо покоится, либо сохраняет состояние равномерного прямолинейного движения.

· Первый закон Ньютона гласит:

Инерциальные системы отсчёта существуют.

По сути, этот закон постулирует инерцию тел, что сегодня кажется очевидным. Но это было далеко не так на заре исследования природы. Аристотель вот утверждал, что причиной всякого движения является сила, т. е. движения по инерции для него не существовало.

[источник?]

 

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и её ускорением.

Второй закон Ньютона утверждает, что

в инерциальной системе отсчета (ИСО) ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе.

При подходящем выборе единиц измерения этот закон можно записать в виде формулы:


где — ускорение тела;

— сила, приложенная к телу;

m — масса тела.

Или в более известном виде:

Если на тело действуют несколько сил, то второй закон Ньютона записывается:

В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется в общем виде: скорость изменения импульса точки равна действующей на неё силе.

где — импульс (количество движения) точки;

t — время;

— производная по времени.

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта.

Третий закон Ньютона

Этот закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух тел. Первое тело может действовать на второе с некоторой силой , а второе — на первое с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным телам, а потому вовсе не компенсируются.


Сам закон:

Тела действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль одной и той же прямой, равными по модулю и противоположными по направлению:

Выводы

Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, надо потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел U( | r1r2 | ). Тогда возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены все остальные законы механики.

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера — формулировка

Согласно теореме Штейнера, установлено, что момент инерции тела при расчете относительно произвольно оси соответствует сумме момента инерции тела относительно такой оси, которая проходит через центр масс и является параллельной данной оси, а также плюс произведение квадрата расстояния между осями и массы тела, по следующей формуле (1):

J= J0 + md2 (1)

Где в формуле принимаем соответственно величины: d – расстояние между осями ОО1║О’O1’;
J0 –моментинерциитела, рассчитанныйотносительнооси, чтопроходитсквозьцентрмассибудет определяться соотношением (2):

J0 = Jd = mR2/2 (2)

Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O’O’, равен

 

Момент инерции прямого стержня длиной , ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.

Угловое ускорение тела равно первой производной от угловой скорости по времени

Угловая скорость тела равна первой производной от угла поворота по времени.

Отношение Dw к Dt называют средним угловым ускорением . Угловое ускорение:

Перемещения S и скорости точек можно определить из соотношений:

S =;

здесь R − радиус вращения.

.

Нормальное (центростремительное) и тангенциальное (вращательное) ускорения определим из соотношений:

, ;

,

Полное ускорение точки:

.

Модули скоростей и ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения.

Равнопеременное вращение тела

При равнопеременном вращении твердого тела вокруг неподвижной оси: ε= const

Так как

После интегрирования с учетом начальных условий получим:

ω=ω0+ε t

φ=φ0 0t+ε t2/2, здесь ω0 и φ0 − угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени при t=0.

Пример 1.Груз, опускаясь согласно уравнению (м), приводит посредством троса в движение барабан радиуса R = 0,2м (рис.11.10). Определить скорость и ускорение точки М барабана при t1= 2с.

Решение. Скорость груза равна скорости точки М барабана

Угловая скорость барабана:

.

Угловое ускорение .

При t1=2c: , ;

Нормальное ускорение:

,

Тангенциальное ускорение:

,

Полное ускорение:

.

Пример 2. Вал 1 с зубчатым колесом 1 при вращении делает n=300 об./мин. Колесо 1 находится в зацеплении с зубчатым колесом 2. Радиусы делительных окружностей колес составляют R1=10 см, R2=50 см. На валу 2 смонтирован барабан 3 радиуса R3= 20 см, который вращается вместе с зубчатым колесом 2. Найти скорость перемещения груза 4, подвешенного на тросе.


Решение.1. Угловая скорость колеса 1:

ω1= p n/ 30 = 10p с−1

2. Линейные скорости точек, колес 1, 2 в точках контакта А равны в любой момент времени:

vA=ω1R1=ω2R2 = 100 p см/с

такую же скорость имеют точки А1, А2 .

3. Угловая скорость колеса 2 и барабана 3:

ω2= ω1R1 /R2= 2 p с−1

4. Скорость перемещения груза 4, такую же скорость имеют точки на наружной поверхности барабана (например, т. А3):

v42R3= 40 p см/с

Угловая скорость — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Угловая скорость описывает скорость вращения и ориентацию оси, вокруг которой происходит вращение. Направление вектора угловой скорости будет вдоль оси вращения; в этом случае (вращение против часовой стрелки) вектор указывает на зрителя.

В физике угловая скорость определяет угловую скорость, с которой вращается объект, вместе с направлением, в котором он вращается.

Это векторная величина. [1] Единица измерения угловой скорости в системе СИ — радианы в секунду. Но он может быть измерен и в других единицах (например, градусы в секунду, градусы в час и т. Д.). Когда она измеряется в циклах или оборотах в единицу времени (например, оборотов в минуту), ее часто называют скоростью вращения, а ее величину — скоростью вращения. Угловая скорость обычно обозначается символом омега ( Ом или Ом ). Направление вектора угловой скорости перпендикулярно плоскости вращения в направлении, которое обычно задается правилом правой руки.

English Wiktionary
  1. ↑ точнее, псевдовектор
.

Физика — Кинематика — Угловая скорость

Сводка

Когда мы работаем в двухмерной плоскости, мы можем представить угловую скорость одним числом. В трех измерениях мы можем представить угловую скорость как трехмерную векторную величину (w x , w y , w z ). В этой форме угловые скорости могут быть объединены с помощью векторного сложения.

В этом отличие от конечных поворотов (как объяснено на этой странице), которые требуют дополнительных измерений, чтобы избежать сингулярностей и правильно комбинировать конечные повороты.

Двумерный корпус

С линейным перемещением все относительно просто, мы просто используем v = dx / dt, скорость v — это скорость изменения расстояния во времени, мы рассматриваем это как то же самое, что и dx / dt

Если мы работаем в двух измерениях, то мы можем определить угловую скорость w аналогичным образом:

w = угол d / dt

Другими словами, если мы измеряем угловую скорость движущейся точки, это скорость изменения угла, который она составляет по сравнению с некоторым опорным направлением.Конечно, это будет зависеть от точки, от которой мы измеряем угол. В некоторых случаях это легко подразумевается, например, если мы измеряем угловую скорость твердого объекта, вращающегося вокруг своего центра масс, тогда мы обычно измеряем угол некоторой точки относительно центра масс. Однако не всегда очевидно, откуда мы измеряем, поэтому мы должны быть осторожны при его определении.

Показатели кузова ()

Для трехмерного твердого тела это скорости вращения, которые могут быть измерены гироскопами скорости с их осями считывания, выровненными с соответствующими осями координат тела; они также могут быть рассчитаны из динамических уравнений движения.

Угловая скорость может быть задана трехмерным вектором:

Компоненты этого вектора представляют собой векторную сумму:

  • w x : скорость изменения угла (в радианах) об абсолютной координате x.
  • w y : скорость изменения угла (в радианах) об абсолютной координате y.
  • w z : скорость изменения угла (в радианах) об абсолютной координате z.

w x , w y и w z не зависят друг от друга, поэтому при необходимости можно добавить угловые скорости без каких-либо проблем. связаны с углами Эйлера. Это потому, что мы добавляем бесконечно малые углы которые имеют те же свойства, что и векторы. Видеть этот пример, который включает добавление угловых скоростей.

Курсы Эйлера

коэффициента Эйлера — это то, что мы получаем, когда дифференцируем углы Эйлера, например:

д заголовок / д т
d отношение / d t
д банк / д т

На первый взгляд может показаться, что ставки Эйлера такие же, как ставки тела, описанные выше, однако это не так.Если твердый объект вращается с постоянной скоростью, то скорость его тела (w x , w y , w z ) будет постоянной, однако скорость Эйлера будет постоянно меняться в зависимости от некоторой триггерной функции мгновенный угол между телом и абсолютными координатами. Так что ставки Эйлера очень беспорядочные, у них есть особенности, и они не имеют большого практического применения.

Итак, основная причина упоминания здесь ставок Эйлера состоит в том, чтобы провести различие с обычными ставками и предупредить людей, чтобы они избегали использования ставок Эйлера.

Представление угловой скорости с использованием угла оси

См. Эту страницу для обозначения угла оси для конечного поворота.

Представьте себе твердый объект, который одновременно вращается вокруг осей x, y и z, угловая скорость относительно этих осей равна w x , w y и w z . Это вращение также может быть представлено одним вращением вокруг оси. (ширина x , ширина , ширина , ширина z) .

  • угловая скорость = d угол / d t = | w (t) | = √ (w x 2 + w y 2 + w z 2 ).
  • нормализованная ось = (w x , w y , w z ) / | w (t) |
где:

символ

описание

тип

шт.

ω угловая скорость бивектор с -1
угол угол в радианах скаляр нет
т раз скаляр с
г… / dt скорость изменения

Угол оси применим только для таких непрерывных вращений, когда вращение происходит только вокруг оси, в этом случае вращение происходит в одной плоскости, и это эквивалентно случаю 2D, другими словами, ось представляет собой плоскость 2D, в которой мы работаем.

Мы не можем использовать угол оси для объединения угловых скоростей в разных направлениях.

Дифференцирующие матрицы вращения и кватернионы

Когда мы работаем с матрицами или кватернионами, уравнение усложняется:

  • для матриц это: [d R (t) / dt] = [~ w] * [R (t)]
  • для кватернионов это: d q (t) / dt = ½ * W (t) q (t)

Эти уравнения доказаны и определены ниже на этой странице.

Каковы более глубокие причины этой дополнительной сложности? Я думаю, здесь есть следующие факторы:

  • Это изменяющиеся во времени величины, конечно, v = dx / dt также работает для изменяющихся во времени величин, но, по крайней мере, если у нас есть постоянная скорость (и, следовательно, постоянный линейный импульс), то dx / dt будет постоянным. Но если [R (t)] представляет ориентацию объекта, вращающегося с постоянной угловой скоростью (и постоянным угловым моментом), то [d R (t) / dt] все равно будет меняться со временем, но [~ w] и W (t ), используемые в приведенных выше уравнениях, не будут меняться со временем и, следовательно, лучше представляют угловую скорость.
  • Дифференциация связана с операцией сложения, но вращения комбинируются с использованием матричного умножения, а не сложения. Когда я говорю «дифференциация связана с операцией сложения», я имею в виду: когда мы добавляем небольшое приращение ко времени, мы получаем небольшое приращение к расстоянию, дифференциация является пределом при этих сложениях. Итак, существует ли математическая теория, которая связывает небольшие приращения умножения с обычным дифференцированием?

Даже если мы используем матрицы или кватернионы для представления трехмерных ориентаций и вращений, когда мы переводим их в угловые скорости, мы, вероятно, захотим выразить их как трехмерные векторы.Значения W (t) и [~ w] в приведенных выше уравнениях можно легко преобразовать в трехмерные векторы, W (t) уже фактически является трехмерным вектором, а кососимметричная матрица [~ w] имеет все элементы трехмерного вектора. .

Причина выражения угловых скоростей в терминах трехмерных векторов заключается в том, что часто допустимо комбинировать угловые скорости, складывая их трехмерные векторы. Таким образом, свойства угловых скоростей полностью отличаются от свойств конечных вращений.

Угловая скорость частицы

Здесь мы выводим значения вращения из точечной массы (частицы).Смысл масса не обязательно вращается вокруг своей оси (хотя может, субатомная частицы имеют спин). Что нас здесь интересует, так это вклад частица к вращательным свойствам большей массы относительно некоторой фиксированной точки. Для дальнейшего объяснения попробуйте прочитать числовой методы.

Рассмотрим точечную массу в точке. Его линейная скорость — это произведение угловой скорости около и расстояния от.

dP = r dθ

Итак, дифференцируя обе стороны по времени и представляя в векторе обозначение с перпендикуляром к обоим и (находится вне экрана / бумаги по направлению к зрителю, обратите внимание, что мы используем правую ручная система координат и правая ручная линейка для положительного направления вращения)

= ×

Итак, скорость вращения точки не является абсолютной величиной, но зависит от в какой точке измеряется вращение.Также частица не должен двигаться по кругу, чтобы иметь угловую скорость, он может иметь ненулевая угловая скорость около, даже если частица движется по прямой линии, если она не находится на этой линии.

Угловая скорость твердого объекта ()

На следующих страницах будет выведено количество конечных твердых тел. тела путем интеграции по объему. Большинство этих величин — векторы размерности 3, которая имеет компоненты в направлениях x, y и z.Для обозначения векторная величина, мы показываем стрелку над величиной, для получения дополнительной информации про векторы смотрите здесь.

Рассмотрим точечную массу в точке. Его линейная скорость — это произведение угловой скорости около и расстояния от.

Как видно из сечения угловой скорости частицы, угловая скорость зависит от точки, вокруг которой мы измеряем вращение. Итак, для твердого объекта угловая скорость всех частиц, от которой он составлен, разные.

Только когда мы измеряем вращение вокруг центра вращения, вращение всех точек на объекте одинаковое. Итак, по этой причине, когда мы говорят об угловой скорости твердого объекта, мы имеем в виду угловую скорость скорость относительно его центра вращения.

Если объект движется в свободном пространстве без воздействия внешних сил или моментов на нем, тогда он будет вращаться вокруг своего центра масс. Итак, мы можем представить полное мгновенное движение твердого тела комбинацией линейной скорости центра масс и вращения вокруг центра масс.

Вектор угловой скорости W (t) может быть получен из углового положения как функции времени с использованием различных обозначений:

в 2D (или 3D с фиксированной осью) Вт (t) = d theta / dt
в 3D с использованием матрицы [~ w] = [d T (t) / dt] [T (t)] -1
в 3D с использованием кватерниона W (t) = 2 * d q (t) / dt * con (q (t))

Эти выражения выводятся позже на этой странице.

На страницах о кинематике положение неограниченное твердое тело было представлено шестимерным вектором следующим образом:

ширина x угловая скорость относительно оси x (радиан в секунду)
w y угловая скорость относительно оси y (радианы в секунду)
w z угловая скорость относительно оси z (радиан в секунду)
v x линейная скорость центра масс по оси x (метры в секунду)
v y линейная скорость центра масс по оси y (метры в секунду)
v z линейная скорость центра масс по оси z (метры в секунду)

Дополнительная информация об угловой скорости.

Представление угловой скорости с помощью матриц

Для получения информации о дифференцировании матрицы см. Эту страницу.

Мы уже видели, что трехмерного вектора достаточно, чтобы удерживать все необходимые информация об угловой скорости. Однако могут возникнуть ситуации, когда мы может захотеть сохранить эту информацию в матрице. В этом случае мы можем использовать следующая матрица:

[~ ширина] =
0 -w z w y
w z 0 -w x
-w y ширина x 0

Эта матрица угловой скорости связана с дифференциалом матрицы вращения следующим образом:

[~ w] = [d T (t) / dt] [T (t)] -1

Марк Иоффе любезно прислал мне вывод, который я адаптировал для использования обозначений, используемых на этом сайте.

Пусть X (t) представляет любую точку твердого тела как вектор из начала координат и пусть:

X (t) = [T (t)] X (0)

где:

символ

описание

тип

шт.

X (т) любая точка твердого тела в момент времени t как вектор из начала координат вектор метр
[Т (т)] вращение (ортогональное), которое преобразует векторы при t = 0 в векторы при t матрица нет
Х (0) тот же момент времени t = 0, что и вектор из начала координат вектор метр

дифференцируя это уравнение, получаем линейную скорость точки на твердом теле:

v (t) = d X (t) / dt = [d T (t) / dt] X (0)

, поскольку X (0) не является функцией времени.

Обращение первого уравнения дает:

X (0) = [T (t)] -1 X (t)

, поэтому их объединение дает:

v (t) = [d T (t) / dt] [T (t)] -1 X (t)

Мы знаем из верхней части этой страницы, что v (t) = w × X (t)

где:

символ

описание

тип

шт.

в (т) вектор линейной скорости данной частицы вектор м / с
ω вектор угловой скорости бивектор с -1
× векторное произведение крестов
X (т) позиция данной частицы вектор метр

Мы можем преобразовать это выражение кросс-произведения в выражение эквивалентной матрицы, заменив вектор w эквивалентной матрицей [~ w], известной как асимметричная или антисимметричная матрица.которое связано с вектором ω следующим образом:

[~ ω] =
0 z ω y
ω z 0 x
y ω x 0

Объединение этих выражений для v (t) дает:

[~ w] X (t) = [d T (t) / dt] [T (t)] -1 X (t)

удаление X (t) с обеих сторон превращает это в матричное выражение для w:

[~ w] = [d T (t) / dt] [T (t)] -1

Подробнее об этом см. Вот.

Представление угловой скорости с помощью кватернионов

Для получения информации о различении кватернионов см. Эту страницу.

Если объект вращается, то кватернион, представляющий его ориентацию, будет функцией времени, поэтому мы обозначаем его q (t). Дифференциация этого дается:

d q (t) / dt = 1/2 * W (t) q (t)

где:

символ

описание

тип

шт.

q (т) нормализованный кватернион, представляющий ориентацию как функцию времени кватернион
Вт (т) вектор угловой скорости, представленный в виде кватерниона с нулевой скалярной частью, т.е.e
W (t) = (0, W x (t), W y (t), W z (t))
бивектор с -1
т раз скаляр с

Его вывод был любезно прислан мне Марком Иоффе здесь: pdf file

Раскрывается с помощью правила умножения кватернионов:

dq 0 (t) / dt = — 1/2 * (W x (t) q 1 (t) + W y (t) q 2 (t) + W z) (т) q 3 (т))
dq 1 (t) / dt = 1/2 * (W x (t) q 0 (t) + W y (t) q 3 (t) — W z ( т) д 2 (т))
dq 2 (t) / dt = 1/2 * (W y (t) q 0 (t) + W z (t) q 1 (t) — W x ( т) q 3 (т)
dq 3 (t) / dt = 1/2 * (W z (t) q 0 (t) + W x (t) q 2 (t) — W y ( т) q 1 (т)

Пример

Представьте себе объект, вращающийся вокруг оси z с постоянной скоростью w радиан в секунду.Из этой страницы мы знаем, что:

q = cos (a / 2) + i (x * sin (a / 2)) + j (y * sin (a / 2)) + k (z * sin (a / 2))

где:

  • a = угол поворота.
  • x, y, z = вектор, представляющий ось вращения.
  • i, j, k = мнимые операторы

Итак, в этом случае a = w * t и x, y, z = 0,0,1 итак,

q (t) = cos (wt / 2) + k sin (wt / 2)

и,

Вт (т) = к Вт

следовательно,

d q (t) / dt = 1/2 * W (t) q (t)

= 1/2 * k * w * (cos (wt / 2) + k sin (wt / 2))

= 1/2 * w * (- sin (wt / 2) + k cos (wt / 2))

Что я действительно хочу сделать, так это показать простой способ переключения между использованием кватернионов для представления ориентации и векторов для представления угловой скорости.Я думаю, что это так, но было бы проще перевернуть пример, то есть

q (t) = cos (wt / 2) + k sin (wt / 2)

получить d q (t) / dt = 1/2 * w * (- sin (wt / 2) + k cos (wt / 2)) просто путем дифференцирования членов в приведенном выше уравнении.

, затем вывести W (t) = k w из d q (t) / dt = 1/2 * W (t) q (t)

Это показывает, что дифференцируя кватернион, мы получаем вектор.

моя предыдущая попытка решить эту проблему

Угловая скорость в единицах углов Эйлера

Вектор угловой скорости в координатах тела:

Wx = скорость вращения — скорость рыскания * sin (тангаж)
Wy = скорость тангажа * cos (крен) + скорость рыскания * sin (крен) * cos (тангаж)
Wz = скорость рыскания * cos (крен) * cos (тангаж) — скорость тангажа * sin (крен)

Дженни любезно прислала мне вывод этого в этом документе: pdrderivation.pdf.

Использование векторного исчисления для анализа вращения твердых объектов

Векторное исчисление часто используется для анализа движения жидкостей, но нет причин, почему мы не должны использовать его для анализа твердых объектов, при условии, что мы применяем его к области пространства, где векторное поле сплошное ..

Если мы возьмем поле скоростей вращающегося объекта, мы можем получить поле, которое выглядит так:

Если взять локон этого поля мы получили бы другое векторное поле

Каждый из этих векторов имеет значение w2 в линию вдоль оси вращения (как здесь доказано)

Представление угловой скорости в программе

Угловая скорость в трехмерном пространстве может храниться в кватернионе (см. Класс sfrotation) или матрица (см. класс sftransform).Пример того, как это можно использовать в узле графа сцены, см. Вот.

.Угловая скорость

— Calculator.org

Что такое угловая скорость?

Ferris wheel

Угловая скорость объекта, вращающегося вокруг оси, — это величина, которая описывает угловую скорость этого объекта. Угловая скорость считается векторной величиной, хотя ее часто называют псевдовектором. Единицей измерения угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду, а символ угловой скорости обычно — ω (строчная греческая буква омега). Однако во многих случаях угловая скорость выражается в терминах, более важных для рассматриваемой системы.Эти единицы обычно включают градусы в час, обороты в секунду и обороты в минуту.

Вектор угловой скорости всегда проходит перпендикулярно плоскости, в которой вращается объект. Можно определить направление одного вектора угловой скорости, используя правило правой руки. То есть, если мы знаем направление вектора угловой скорости ω, мы можем определить, вращается ли объект по часовой стрелке или против часовой стрелки, применив это правило.Согните пальцы (почти как кулак) и представьте, что вектор ω направлен вверх к потолку и проходит через вашу правую руку, а большой палец также направлен к потолку. Согласно правилу правой руки, объект будет вращаться против часовой стрелки вокруг исходной точки в направлении ваших согнутых пальцев. Точно так же, если вы сделаете то же самое и направите большой палец правой руки вниз, вектор ω будет указывать вниз, и объект будет вращаться по часовой стрелке. Вы также можете использовать это правило для определения направления вектора ω, если вы предполагаете, что направление вращения начинается от центра руки и движется наружу к кончикам пальцев.

В двух измерениях для данной частицы p, которая вращается вокруг некоторого источника с угловым положением ϕ, эта частица имеет два разных компонента своей скорости V. Существует V_perpendicular, который всегда перпендикулярен радиусу между p и начало координат, а также есть V_parallel, которая проходит в том же направлении, что и радиус. Эти два вектора скорости обычно называют поперечными и радиальными компонентами соответственно. Скорость изменения углового положения частицы p, (dϕ / dt) функционально связана с v перпендикуляром по следующему правилу:

v перпендикуляр = r * (dϕ / dt)

В нашей системе также существует угол θ, такой что θ — это угол между векторами V и v_parallel (существует также другой угол между v , перпендикулярно и V, такой, что этот угол и θ складываются в 90 градусов).Согласно этому определению, перпендикуляр v связан с θ соотношением:

v перпендикуляр = | V | * sin (θ)

где | V | — величина скорости. Мы также предполагаем, что векторная величина ù, представляющая угловую скорость p, также совпадает с изменением углового положения относительно времени (a.k.a dϕ / dt). Другими словами:

ù = dϕ / dt

Теперь, зная это соотношение, мы можем определить ω через величину V путем подстановки, что даст следующее:

ω = (| V | * sin (θ)) / | r |

В двух измерениях ω не имеет направления.Тем не менее, если оси x и y поменять местами, ω также меняет свой знак, что означает, что это псевдоскаляр. Однако в трех измерениях ω — псевдовектор, и применимо правило правой руки.

Добавьте эту страницу в закладки в своем браузере, используя Ctrl и d или используя одну из следующих служб: (открывается в новом окне) .

admin / 10.09.2020 / Разное

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о