Линейная частота формула: Что такое линейная частота — Школьные Знания.com

частота волны через длину и другие формулы

Длина волны — важный физический параметр, необходимый для решения многих задач акустики и радиоэлектроники. Ее можно высчитать несколькими способами, в зависимости от того, какие параметры заданы. Удобнее всего это делать, зная частоту или период и скорость распространения.

Формулы

Основная формула, которая отвечает на вопрос о том, как найти длину волны через частоту, представлена ниже:

l = v/u

Здесь l — длина волны в метрах, v — скорость ее распространения в м/c, u — линейная частота в герцах.

Поскольку частота связана с периодом обратным соотношением, предыдущее выражение можно записать иначе:

l =vT

Т — период колебаний в секундах.

Можно выразить этот параметр через циклическую частоту и фазовую скорость:

l = 2pi*v/w

В этом выражении w — циклическая частота, выраженная в радианах за секунду.

Частота волны через длину, как можно заметить из предыдущего выражения, находится следующим образом:

u = v/l

Рассмотрим электромагнитную волну, которая распространяется в веществе с показателем преломления n. Тогда частота волны через длину выражается следующим отношением:

u = c/(l*n)

Если она распространяется в вакууме, то n = 1, и выражение приобретает следущий вид:

u = c/l

В последней формуле частота волны через длину выражается с помощью константы с — скорости света в вакууме, с = 300000 км/c.

Волны де Бройля

Для этих волн формулы будут иметь несколько иной вид. Они определяют плотность вероятности и используются в квантовой механике для нахождения параметров рассматриваемой частицы. Длина и частота определяются так:

l = h/p

u = E/h

h — постоянная Планка, p — импульс частицы, Е — энергия частицы.

Примененение

Приведенные формулы можно использовать для нахождения параметров как электромагнитных, так и волн другой природы, в вакууме, воздухе или другой среде. Чтобы определить, как выражается частота волны через длину или наоборот, нужно знать скорость ее распространения и свойства среды. Электромагнитная будет быстрее всего двигаться в вакууме или воздухе, из-за низкой электрической и магнитной проницаемости, поскольку ее скорость обратно пропорциональна корню из произведения этих параметров.

Со звуковой волной будет уже другая ситуация. Скорость звука в твердых телах и жидкостях больше, чем в воздухе. Наивысшая скорость будет в железе и литии (около 6000 м/c), стекле — 4800 (м/c), золоте, серебре, платине. Скорость звука в твердых и жидких средах определяется с помощью довольно сложных зависимостей, с учетом плотности среды и модуля Юнга.

Гармонические колебания

на прошлом уроке мы с вами рассмотрели динамику колебательного движения и получили для различных колебательных систем похожие связи между ускорением тело в колебательной системе и между его смещением от положения равновесия тут у нас было помните целая такая коллекция этих результатов сейчас я ее не буду выписывать раз закон связывающие ускорение и смещение одинаковы для различных колебательных систем значит и в поведении этих колебательных систем должно быть что-то общее и действительно все те колебательные системы которые мы анализировали на прошлом уроке колеблются одинаково и колебания которые они совершают имеет свое специальное название они называются гармонические колебания и вот сегодня мы с ними познакомимся подробнее тема урока гармонические колебания гармонические колебания . физический смысл физический смысл величин я сейчас их выпишу потом мы с ними познакомимся ближе x с индексом м омега с индексом 0 efi с индексом 0 домашнее задание конспект далее по мякишево для 11 класса рангов и с 21 по 23 21-23 задачи по рымкевича номер 429 затем а гельфгат у задачу с номерами 1 4 1.4 16 17 18 гр отсеки рисовать там в условии задачи даются графики в некоторых задачах их нужно перерисовать в тетрадь обязательно графики рисовать чтобы было понятно как вы выполняете задание ковры на графике показываете те вещи которые спрашивают в условия задачи ну а теперь вернемся к тому на чем мы остановились в прошлый раз итак мы выяснили что ускорение пружинного маятника проекция ускорения на оси x вычисляется по формуле минус к деленный на n до ics для пружинного затем мы рассмотрели математический маятник тангенциальное ускорение у нас вычислялось по формуле минус же делённое на r где l длина маятника умножить на обмен такие смещение от положения равновесия математический маятник для физического маятника у нас угловое ускорение было связано с углом отклонения минус m же l делит на момент инерции умножить на альфа альфа отклонения угловое отклонение положения равновесия физический маятник и наконец мы рассмотрели еще маятник который я условно назвал электрически маятником и у нас там получилось так если заряд колеблется между двумя одноименными зарядами то ускорение его вычисляется по формуле 4 коэффициент законе кулона произведения зарядов и в знаменателе стыд м м куб м эта масса той бусинки которые колеблется это расстояние от положения бусинки до тех зарядов с которыми она взаимодействует электрический маятника и вот мы видим что в любом случае ускорения либо угловое ускорение ну давайте будем говорить о бы просто ускорения алекс прямо пропорционально смещению от положения равновесия и направлена в противоположную сторону да и умножить на x спасибо мигали умножить на x и вот а x равняется минус какой-то коэффициент c постоянная величина умноженное на x ну тоже самое можно говорить его физическом от ники только здесь у нас линейное ускорение физического маятники угловое ускорение c зависит от параметров колебательной системы вот эта цель для пружинного маятника к деленный на f для математического же деленная на для физического сюда входит масса момент инерции расстояние от центра масс до точки подвеса и вот такой вот сложный коэффициент для электрического маятника но все это числа это постоянные величины которые определяются параметрами системы а теперь давайте вот что сделаем вспомним с вами что ускорение это производная по времени скорости а скорость это производная по времени координаты вспомним а x это производная по времени скорости то есть в x с точкой производную по времени мы будем с вами обозначать дальнейшем точкой в x это производная по времени координаты то есть мы можем написать чтоб ускорение это ничто иное как вторая производная координаты по времени следовательно вот это выражение мы можем переписать вот так x с двумя точками равняется минус s умноженное на x или если речь идет о вращательном движении таком как физическом этики то мы можем написать альфа с двумя точками вторая производная по вару угла поворота по времени равняется минус с альфа вот так вот если бы c равнялась единице то у нас просто вторая производная совпадало бы самой функцией ведь альфа эта функция x эта функция функция чего времени мы же описываем движение изменения положения с течением времени и основная задача механики это найти положение тела в любой момент времени основная задача механики колебательных движений основная задача механик них теории механических колебаний скажем так теории механических колебаний найти зависимость координаты тело от времени ну или угла поворота от времени это это характеризует положение тела вот теперь давайте вспомним что мы с вами изучали на прошлой неделе по математическому анализу нам уже встречалась ситуация когда вторая производная совпадает с самой функций с точностью до знака было когда x с двумя точками равнялся минус x только x теперь у нас функция они аргумент то есть можно было бы уточнить x с двумя точками равняется минус x от t скажите пожалуйста какая функция совпадает со своей производной второй производной с точностью до знака косинус и синус мы с вами встречали уже две функции мы знаем что синус ну скажем альфа два штриха равняется минус синус альфа и косинус альфа два штриха равняется минус косинус альфа а здесь у нас x два штриха равняется минус x так значит вот этому уравнению а кстати это уравнение называется дифференциальное уравнение второго порядка потому что она связывает вторую производную в самой функцией вот решением такого дифференциального уравнения могут быть две функции синус и косинус то есть мы можем написать следующее x в любой момент времени t равняется синус x синус t700 а изгадили синус тыыы кс в любой момент времени t равняется косинус то тогда у нас получится что x с точкой равняется производная синуса косинус 3x с двумя точками равняется минус косинус это действительно минус x с двумя точками да здесь одна . а здесь две точки вот мы два раза продифференцировать а здесь будет минус синус правильно минус синус вот первая производная синуса косинус вторая производная минус синус х минус синус это как раз минус x равняется минус x вот она и работает у нас получилось то же самое касается и косинуса x с точкой равняется производная косинуса минус синус т-ты перь у нас время независимо и пили x с двумя точками это производная минус синус а минус выносится за знак производной производная синуса косинус получается минус косинус т то есть минус x все хорошо но нам нужно подобрать немножко другую функцию нам нужно придумать такую функцию чтобы вторая производная совпадало не самой функции отличалась бы от нее на какое-то постоянное число на вот этот коэффициент с каким же должна быть зависимость x от t давайте вспомним правила дифференцирования произвол и правила дифференцирования сложной функции производная сложной функции равняется производная сложной функции равняется произведению производной внешней функции по внутренней на произведе на производную внутренней функции по аргументу какой должна быть внутренняя функция чтобы у нас появился коэффициент при дифференцировании скажите пожалуйста чему равняется производная ну например по иксу икса единица а чему равняется производная cx по иксу c умножить на единицу так вот давайте мы сейчас в качестве такой внутренней функцией возьмем какое-то число умноженное на время пробуем пусть x от t равняется не просто синус т. а. синус а внутреннюю функцию мы возьмем в виде константы умножить на время они просто времени эту константу мы обозначим пока непонятно почему но если мы это сделаем дальше будет этим удобно пользоваться обозначим омега нулевое вот так теперь продифференцируем эту функцию x с точкой равняется производная внешней функции по внутренней внутренняя функция наша вот омега т производная синуса косинус омега 0 ты теперь это надо умножить на производную внутренней функции по аргументу аргумент у нас т производная бот омега 0 и я его напишу вот здесь омега 0 теперь ищем вторую производную их с двумя точками равняется надо продифференцировать вот это выражение у нас получится омега нулевое она выйдет у нас за знак производной производная косинуса минус синус омега 0 и еще надо умножить на производную внутренней функции внутренняя функция мира или войта ее производная омега 0 амида 0 и это получается если навести порядок равняется минус омега 0 квадрат умножить на синус омега 0 т то есть на синус на сам x на x это была вот такая пробная функция возьмём в качестве про данной функции косинус икс от r равняется косинус омега 0 это первая производная x с точкой равняется минус синус омега 0 т на производную внутренней функции омега 0 а вторая производная x с двумя точками равняется минус омега нулевое на производную синуса по его аргументу по внутренней функции то вот просто косинус омега 0 т и умножить на производную внутренней функции омега 0 т при дифференцированию даст нам омега 0 снова у нас получается минус омега 0 квадрат и здесь косинус омега 0 то это есть наш x вот так то есть если мы возьмем и попытаемся описать колебания вот такой функции в виде синуса или вот такой функции в виде косинуса нас ждет успех но этого мало можем сделать следующий шаг и смотрите если я добавлю вот сюда еще постоянное слагаемое возьму вот такую запись x от t равняется оставим здесь свободное место синус а здесь я напишу омега 0 т плюс какое-то постоянное слагаемое и нулевое производная внутренней функции от этого же не изменяется потому что производная константы 0 то есть добавление такого слагаемого не нарушит вот это равенство кроме того а что если мы перед синусом поставим какой-то коэффициент постоянное число постоянно величину обозначим x максимальное если мы введем такой коэффициент то у нас во столько же раз увеличится и вторая производная и функцией вторая производная увеличится в x максимальное число 1 значит равенство вот это слово будет сохраняться отлично то же самое можно сделать и если использовать функцию косинус икс r равняется x максимальная на косинус омега 0 плюс fi 0 если вы эти функции подставить вот в это уравнение то есть возьмете в производную я сейчас этого делать не буду вы увидите что у вас уравнение превращается в тождество так вот оказывается каким законом описываются колебания если ускорение прямо пропорционально смещению от положения равновесия и направлена к положению равновесия колебания описываемые законом синуса или косинуса носят названия гармонически либо не давайте запишем колебания происходящее по закону синуса или косинуса колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармонические значит вот это и это закон движение при гармонических колебаниях закон движения при гармонических колебаниях закон движения при гармонических колебаний хоть то есть те две зависимости которые мы сейчас с вами записали это и есть решение основной задачи механики для того случая когда выполняется вот это условие то есть для гармонических колебаний система в которой происходит гармоническое колебание называется гармонический осциллятор гармонический осциллятор гармонический осциллятор и так колебания происходящее по закону синуса или косинуса называются гармоническими то что я сейчас сказал это просто кинематика мы не интересуемся когда колебания будут гармоническими мы утверждаем что если колебания происходят по закону синуса и косинуса мы присваиваем им название гармонических колебаний а теперь следующий шаг скажите пожалуйста в каком случае колебания будут гармоническими в каком случае то есть при выполнении каких условий это уже динамика это уже причины движения рассматривать нужно в каком случае с динамической точки зрения колебания будут гармоническими замкнутой системе ну хорошо да ну это не обязательно будет гармонические колебания периодически это свойство колебания что можно сказать о силе ведь подождите если речь идет о динамике мы должны подумать о силах какой должна быть сила для того чтобы колебания были гармоническими квази упругая умница и так запишите пожалуйста колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы колебания будут гармоническими если они происходят под действием квази упругой силы ну а теперь какой же выбрать закон движение синусный или косинусные оказывается не имеет никакого значения давайте договоримся что мы с вами будем рассматривать колебания в косинус и синус тоже годится но надо же на чем-то определенном останавливаться и так закон движения при гармонических колебаний мы выбираем в косинус най форме то есть он будет таким x м делить умножить на косинус омега 0 это плюс fib нулевое и теперь нам нужно разобраться а что же кроется за этими величинами x м омега 0 финале давайте разберемся прежде всего мы знаем что косинус омега 0 это плюс fi 0 каким бы ни был аргумент по модулю всегда будет меньше либо равен единице косинус не бывает больше единицы и синус тоже на самом деле бывает но только если аргумент не относится к действительным числам синус может быть хоть 50 косинус тоже если аргумент комплексное число но мы еще не знаем что такое вот в нашем случае в наших задачах здесь числа действительно поэтому косинус по модулю не превышает единицы отсюда следует что x от t всегда по модулю меньше либо равно x с индексом м так что же значит тогда индекс м maximum ix с индексом м это модуль максимального отклонения тело от положения равновесия xm носит название амплитуда колебаний амплитуда колебаний амплитуда колебания запишем определение амплитудой колебаний называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия амплитудой колебаний называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия называется модуль максимального отклонения тело от положения равновесия теперь займемся то кстати в каких единицах измеряется амплитуда в метрах если это колебания линейные а если колебательное движение вращательное как у физического маятника то в радианах но можно в градусах лучше вроде она теперь заглянем сюда вот в эту скобку вот эта скобка я ее так вот и отдельно выпишу омега 0 т плюс fi 0 а то что стоит под знаком косинуса и синуса называется фаза колебаний фаза колебаний фаза колебаний фаза неуклонно растет с течением времени причем по линейному закону видите то входит сюда и она постоянно увеличивается значит фаза становится все больше и больше с течением времени другими словами эта величина показывает насколько далеко зашел процесс колебать колебаний но это не очень интересная величина однако обратите внимание вот на что и косинус и синус функции периодические насколько надо увеличить аргумент синуса или косинуса чтобы он снова стал таким как был на 2пи а значит если фаза увеличится на 2пи или на 2пи нгн любое целое число но нас интересует только первое значение 2 пи если фаза увеличится на 2пи что будет сексом он будет таким же как был при значении t но если косинус увеличился на если аргумент косинуса увеличился на 2пи а система вернулась в исходное положение то как называется промежуток времени за которой произошло это изменение период значит если мы ко времени добавим период та фаза увеличится до 2п условия периодичности условия периодичности x-code т плюс период равное x от t влечет за собой следующий факт что фаза омега нулевое когда на часах будет т плюс период плюс fi нулевое минус старое значение фазы омега 0 т плюс 0 должно равняться 2 пи это минимальное время за которая система придет в то же самое состояние то есть это период т найдем отсюда и как-то свежим и вас омега нулевым раскрываем скобки омега 0 тыс омега 0 т большой плюс fi 0 равняется нет минус минус омега нулевое минус 0 равняется 2 пи омега 0 а ты маленькая вот с плюсом вот с минусом взаимное уничтожение fi нулевое здесь с плюсом здесь с минусом тоже происходит взаимное уничтожение что остается омега 0 3 равняется 2 pin отсюда омега 0 равняется 25 делить на период эта формула связывает вот эту самую величину омега нулевое с периодом но давайте ещё вспомним одну вещь вспомним что период связан с частотой помним что единица на т это ничто иное как частота колебаний не то есть количество колебаний в не несу времени тогда вот эту формулу можно переписать так омега 0 равняется 2 пи new обе эти формулы надо помнить величина омега 0 связано с частотой колебаний у нее тоже название частота но только не просто частота от циклическая частота величина омега нулевое называется циклическая частота колебания циклическая частота колебаний циклическая частота колебаний какую впечатлил вот просто частота что это такое количество колебаний в единицу времени отлично а сколько должно смотрите чистота это количество колебаний за ну а за одну секунду а в таком случае а в 2 пи раз большее значение это будет число колебаний за 2 пи раз большее число секунд то есть мы можем записать что циклическая частота колебаний численно равна запишите пожалуйста циклическая частота колебаний численно равна количеству колебаний за промежуток времени 2 пи секунд циклическая частота колебаний численно равна количеству колебаний за промежуток времени 25 секунд в каких единицах измеряется циклическая частота просто частота измеряется в герцах но размерность это обратная секунда и поскольку 2пи тоже безразмерная величина то циклическая частота имеет ту же размерность что и линейная чистота new но для того чтобы не путать циклическую частоту с линейной линейную частоту измеряют в герцах а циклическую измеряют в радианах в секунду радиан в секунду почему радиан потому что фаза стоит под знаком косинуса по знакам косинуса стоят величины измеряемой в радианах угловые величины отсюда видно что для того чтобы аргумент косинуса был радиан нужно чтобы омега 0 имела размерность радиан в секунду тогда секунды сократятся останутся радианы и так не путайте линейная частота измеряется в герцах циклическая в radiant секунду кстати вам ничего не напоминает обозначение где там и буквой омега уже что-то обозначали угловая скорость скоро вы увидите что вращательное движение и гармонические колебания теснейшим образом связаны но сейчас пока об этом говорить не будем следующая величина которая нас интересует fi нулевое fi нулевое входящая в фазу величина фаза равняется fi нулевое когда время равно нулю время равно нулю в начальный момент поэтому fi нулевое получила название начальная начальная фаза начальная фаза какой физический смысл начальной фазы что она характеризует она на действительно характеризует положение тела в начальный момент времени вот давайте рассмотрим несколько примеров допустим у нас есть маятник математически вот он ну это не математически но вполне на него похоже положительное направление у нас вправо и вот мы отведем этот ник и в начальный момент времени запускаем секундомер его отпустим как описать движение этого маятника вот положение равновесия вот направлении вдоль которого происходят колебания это будет наша ось x скажем так мы и буквой s обозначали вот маятник отклонен вот на такое положение это значение мы обозначим x максимально то есть его отклонили до амплитудного значения при t равном нулю x в этот момент когда на часах 0 равен x максимальному значит мы можем написать x максимальная равняется я вот это просто сейчас использую x максимальное равняется x максимально на косинус омега 0 0 ли в плюс fib нулевое вот я записал закон движения для одного момента времени начального какое должно быть fi нулевое чтобы это работало чтобы это работало косинус должен равняться единице поскольку первое слагаемое 0 то аргумент должен равняться нулю значит fi 0 равно нулю вот так вот в таком случае начальная фаза равна нулю это у нас положительное это отрицательное направлении а теперь возьмем другую ситуацию маятник в начальный момент времени отвели назад на величину x максимально минус плюс наши направлении x при t равном нулю отклонение равняется минус x максимальная с одной стороны а с другой стороны она должна подчиняться вот этому закону равно x максимально на косинус омега 0 0 плюс fi 0 в этой ситуации косинус должен быть минус 1 какой будет аргумент пи либо минус пик fi 0 равняется пи то есть начальная фаза при таком способе возбуждения колебаний будет равна пи мы можем по-другому поступить мы можем например запускать маятник щелчком в начальный момент маятник находится в положении равновесия но обладать скоростью в этом случае начальная фаза будет минус пи пополам если мы его в обратную сторону толкнем то есть его скорость будет направлена в сторону отрицательных значений то оказывается что начальная фаза bot plus пополам подробнее мы об этом ещё будем говорить сейчас я из ну на этот тратить времени она заслуживает большего внимания чем сейчас хочу заключить наш сегодняшний разговор вот чем мы с вами записывали в самом начале что x с двумя точками равняется минус c ix и выяснили что то же самое можно записать так x с двумя точками равняется минус омега 0 квадрат x отсюда смотрите следует прямая связь между циклической частотой и коэффициентом который связывает вот эти две величины с параметрами системы следовательно омега 0 а зависит от параметров системы от жесткости пружины от длины маятников циклическая частота определяется параметрами системы а вот величина x максимальная и fi 0 чем определяется тем как мы колебания запустили то есть определяется начальными условиями определяется начальными начальными условиями и последняя вот это уравнение x с двумя точками равняется минус омега 0 квадрат x можно записать еще вот так красиво записать плюс омега 0 квадрат x это что же самое равняется нулю это уравнение физики и математики впрочем той называют уравнение гармонических колебаний уравнение гармонических колебаний уравнение гармонических колебаний оказывается что здесь может быть и не 0 эти случаи мы тоже с вами будем рассматривать в дальнейшем но пока что оставим как есть уравнение гармонических колебаний дифференциальное уравнение линейной а производная функция вход в первой степени второго порядка потому что производная здесь 2 вот с чем нам предстоит иметь дело урок окончен

Страница не найдена — ООО «АСМ Тесты и измерения»

Н О В О С Т И

Наш новый партнер Mecanum

В октябре наша компания подписала эксклюзивный договор с Канадской компанией Mecanum, которая является одним из крупных мировых производителей оборудования в области акустических испытаний материалов.

Наш новый партнер Teledyne Reson

Наша компания начала сотрудничать с датской фирмой Teledyne Reson, которая является ведущим поставщиком высококачественных решений для подводной акустики.

Ремонт портативных калибраторов акселерометров

Уважаемые клиенты! Если у Вас имеется портативный калибратор акселерометров HI-803, Endevco 28959FV или такой же калибратор другого производителя вы можете столкнуться с проблемой, что прибор выключается сразу после загрузки селфтеста.

Мониторы шума (Hlukové monitory)

Мониторы шума от Чешской компании «Hlukové monitory». Визуализация шума, для легкой и эффективной возможности его контролировать.

Сервисный центр

Сергей Собянин предложил оборудовать дорожные камеры шумомерами

Распродажа оборудования со склада в Москве

Выставка PRO // Движение.

Приглашаем Вас посетить наш стенд на выставке PRO // Движение.Экспо, который будет находится в павильоне №1 в бизнес-лаунже № E7.8/1.

Новый партнер Microtech Gefell GmbH

Мы подписали эксклюзивное дистрибьюторское соглашение с компанией Microtech Gefell GmbH. Компания была основана в 1928 году в Германии и занимается производством микрофонов студийных и измерительных. В советское время эта компания была известна в нашей стране под брендом RFT, который был известен своим качеством и надежностью, и ни в чем не уступали другому известному бренду Bruel & Kjaer.

Представляем Вам нашего нового партнера — компания Dynalabs.

Первый сертифицированный бюджетный микрофон фирмы ACO (Япония)

Сертифицирована система поверки акселерометров 3629

Приглашаем на работу

ИДЕТ РЕГИСТРАЦИЯ НА СЕМИНАР

Как работает линейная камера | CameraIQ

Линейные камеры (line-scan) — это вид камер машинного зрения, которые отличаются от обычных видеокамер с матричным сенсором (area-scan) тем, что изображения в них формируются путем сканирования объекта съемки.

Линейная камера имеет сенсор, содержащий всего одну (иногда несколько) линию (строку) пикселей. Такие камеры также называют “строчными камерами”.

Преимущества

Использование линейных камер имеет множество преимуществ:

• Низкая цена в пересчете на пиксель: линейное сканирование позволяет реализовать съемку с высоким разрешением с минимальными затратами
• Чувствительность и динамический диапазон линейных камер, как правило, существенно выше чем у матричных
• Изображение без “смаза”: линейные видеокамеры позволяют снимать быстро-движущиеся объекты
• Эффективность: в отличие от систем с матричными камерами, при использовании линейного сканирования нет необходимости обеспечивать перекрытие последовательных кадров и их дальнейшую программную “склейку” — изображение непрерывно формируется в буфере встроенной памяти линейной камеры
• Масштабируемость: если разрешения одной линейной камеры недостаточно, очень просто использовать несколько камер установленных в ряд
• Снижение затрат на организацию освещения объекта: достаточно подсветить узкую полосу нужной ширины, вместо организации равномерного освещения всей поверхности объекта

Принцип работы

Принцип действия систем машинного зрения, использующих линейные видеокамеры, аналогичен принципу работы сканера документов: за счет движения объекта относительно камеры (либо камеры вдоль объекта) — из строк, последовательно, одна строка за другой, формируется обычное двумерное изображение.

Линейные камеры наиболее эффективны при съемке непрерывно движущихся материалов, в таких отраслях как бумажное производство, полиграфия, металлургия и т.п. На рисунке показано сравнение матричных и линейных камер применительно к таким задачам.

За счет большего числа пикселей в строке одна видеокамера линейного сканирования способна заменить несколько обычных матричных камер.

Применения

Применение линейных камер оправданно для съемки движущихся, бесконечных объектов. Она позволяет получить высококачественную серию снимков с большим разрешением ( 8096 x 16000 пикселей для камеры бюджетной GigE серии), стык в стык, без необходимости совмещения кадров между собой. Работа с энкодером позволяет контролировать скорость объекта и снимать его с динамической частотой линий. Тем самым геометрия снимка не искажается из-за изменяющейся скорости объекта. 

Некоторые применения линейных камер: 

• Контроль металлопроката, бумажного, стекольного производства. Позволяет отснять лист материала большого размера одной камерой с высоким разрешением. Далее, по прямоугольному снимку с камеры вы можете контролировать размеры, проверять поверхность изделия, например с помощью нейросетей, считывать маркировку и т.д.

• Контроль печати. Позволяет сканировать печатную продукцию (банеры, газеты, печать на сайдинг-панелях, нанесение рисунка на напольные покрытия, ДСП). Благодаря продвинутым линейным камерам с многоспектральным 10 битным сенсорам — реализуется оценка оттенков печати с применением специального полиграфического ПО.

• Контроль рельс, асфальтового покрытия. Данные камеры позволяют снимать на скоростях до 100 км/ч дорожное покрытие перед автомобилем или рельсы под вагоном. Благодаря снимкам с этих камер контролируется состояние инфраструктуры и производятся своевременные ремонтные работы. 

• Считывание маркировки сортировочного центра. На многих почтовых сортировочных центрах письма и отправления «летают» по системе распределения.

  И для качественного и быстрого распознавания индекса, трек-номера, почтовых марок, а также проверки наличия адресата используют линейные камеры. 

• Контроль трубопроката. Для задач инспектирования внутреннего и внешнего сварного шва на трубе также используют линейные камеры, установленные на специальных мобильных роботах, способных проехать внутри трубы и отснять шов изнутри. 

• Фотофиниш. Системы спортивного фотофиниша для олимпиад и соревнований — основной инструмент жури для определения победителя. В данном случае камера снимает линию фотофиниша с частотой до 20 кГц. Будь это бегуны, скачки, ралли, формула-1 — на любой скорости камера позволит безошибочно увидеть победителя.

На пути к произвольному изменению частоты звука с помощью линейного метаслоя с изменяющимися во времени и квантованными свойствами

Архитектура акустического метаслоя

Предлагаемый AML показан на рис. 1a. Он состоит из подвешенной диафрагмы громкоговорителя с подвижной катушкой, шунтированной аналоговой схемой. Катушка погружена в постоянное магнитное поле и обеспечивает электромеханическую связь между последовательным шунтирующим контуром и диафрагмой. Наша предыдущая работа ^46,47 демонстрирует, что схема пассивного шунта может значительно изменить динамические свойства системы, включая массу, жесткость и демпфирование.{- 1} \) — электрическое сопротивление цепи с общим сопротивлением R , индуктивностью L и емкостью C , Bl — силовым фактором, а ω — угловой частотой. В этой работе вводится полевой транзистор металл-оксид-полупроводник (MOSFET) для подключения или отключения шунтирующей цепи с использованием заранее определенной временной последовательности, как показано на рис. 1b. Когда вывод G полевого МОП-транзистора, см. Рис. 1а приложен с напряжением смещения, превышающим пороговое значение \ (V_g \,> \, V_0 \), сопротивление между выводами D и S составляет 4 мОм, а шунтирующий акустический импеданс диафрагмы \ ({\ Delta} Z, \) загружается. В противном случае сопротивление цепи очень велико, R _выкл. = 4400 Ом, и \ ({\ Delta} Z \) не нагружается. Состояние MOSFET описывается функцией \ (g \ left (t \ right) = {{{{{{{{\ mathrm {H}}}}}}}} ({V_g \ left (t \ right) — V_0}) \), где H — ступенчатая функция Хевисайда. Рисунок 1b иллюстрирует \ (g \ left (t \ right) \), когда применяется периодическое и случайное стробирующее напряжение \ (V_g \ left (t \ right) \) соответственно. Рисунок 1c, d иллюстрирует, соответственно, работу AML, когда \ (V_g \ left (t \ right) \) следует гармоническим и случайным шаблонам соответственно.Как показано на рис. 1c, когда состояние полевого МОП-транзистора задается периодическим напряжением с частотой f _m , энергия падающей звуковой волны на частоте источника f _s разносится до разности и суммы частот

$$ f_ — = f_s — f_m \; {{{{{{{{\ mathrm {and}}}}}}}} \; f_ + = f_s + f_m $. $

Когда последовательность стробирующего напряжения ограничена полосой случайным образом с \ ({f_m \ in \ left [f_1, \; f_2 \ right]} \), мы ожидаем, что источник гармоник рассеивается на случайную волну с боковыми частотами до покрывают ту же линейную полосу пропускания \ (f_2 — f_1 \), как показано на рис. 1г. Временная последовательность полевого МОП-транзистора заранее определена и не связана с падающими или проходящими волнами, в отличие от традиционного активного управления, которое выводится из сигнала датчика и, таким образом, подвержено ограничениям стабильности. В этом смысле AML является надежным рассеивателем частоты, который сам по себе не излучает звук. Всегда присутствует небольшая утечка напряжения из полевого МОП-транзистора, и его потенциал звукового излучения будет обсуждаться в результатах экспериментов.

AML , образованный шунтированным громкоговорителем, каскадно соединенным с полевым МОП-транзистором (см. Дополнительное примечание 1). G, D и S представляют порты затвора, стока и истока полевого МОП-транзистора. Напряжение, подаваемое на G (\ (V_g \)), определяет эффективное сопротивление между D и S. b Схема функции состояния полевого МОП-транзистора, \ (g \ left (t \ right) \) = 1 для состояния включения , когда управляющее напряжение \ (V_g \)> 2 вольт (см. ( a )), и \ (g \ left (t \ right) \, \) = 0 для состояния выключения. c Схема рассеяния гармоник в волноводе и измерительной системе.В волноводе возникают четыре волны: падающая (\ (p_I \)), отраженная (\ (p_ {Ru} \)), прошедшая (\ (p_T \)) и отраженная вниз по потоку (\ (p_ { Rd} \)) волны. Переданная волна вниз по потоку содержит компоненты \ (f_ — \), \ (f_s \) и \ (f_ + \). d Схема рандомизированного AML со случайным стробирующим напряжением, преобразующая часть тонального входа в белый шум.

Теоретические соображения

Основное уравнение движения диафрагмы с сосредоточенными параметрами:

$$ \ begin {array} {* {20} {c}} {M \ dfrac {{{{{{{\ mathrm {d}}}}} v}} {{{{{{{\ mathrm {d}}}}}} t}} + \ left ({D + 2 \ rho _0c_0A} \ right) v + K \ eta + BlI = 2Ap_I \ left (t \ right),} \ end {array} $$

(1)

, где \ (v = {{{{{\ mathrm {d}}}}}} \ eta / {{{{{{\ mathrm {d}}}}}} t \) — скорость вибрации,

(2)

где \ (q_e \) — электрический заряд, \ (R (t) \) — мгновенное электрическое сопротивление, \ (R _ {{{{{{\ mathrm {on}}}}}}} \) равно полное сопротивление цепи при включении полевого МОП-транзистора, \ (g = 1 \) и \ (R _ {{{{{{\ mathrm {off}}}}}}} \) является огромным значением сопротивления при включении полевого МОП-транзистора. выключенный.Обратите внимание, что \ (R _ {{{{{{\ mathrm {off}}}}}}} \) теоретически будет рассматриваться как бесконечность, но сохраняется как конечное значение для первоначального анализа.

Применение преобразования Фурье к уравнениям. (1) и (2) и сохраняя только скорость диафрагмы и электрический ток в качестве основных переменных,

$$ \ begin {array} {* {20} {c}} {\ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {i \ omega M \ hat v + \ left ({D + 2 \ rho _0c_0A} \ right) \ hat v + K \ hat v / \ left ({i \ omega} \ справа) + Bl \ hat I = 2A \ hat p_I,} \ hfill \\ {i \ omega L \ hat I + \ left ({R _ {{{{{{{\ mathrm {on}}}}}}} + \ frac {1} {2} R _ {{{{{{{\ mathrm {off}}}}}}}} \ right) \ hat I — \ frac {1} {2} R _ {{{{{{\ mathrm {off}}}}}} \ hat I \ otimes \ hat G + \ frac {{\ hat I}} {{\ left ({i \ omega C} \ right)}} = Bl \ hat v, } \ hfill \\ {\ hat G \ left (\ omega \ right) = \ mathop {\ int} \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ left [{2g \ left (t \ right) — 1} \ right]} {{{{{\ mathrm {e}}}}}} ^ {i \ omega t} {{{{{\ mathrm {d}}}}}} t, \; \ hat I \ otimes \ hat G = \ mathop {\ int} \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ hat G} \ left ({\ omega ^ {\ prime}} \ right) \ hat I \ left ({\ omega — \ omega ^ {\ prime}} \ right) {{{{{\ mathrm {d}}}}}} \ omega ^ {\ prime},} \ hfill \ end {array}} \ Правильно. } \ end {array} $$

(3)

, где шляпы обозначают преобразования Фурье, а \ (\ hat G \ left (\ omega \ right) \) — преобразование Фурье \ (2g \ left (t \ right) — 1 \) (квадратная волна с нулем предвзятость). Наличие члена свертки, \ (\ hat I \ otimes \ hat G \), является сущностью устройства модуляции. Это делает решение уравнения. (3) сложный, поскольку отклики на одной частоте связаны со свойствами материала на всех других частотах. Однако предварительный анализ все же возможен для упрощенных модуляций.{+ \ infty} {\ frac {1} {{2n — 1}}} \ delta \ left [{\ omega — \ left ({2n — 1} \ right) \ omega _m} \ right], \) где \ (\ delta \) — дельта-функция Дирака. Обратите внимание, что свертка \ (\ hat I \ otimes \ hat G \) сдвигает угловую частоту электрического тока \ (\ hat I \) на \ (\ left ({2n — 1} \ right) \ omega _m \) . Коэффициент амплитуды \ (1 / \ left ({2n — 1} \ right) \) подразумевает преобладание низших (фундаментальных) порядков n = 0, 1, что подтверждается экспериментальными результатами, представленными ниже. {- 1} \) скорее всего будет медленным. В численном исследовании используется прямое решение во временной области.

Два фактора в \ (\ hat I \ otimes \ hat G \) определяют степень разброса частоты модуляцией. Во-первых, когда \ (g \ left (t \ right) \) следует полностью случайной временной последовательности, \ (\ hat G \ left (\ omega \ right) \) становится константой для всех частот. Во-вторых, конечный скачок сопротивления цепи во время переключения MOSFET (за наносекунды) означает импульс электрического тока со спектральным перетеканием на все частоты.2 / Z_e \) — приращение акустического импеданса, вызванное электромагнитным полем. Можно сказать, что метаслой работает с двумя квантованными состояниями импеданса. Вместе с рандомизированным переключением AML предлагает гигантский коэффициент модуляции (см. Раздел «Коэффициент модуляции»).

После этих наблюдений в частотной области мы теперь вернемся к управляющим уравнениям во временной области. (1) и (2), которые могут быть численно решены для скорости реакции \ (v \ left (t \ right) \). 2} {{{{{\ mathrm {d}}}}}} т.} \ end {array} $$

(5)

Вариация \ (\ alpha _s \) по отношению к различным контрольным параметрам анализируется после представления экспериментальных результатов.

Для решения связанной уравнения. (1) и уравнение. (2) во временной области мы используем основанную на механике схему нормализации, в которой время измеряется частотой колебаний диафрагмы в вакууме \ (\ sqrt {K / M} \) и нормированной переменной электрического заряда q Также определен ,

$$ \ begin {array} {* {20} {c}} {\ bar t = t \ sqrt {K / M}, \; q = Blq_e / \ sqrt {KM}.} \ end {array} $$

(6)

Здесь q имеет размерность механического перемещения. Определяющие уравнения в (1) и (2) можно переписать в терминах η , q и их производных по времени следующим образом:

$$ \ begin {array} {* {20} {c}} {\ гидроразрыв {{{{{{\ mathrm {d}}}}}}} {{{{{{{{{\ mathrm {d}}}}}} \ bar t}} \ underbrace {\ left [{\ begin { массив} {* {20} {c}} {{{{{{{\ mathrm {d}}}}}} \ eta / {{{{{\ mathrm {d}}}}}} \ bar t} \ \ {{{{{{{\ mathrm {d}}}}}} q / {{{{{{\ mathrm {d}}}}}} \ bar t} \\ \ eta \\ q \ end {array} } \ right]} _ {{{{{{{\ mathbf {U}}}}}}}} + \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {d_m} & 1 & 1 & 0 \\ {- B_x} & {d_e} & 0 & {k_e} \\ {- 1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {- 1} & 0 & 0 \ end {массив }} \ right]} _ {{{{{{{{{\ mathbf {D}}}}}}}} _ {{{{{{{{\ mathbf {M}}}}}}}}} \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20} {c}} {{{{{{{\ mathrm {d}}}}}}} \ eta / {{{{{\ mathrm {d}}} }}} \ bar t} \\ {{{{{{\ mathrm {d}}}}}} q / {{{{{{\ mathrm {d}}}}}}} \ bar t} \\ \ eta \\ q \ end {array}} \ right]} _ {{{{{{{\ mathbf {U}}}}}}} = \ underbrace {\ left [{\ begin {array} {* {20 } {c}} F \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array}} \ right]} _ {{{{{{{{\ mathbf {F}}}}}}}},} \ end { Arra y} $$

(7)

, где \ (F = 2p_I \ left (t \ right) A / K \) — давление падающей волны, имеющее размер смещения, D _M — матрица демпфирования, состоящая из четырех безразмерных параметров,

$$ \ begin {array} {* {20} {c}} {d_m = \ frac {{D + 2 \ rho _0c_0A}} {{\ sqrt {KM}}}, \; d_e = \ frac {{R \ left (t \ right)}} {{L \ sqrt {K / M}}}, \; B_x = \ frac {{\ left ({Bl} \ right) ^ 2}} {{LK}}, \ ; k_e = \ frac {M} {{LCK}}. } \ end {array} $$

(8)

Здесь d _m представляет собой общую механическую нагрузку с учетом демпфирования диафрагмы и коэффициента звукового излучения \ (2 \ rho _0c_0A \), d _e — коэффициент электрического демпфирования , B _x — сила магнитной связи, а k _e — квадратичное отношение частоты электрического резонанса \ (1 / \ sqrt {LC} \) к частоте механического резонанса. , \ (\ sqrt {K / M} \), что также можно рассматривать как постоянную электрической пружины.

Уравнение (7) вырождается в систему из трех уравнений, когда конденсатор отсутствует и нет необходимости вычислять электрический заряд по току, или в два уравнения для \ (\ eta \; {{{{{{{{\ mathrm) {и}}}}}}}} \; {{{{{\ mathrm {d}}}}}} \ eta / {{{{{\ mathrm {d}}}}}} \ bar t \) когда MOSFET выключен. Решение во временной области проще всего, когда оно разделено на MOSFET-on, \ (R \ left (t \ right) = R _ {{{{{{\ mathrm {on}}}}}}}, \; g \ left (t \ right) = 1 \) и MOSFET-off, \ (R _ {{{{{{{\ mathrm {off}}}}}}} = \ infty, \; g \ left (t \ right) = 0 \), констатирует. Детали решения временной области для вектора состояния \ ({{{{{{{{\ mathbf {U}}}}}}}} \) приведены в разделе «Методы». Переданные и отраженные волны затем получаются по формуле. (4).

Целью настоящего исследования является демонстрация существенных эффектов связи вместо полного параметрического анализа. С этой целью мы позволим варьировать только безразмерную механическую нагрузку системы, d _m . Физически это может быть достигнуто путем изменения механического демпфирования диафрагмы, D , а также изменения акустических граничных условий.Например, если жидкую среду (воздух) с двух сторон диафрагмы заменить более легким газом, таким как гелий, его радиационное сопротивление \ (\ rho _0c_0A \) будет значительно уменьшено. Аналогичным образом, увеличенная масса или жесткость диафрагмы для данной окружающей жидкости также может уменьшить d _м , ср. Уравнение (8). Простое параметрическое исследование d _m будет проведено после представления результатов экспериментов.

Коэффициент модуляции

Сначала мы исследуем статический акустический импеданс для метаслоя в состояниях MOSFET-on и MOSFET-off, используя трубку импеданса, показанную на рис.1c. Результаты показаны на рис. 2. Коэффициент модуляции определяется как отношение акустических сопротивлений системы с включенным и отключенным состояниями,

$$ \ begin {array} {* {20} {c}} { \ alpha _m = \ left | {Z_m + {{{{{{{\ mathrm {{\ Delta}}}}}}}}} Z} \ right | / \ left | {Z_m} \ right |.} \ End {array} $$

(9)

a Акустический импеданс метаслоя, \ (D + i \ chi \), для включенного и выключенного состояний полевого МОП-транзистора.Как демпфирование ( D ), так и реактивное сопротивление (\ (\ chi \)) нормализованы импедансом воздуха \ (\ rho _0c_0A \). Динамическая масса, демпфирование и жесткость диафрагмы составляют M = 5,8 г, D = 5,04 Н · м ⁻¹ и K = 4516 Н · м ⁻¹ , соответственно, с коэффициентом силы Bl = 4,6 т м. Эффективное сопротивление, индуктивность и емкость равны R = 0,1 Ом, L = 1,2 мГн и C = 1,0 мФ соответственно. b Коэффициент модуляции импеданса \ (\ alpha _m \). c Коэффициент пропускания звука, показывающий полосу пропускания и полосу задерживания в выключенном и включенном состояниях MOSFET, соответственно. d Коэффициент пропускания для MOSFET-транзисторов в выключенном и включенном состояниях.

На рис. 2а показано демпфирование и реактивное сопротивление AML в состояниях MOSFET-on и MOSFET-off, соответственно, которые используются для расчета отношения импедансов, показанного на рис. 2b. Было обнаружено, что максимальное отношение составляет \ (\ alpha _m \) = 45 при 135 Гц, в то время как более низкие отношения распространяются на весь частотный диапазон.Этот пик \ (\ alpha _m \) как минимум на два порядка выше, чем тот, который используется новаторскими методами в литературе: 0,14 ~ 0,21 для вибрации и звука ^33,34 или 10 ⁻⁴ ~ 10 ^{— 3} в оптике ^24,25 . Таким образом, механизм модуляции для AML описывается как гигантская модуляция, которая будет желательна в будущих приложениях, описанных во «Введении» и даже за его пределами. Например, одним из методов достижения голографии, основанной на обращении времени, является создание мгновенного зеркала времени ⁴⁹ путем внезапного изменения глобальной скорости волны, приводящей к обратному распространению волн, без использования антенной решетки на ограждающей границе.Большее временное нарушение скорости волны или коэффициента модуляции в текущем контексте даст более существенное обратное распространение.

Рисунок 2c показывает, что при включении полевого МОП-транзистора метаслой переходит из акустического мягкого состояния в акустическое жесткое состояние в диапазоне частот 92–184 Гц, в котором коэффициент пропускания изменяется в 5 раз, как показано на Рис. 2г. Полоса пропускания звука из-за структурного резонанса преобразуется в полосу заграждения из-за чрезвычайно большого акустического затухания, вызванного шунтирующей цепью.Он действует как материал с мгновенным фазовым переходом. Следовательно, когда состояния «включено» и «выключено» полевого МОП-транзистора колеблются со временем, падающая звуковая волна также рассеивается в частотном спектре. Обратите внимание, что стробирующее напряжение не обеспечивает энергию для такого изменения свойств материала, и метаслой не излучает звук сам по себе, за исключением крошечных звуков, вызванных током утечки и напряжением полевого МОП-транзистора.

Гармоническая модуляция

Результаты для гармонической модуляции показаны на рис.3 для падающей звуковой волны 5,5 Па при f _с = 135 Гц. Частота модуляции f _m = 75 Гц. На рисунке 3а показано, что прошедшая волна искажена изменяющимся во времени импедансом метаслоя. Сплошная линия представляет собой измеренный сигнал, а пунктирная линия, помеченная как восстановленная на рисунке, представляет собой сумму трех частотных составляющих: f _s , f _— и f ₊ , для которых амплитуды равны 0.279, 0,184 и 0,186 соответственно при нормировке по амплитуде падающей волны. Тесное согласие между ними означает, что вклады членов модуляции более высокого порядка незначительны. На рисунке 3b сравниваются измеренные спектральные амплитуды (столбцы) с численным прогнозом (белые кружки), демонстрируя разумное согласие. Сравнение всего передаваемого звука во временной области показано на рис. 3c. Расхождения можно объяснить тем фактом, что численное моделирование не учитывает различные факторы, существующие в эксперименте, такие как частотная зависимость демпфирования диафрагмы и электрического сопротивления, а также остаточное отражение звука от безэховых клиньев конечной длины, показанных на рис.1.

a Измеренное звуковое давление во временной области (сплошная кривая, нормализованная по амплитуде падающей волны) на выходе и сумма трех частотных составляющих \ (f_s \), \ (f_ — \) и \ (f_ + \) (пунктирная). b Спектры измеренных (столбики) и рассчитанных численно (белые кружки) давлений ниже по потоку. c Прогнозирование во временной области (пунктир) передаваемого давления по сравнению с измеренным (сплошная линия), нормированное на амплитуду падающей волны.Сравнение падающего (немодулированного) и передаваемого (модулированного) звука показано на рис. S2. d Эффективность рассеяния энергии \ (\ alpha _s \), определенная в формуле. (5), как функция параметра загрузки системы, d _m , определенное в формуле. (8), когда другие параметры управления нарушены из экспериментальных настроек (незакрашенный квадрат): механическая нагрузка d _м = 2,63 сила магнитной связи \ (B_x = 3,905 \), электрическое демпфирование \ (d_e = 0.094 \) и жесткость электрической пружины \ (k_e = 1.07 \). Все линии прогноза имеют одинаковый \ (B_x \). Толстая сплошная линия имеет то же значение \ (k_e \; {{{{{{{{\ mathrm {and}}}}}}}} \; d_e \), что и эксперимент, и на рисунке просто помечена как Прогноз. Строки 1–3 имеют то же значение \ (k_e \), что и эксперимент, но с \ (d_e = 0, \; 0.3, \; 1.0 \) соответственно. Строка 4 имеет то же значение \ (d_e \), что и эксперимент, но другое значение \ (k_e = 2 \).

Для передаваемых волн отношение звуковой энергии на разностной и суммарной частотах к частоте сигнала составляет 43.6% и 44,4% соответственно. Таким образом, эффективность рассеяния энергии равна \ (\ alpha _s = 1 — 1 / \ left ({1 + 0,436 + 0,444} \ right) = 46,8 \% \).

Параметр загрузки системы d _m можно изменять, чтобы исследовать, как можно дополнительно повысить эффективность рассеяния энергии \ (\ alpha _s \). Когда все другие параметры зафиксированы в качестве экспериментальных настроек, рис. 3d показывает, что экспериментальные результаты (открытый квадрат с \ (\ alpha _s = 0,468 \) и \ (d_m = 2,63 \)) близки к прогнозируемым значениям (жирный сплошной строка с \ (\ alpha _s = 0.389 \) при \ (d_m = 2.63 \)). Кривые на рис. 3 показывают, что \ (\ alpha _s \) может значительно увеличиться, когда \ (d_m \ до 0 \). Фактически, \ (\ alpha _s = 0.9 \) достигается, когда \ (d_m = 0.14 \). Относительно низкая эффективность рассеяния для нынешнего испытательного стенда означает, что диафрагма перегружена с целью рассеяния энергии от частоты сигнала к боковым полосам. Дальнейшее параметрическое исследование показывает, что, когда электрическое демпфирование d _e уменьшается по сравнению с экспериментальной установкой \ (d_e = 0.094 \) до \ (d_e = 0 \) (пунктир, линия 1), эффективность \ (\ alpha _s \) увеличивается во всем диапазоне d _m , но приращение незначительно. Когда d _e увеличивается до 0,3 (линия 2, тонкая сплошная линия) и далее до 1,0 (линия 3, пунктирная линия), мы видим общую тенденцию к уменьшению \ (\ alpha _s \). Это означает, что уменьшение механического и электрического демпфирования приводит к увеличению \ (\ alpha _s \). В строке 4 (пунктирная линия) задана другая жесткость электрической пружины (\ (k_e = 2 \)), но такая же d _e , что и в эксперименте, результирующее значение \ (\ alpha _s \) меньше , подтверждая, что значение k _e в экспериментальных условиях лучше.

Отдельный вопрос, представляющий технический интерес, заключается в том, можно ли управлять рассеянием в боковые полосы частот для достижения эффектов нижних частот, а именно, рассеянная энергия в основном ниже частоты источника \ ((f \, <\, f_s) \) или верхних частот \ ((f \,> \, f_s) \). Этот вопрос подробно обсуждается в дополнительном примечании 2. Вывод состоит в том, что такое управление возможно, например, с несколькими устройствами, расположенными последовательно. Механизм управления основан на акустических помехах между устройствами для частот боковой полосы.Последний настраивается разностью фаз между модулирующими временными последовательностями \ (g (t) \), подаваемыми на разные устройства.

Преобразование слышимого звука в инфразвук

Используя установку, показанную на рис. 1c, мы демонстрируем преобразование слышимого звука в инфразвук (<20 Гц), который не воспринимается человеческим ухом, с использованием частоты модуляции, очень близкой к частота источника: f _с = 160 Гц, f _м = 141 Гц.Он генерирует f _— = 160 — 141 = 19 Гц. Частота другой боковой полосы — f ₊ = 160 + 141 = 301 Гц, и это представляет собой путь удвоения частоты в сторону ультразвука. В приведенном ниже анализе основное внимание уделяется инфразвуку.

На рис. 4а, б показаны падающая и отраженная волны в области выше по потоку. Падающая волна слегка искажается генерируемым инфразвуком частотой 19 Гц, который не может быть полностью поглощен безэховым клином.Отраженная волна более искажена из-за наложения заблокированного поля и рассеянного поля AML ⁴⁸ . Волны в нисходящем потоке разложены на бегущие вправо волны на рис. 4c и бегущие влево волны на рис. 4d, что показывает преобладание инфразвука. Дальнейшее разложение на три частотных компонента показано на рис. 4e, f с правой осью Y , иллюстрирующей относительные амплитуды каждой компоненты. Небольшие высокочастотные пульсации на рис.4f подтверждают, что волны f _{s ,} f ₊ в основном поглощаются нижележащим клином, в то время как инфразвук отражается обратно.

a Падающая волна вверх по потоку \ (p_I \) из f _с = 160 Гц. b Отраженная волна вверх по течению \ (p_ {Ru} \). c Переданная волна в нисходящем направлении \ (p_T \). d Отраженная волна вниз по потоку \ (p_ {Rd} \). e Разложение \ (p_T \) на три частоты: \ (f_s = 160 \) Гц (сплошной), \ (f_ — = 19 \) Гц (пунктирный) и f ₊ = 301 Гц (штрих-точка). f Разложение \ (p_ {Rd} \) на три частоты \ (f_s, \; f_ — \; {{{{{{{{\ mathrm {and}}}}}}}} \; f_ + \). Схема измерения показана на рис. 1c и фото в дополнительном примечании 1.( a — d ) разделяют ось Y слева, а оси Y ( e ) и ( f ) помечены справа. Все амплитуды нормированы на амплитуду падающего давления (7 Па).

Дополнительные экспериментальные результаты можно найти в дополнительном примечании 3, которое показывает, что метаслой с теми же параметрами схемы является широкополосным, эффективным для падающих волн в диапазоне от 40 до 640 Гц, что составляет 4 октавы в полосе пропускания и настраивается с помощью конструкции импеданса. .Преобразование такого широкополосного шума в незаметный инфразвук на частоте 19 Гц означает, что гигантский механизм модуляции метаслоя может быть далее развит до альтернативной технологии управления широкополосным низкочастотным шумом путем преобразования низкочастотного звукового сигнала в инфразвук.

Помимо того, что инфразвук не слышен человеческим ухом, он может огибать препятствия и преодолевать большие расстояния без значительного разрушения в атмосфере, с расстоянием половинной амплитуды 100 км для 20 Гц.Продемонстрированное преобразование частоты является потенциальным методом передачи энергии волн на большие расстояния.

Увеличивая параметры мета-уровня, наше предсказание с использованием модели временной области в уравнении. (1) показывает (см. Дополнительное примечание 4) преобразование слышимого звука f _с = 5 кГц в ультразвук f _— = 20 кГц и f ₊ = 30 кГц при частоте модуляции f _m = 25 кГц.Это может быть альтернативная технология, позволяющая преодолеть ограничение пространственного разрешения, описываемое критерием Рэлея, и преодолеть конфликт глубины проникновения и пространственного разрешения ультразвукового изображения. Низкочастотный звук хорошо проникает в ткань, но высокая частота необходима для высокого разрешения изображения. Чтобы реализовать это, необходимы дополнительные усилия для изготовления устройства гораздо меньшего размера, чтобы избежать режимов вибрации диафрагмы, таких как использование динамика MEMS в качестве основы для шунтирующей модуляции.

Случайная модуляция

Последовательность напряжений случайной модуляции получается путем установки положительных и отрицательных значений белого сигнала с ограниченной полосой пропускания равными В _g = 6 В ( g = 1) и В _г = 0 ( г = 0).Это показано на рис. 5а сплошной линией вверху. Остальная часть рисунка 5 описывает полный набор данных рандомизированного AML с падающим тональным сигналом, установленным на f _s = 135 Гц, а функция случайной модуляции \ (g \ left (t \ right) \) band- ограничено f _м ∈ [50, 100] Гц. Разность и сумма частот попадают в диапазон f _— = [35, 85] Гц и f ₊ = [185, 235] Гц соответственно.

a Иллюстрация падающего звука, вводимого с момента времени 0–30 с (период сигнала не в масштабе на иллюстрации), и случайной модуляции, вводимой от 15 до 45 с, образующих четыре временных сегмента, обозначенных как (i – iv). b Переданный сигнал давления во временной области. c Увеличенное изображение перехода от тонального звука (модуляция отключена) к белому шуму с ограниченной полосой (модуляция включена) примерно на 15-й секунде. d Переданный сигнал разложен на частоту источника f _s и рандомизирован на выходе с 17-й секунды. e Спектры генерируемого управляющего сигнала (точка-тире, f _s ) и напряжения модуляции (сплошная линия, f _m ). f Спектрограмма передаваемого звука в нисходящем направлении, с частотами f _с , f _— , f ₊ отмечены. г Спектр передаваемого сигнала давления.

Рисунок 5a иллюстрирует специальный дизайн временных окон для экспериментального исследования. Сигнал падающей волны (пунктирная линия) вводится в интервале времени от 0 до 30 с, а стробирующее напряжение (сплошная линия) вводится от 15 до 45 с, создавая в общей сложности четыре временных сегмента, обозначенных как (i – iv) в абсцисса. Рисунок 5b представляет собой фактическую трассу прошедшей волны, охватывающую все 60 секунд. Рисунок 5c — увеличенный вид временного окна, отмеченного на фиг.5b для начала рандомизации около 15-й секунды, который показывает переход выходного давления из состояния отключения модуляции в состояние включения модуляции. Падающий звук имеет амплитуду 4,56 Па. Существенные искажения из-за AML возникают, как только активируется модуляция. На рисунке 5d показан типичный фрагмент сигнала около 17-й секунды, разложенный на остаточную частоту источника ( f _s = 135 Гц, 1,36 Па) и случайное звуковое давление, которое имеет амплитуду 1.19 Па. Последняя составляет около 43,4% от общей передаваемой звуковой энергии. Учитывая использование одного блока AML, этот процент передачи энергии от тонального звука к широкополосному шуму считается эффективным.

На рис. 5e – g используется одна и та же вертикальная координата частоты. На рисунке 5e показаны спектры падающего тона (пунктирная линия, обозначенная как f _s ) и сигнала модуляции (сплошная линия, обозначенная как f _m ).На рис. 5е представлена ​​спектрограмма измеренного проходящего звука с цветовой шкалой в широком диапазоне 20–100 дБ. Звуковое давление ниже 20 дБ (0,2 МПа) отображается цветом 20 дБ и рассматривается как фоновый шум. Временной сегмент (i) имеет один спектральный пик на f _с = 135 Гц, как и ожидалось. Сегмент (ii) имеет несколько ослабленную падающую волну на частоте f _s , плюс две конечные светлые полосы f _— = [35, 85] Гц и f ₊ = [185, 235] Гц, что четко соответствует спектру прошедшей волны, показанному на рис.5г. Сегмент (iii) имеет модуляцию, но без постороннего звука. Здесь ожидается нулевой выходной сигнал, но на самом деле есть ток утечки затвора полевого МОП-транзистора и пульсации напряжения, вызванные несовершенным проводом электрического заземления, из-за чего AML излучает небольшое количество звука около 28 дБ. Сегмент (iv) содержит только электронный шум в системе измерения.

Наиболее интересным моментом этой демонстрации является то, что выходное давление частично случайное, когда случайная модуляция включена, как показано в сегменте (ii) на рис.5f. Случайная волна принципиально отличается от гармонической. Во-первых, это непредсказуемо во временной области, в то время как гармонические волны управляются детерминированной динамикой. В частности, в этом исследовании, пока мы скрываем ключ модуляции \ (g (t) \), рандомизированные выходные волны не могут быть декодированы. С одной единицей рандомизированного AML передаваемый звук имеет около \ (1 — \ alpha _s = \) 56,6% остаточной энергии на частоте источника f _s . Когда несколько мета-слоев соединены каскадом, ожидается, что они быстро истощат подпись на исходной частоте, и конечным продуктом будет несколько сверток ключей.В этом смысле рандомизированные AML обеспечивают зашифрованную звуковую волну, которая может быть полезна для таких приложений, как подводная связь. Между тем, с точки зрения физиологии, белый шум (случайный звук) обычно способствует сну, поскольку большинство из нас испытывают облегчение от звука дождя. Напротив, гармоничный звук, например, из турбомашин, приводит к серьезному раздражению и бессоннице. Поскольку низкочастотный шум трудно контролировать с помощью обычных статических материалов, рандомизированный AML может стать отправной точкой для разработки другого метода управления шумом путем преобразования вредного звука в более приемлемый или даже полезный звук.Еще одно фундаментальное отличие — это пропускная способность. Гармоническая звуковая волна имеет нулевую полосу пропускания, в то время как случайный звук имеет конечную полосу пропускания.

scipy.signal.chirp — Руководство SciPy v1.7.1

Генератор косинусов с частотной разверткой.

Далее «Гц» следует интерпретировать как «количество циклов на единицу»; здесь не требуется, чтобы единица была одна секунда. В Важное отличие состоит в том, что единицы вращения — это циклы, а не радианы. Точно так же t может быть мерой пространства, а не времени.

Параметры

t array_like

Время для оценки формы сигнала.

f0 float

Частота (например, Гц) в момент времени t = 0.

t1 float

Время, в которое задается f1 .

f1 float

Частота (например, Гц) сигнала в момент времени t1 .

метод {«линейный», «квадратичный», «логарифмический», «гиперболический»}, необязательно

Тип частотной развертки.Если не указан, предполагается линейный . Видеть Примечания ниже для более подробной информации.

phi float, optional

Сдвиг фазы в градусах. По умолчанию 0.

vertex_zero bool, необязательно

Этот параметр используется только тогда, когда метод является «квадратичным». Он определяет, будет ли вершина параболы, которая является графом частоты находится при t = 0 или t = t1.

Возвращает

y ndarray

Массив numpy, содержащий сигнал, оцененный при t с запрошенная изменяющаяся во времени частота.Точнее, функция возвращает cos (фаза + (пи / 180) * фи) , где фаза — интеграл (от 0 до т ) из 2 * пи * ф (т) . f (t) определяется ниже.

Банкноты

Существует четыре варианта метода . Следующие формулы дают мгновенная частота (в Гц) сигнала, генерируемого чириканье () . Для удобства более короткие имена, показанные ниже, также могут быть использовал.

линейный, lin, li:

f (t) = f0 + (f1 - f0) * t / t1

квадратичный, четырехъядерный, q:

График частоты f (t) представляет собой параболу, проходящую через (0, f0) и (t1, f1). По умолчанию вершина параболы находится в точке (0, f0). Если vertex_zero имеет значение False, то вершина находится в точке (t1, f1). В формула:

, если vertex_zero истинно:

f (t) = f0 + (f1 - f0) * t ** 2 / t1 ** 2

еще:

f (t) = f1 - (f1 - f0) * (t1 - t) ** 2 / t1 ** 2

Чтобы использовать более общую квадратичную функцию или произвольную многочлен, используйте функцию scipy.Сигнал.sweep_poly .

логарифмический, log, lo:

f (t) = f0 * (f1 / f0) ** (t / t1)

f0 и f1 должны быть ненулевыми и иметь один и тот же знак.

Этот сигнал также известен как геометрический или экспоненциальный щебетание.

гиперболический, гиперболический:

f (t) = f0 * f1 * t1 / ((f0 - f1) * t + f1 * t1)

f0 и f1 должны быть ненулевыми.

Примеры

В примерах будет использоваться следующее:

 >>> от scipy.сигнал импорта чирп, спектрограмма
>>> импортировать matplotlib.pyplot как plt
 

В первом примере мы построим форму волны для линейного чирпа. от 6 Гц до 1 Гц за 10 секунд:

 >>> t = np.linspace (0, 10, 1500)
>>> w = chirp (t, f0 = 6, f1 = 1, t1 = 10, method = 'linear')
>>> plt.plot (t, w)
>>> plt.title ("Линейный щебет, f (0) = 6, f (10) = 1")
>>> plt.xlabel ('t (сек)')
>>> plt.show ()
 

В остальных примерах мы будем использовать более высокие частотные диапазоны, и продемонстрируем результат с помощью scipy.сигнал. спектрограмма . Мы будем использовать 4-секундный интервал с частотой дискретизации 7200 Гц.

 >>> фс = 7200
>>> Т = 4
>>> t = np.arange (0, int (T * fs)) / fs
 

Мы будем использовать эту функцию для построения спектрограммы в каждом примере.

 >>> def plot_spectrogram (title, w, fs):
... ff, tt, Sxx = спектрограмма (w, fs = fs, nperseg = 256, nfft = 576)
... plt.pcolormesh (tt, ff [: 145], Sxx [: 145], cmap = 'gray_r', shading = 'gouraud')
... plt.title (заголовок)
... plt.xlabel ('т (сек)')
... plt.ylabel ('Частота (Гц)')
... plt.grid ()
...
 

Квадратичный чирп от 1500 Гц до 250 Гц (вершина параболической кривой частоты находится при t = 0):

 >>> w = chirp (t, f0 = 1500, f1 = 250, t1 = T, method = 'quadratic')
>>> plot_spectrogram (f'Quadratic Chirp, f (0) = 1500, f ({T}) = 250 ', w, fs)
>>> plt.show ()
 

Квадратичный чирп от 1500 Гц до 250 Гц (вершина параболической кривой частоты находится при t = T):

 >>> w = chirp (t, f0 = 1500, f1 = 250, t1 = T, method = 'quadratic',
... vertex_zero = False)
>>> plot_spectrogram (f'Квадратичный щебет, f (0) = 1500, f ({T}) = 250 \ n '+
... '(vertex_zero = False)', w, fs)
>>> plt.show ()
 

Логарифмический чирп от 1500 Гц до 250 Гц:

 >>> w = chirp (t, f0 = 1500, f1 = 250, t1 = T, method = 'logarithmic')
>>> plot_spectrogram (f'Logarithmic Chirp, f (0) = 1500, f ({T}) = 250 ', w, fs)
>>> plt.show ()
 

Гиперболический щебетание от 1500 Гц до 250 Гц:

 >>> w = chirp (t, f0 = 1500, f1 = 250, t1 = T, method = 'hyperbolic')
>>> plot_spectrogram (f'Hyperbolic Chirp, f (0) = 1500, f ({T}) = 250 ', w, fs)
>>> плт.Показать()
 

Представление сигналов во временной и частотной областях

Электрические сигналы имеют представление как во временной, так и в частотной области. Во временной области напряжение или ток выражаются как функция времени, как показано на рисунке 1. Большинство людей относительно комфортно относятся к представлениям сигналов во временной области. Сигналы, измеренные на осциллографе, отображаются во временной области, а цифровая информация часто передается с помощью напряжения как функции времени.

Рисунок 1.Представление электрического сигнала во временной области.

Сигналы также могут быть представлены величиной и фазой как функцией частоты. Сигналы, которые периодически повторяются во времени, представлены спектром мощности, как показано на рисунке 2. Сигналы, которые ограничены по времени (т.е. ненулевые только в течение конечного времени), представлены энергетическим спектром, как показано на рисунке 3.

Рисунок 2. Спектр мощности периодического сигнала.

Рисунок 3.Энергетический спектр ограниченного по времени (переходного) сигнала.

Представления в частотной области особенно полезны при анализе линейных систем. Инженеры по ЭМС и целостности сигналов должны уметь работать с сигналами, представленными как во временной, так и в частотной областях. Источники сигналов и помехи часто определяются во временной области. Однако поведение системы и преобразования сигналов более удобны и интуитивно понятны при работе в частотной области.

Линейные системы

Теория линейных систем играет ключевую роль в инженерном анализе электрических и механических систем.Инженеры моделируют самые разные вещи, включая поведение схемы, распространение сигнала, связь и излучение, как линейные преобразования. Следовательно, важно точно понять, что мы подразумеваем под линейной системой, чтобы понять, как и когда использовать доступные нам мощные инструменты анализа линейных систем.

На рис. 4 показана система с одним входом, x (t) , и одним выходом, y (t) = H [x (t)] . Если ввод, x ₁ (t) производит вывод y ₁ (t) , а ввод x ₂ (t) производит вывод y ₂ (t) , то система является линейной тогда и только тогда, когда

ay1 (t) + by2 (t) = H [ax1 (t) + bx2 (t)] (1)

, где a и b — константы.Другими словами, масштабирование ввода константой приведет к выходу, масштабированному той же константой; а объединение (суммирование) двух входов даст выход, который представляет собой сумму выходов, произведенных отдельными входами.

Рисунок 4: Линейная система.

Контрольный вопрос

Какое из следующих уравнений описывает взаимосвязь между выходом y (t) и входом x (t) линейной системы?

1. y = 5x
2. y (t) = 0
3. y = 8x + 3
4. y = x ²
5. y (t) = 5t x (t)
6. y = грех x
7. y (t) = 5 δ / δt [x (t)]

Из вышеперечисленных вариантов только a, b и g являются линейными преобразованиями системы. y = 0 — это не очень интересная система, потому что ее выход всегда равен нулю, но она линейна. Простые производные и интегральные операторы являются линейными, поскольку они удовлетворяют условиям уравнения (1). Остальные варианты — нелинейные операции. Обратите внимание, что y = 8x + 3 — это уравнение прямой, но оно не описывает линейную систему, потому что оно имеет ненулевой выход, когда нет входа.

Анализ линейных систем в частотной области

Линейные системы обладают уникальным свойством: любой синусоидальный вход будет давать синусоидальный выходной сигнал с точно такой же частотой.Другими словами, если ввод имеет форму,

x (t) = Aincos (ω0t + φin). (2)

, то результат будет иметь вид

y (t) = Aoutcos (ω0t + φout). (3)

Как правило, величина и фаза синусоидального сигнала могут изменяться, но частота должна быть постоянной. Это дает нам очень мощный инструмент анализа для анализа линейных систем. Если мы представим входной сигнал как сумму его компонентов в частотной области, то мы можем выразить выходной сигнал как простое масштабирование величин и сдвиг фаз этих компонентов.

Фазорная нотация

Чтобы облегчить анализ откликов линейной системы на синусоидальные входы, удобно представлять сигналы в сокращенной форме, известной как обозначение вектора. Рассмотрим ввод формы

x (t) = Acos (ωt + φ). (4)

Это может быть представлено как,

x (t) = Re {Aej (ωt + φ)} = A⋅Re {ejωtejφ}. (5)

, где Re {•} указывает действительную часть комплексной величины. Признавая, что частота ω будет одинаковой во всей системе, нам не нужно специально писать термин e ^jωt , если мы помним, что он есть.То же самое относится к обозначению Re {•} . Это позволяет нам выразить синусоидальный сигнал просто через его амплитуду и фазу как

x = Aejϕ или A∠ϕ. (6)

Выражение в (6) — это сигнал в (4), выраженный с использованием векторной записи. Обратите внимание, что мы должны знать частоту сигнала, чтобы перейти от векторной записи к представлению во временной области.

Контрольный вопрос

Запишите следующие сигналы в векторной записи:

1. x (t) = 5 cos (wt) В
2. y (t) = 5 sin (wt) ампер
3. z (t) = 5t sin (wt) вольт

Первый сигнал, выраженный в векторных обозначениях, просто равен x = 5 вольт.Чтобы получить обозначение вектора для второго сигнала, мы понимаем, что sin (ωt) = cos (ωt + π / 2), поэтому y = 5e ^{j (π / 2)} . Третий сигнал не является синусоидой и поэтому не может быть выражен с помощью векторной записи.

Серия Фурье

Конечно, многие входы в линейные системы, которые мы хотели бы проанализировать, не являются синусоидальными. В этом случае желательно представить более произвольные формы сигнала в виде суммы синусоидальных частотных составляющих. Затем мы анализируем каждый компонент по отдельности и применяем концепцию суперпозиции для восстановления выходного сигнала.

Периодический сигнал может быть представлен как сумма его частотных компонентов путем вычисления его коэффициентов ряда Фурье. Можно записать периодический сигнал с периодом Т,

x (t) = ∑n = −∞∞cnejn2πf0t (7a)

где

cn = 1T∫t0t0 + Tx (t) e − jn2πf0tdt. (7b)

Если x (t) является сигналом области реального времени, коэффициенты c _n и c _-n являются комплексно сопряженными (т.е.), и мы можем переписать уравнение (7) в форме

x (t) = c0 + ∑n = 1∞ (cnejn2πf0t + cn ∗ e − jn2πf0t) = c0 + ∑n = 1∞ (| cn | ejn2πf0t + ϕn + | cn | e− (jn2πf0t + ϕn)) = c0 + ∑n = 1∞2 | cn | cos (n2πf0t + ϕn).(8)

В этой форме мы видим, что коэффициенты ряда Фурье состоят из постоянной составляющей c ₀ и частот положительных гармоник nω ₀ (n = 1,2,3,…). Это односторонний ряд Фурье, а коэффициенты соответствуют амплитудам частотных гармоник, которые можно было бы измерить с помощью анализатора спектра.

Несколько периодических сигналов и их представления в частотной области показаны на рисунке 5. Представление периодического сигнала в частотной области представляет собой линейчатый спектр.Он может иметь ненулевые значения только при постоянном токе, основной частоте и гармониках основной гармоники. Поскольку периодические сигналы не имеют начала и конца, ненулевые периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но обычно имеют конечную мощность. Полная мощность сигнала во временной области,

Ptotal = 1T∫t0t0 + Tx2 (t) dt. (9)

равно сумме мощностей в каждом компоненте частотной области,

Ptotal = ∑n = −∞∞ | cn | 2. (10)

Рисунок 5. Периодические сигналы во временной и частотной области.

Пример 1: Представление последовательности импульсов в частотной области

Определите представление в частотной области последовательности импульсов, показанной на рисунке 6.

Рисунок 6. Последовательность импульсов.

Во временной области этот сигнал описывается следующей формулой:

x (t) = {1 vnT

Коэффициенты ряда Фурье затем вычисляются с использованием уравнения (7b) как,

cn = 1T∫0Tx (t) e − jn2πf0tdt = 1T∫0τ (A) e − jn2πt / Tdt = AT∫0τe − jn2πt / T dt = AτT [sin (nπτT) (nπτT)] e − j (nπτT) .(E2)

Обратите внимание, что при τ → 0 наш сигнал во временной области выглядит как последовательность импульсов, а амплитуды всех гармоник приближаются к одному и тому же значению. При τ → T / 2 сигнал становится прямоугольной формы, а величина гармоник становится равной

сп = A2 | sin (nπ2) (nπ2) || e − j (nπ2) | = {Anπn = ± 1, ± 3, ± 5 ⋯ 0n = ± 2, ± 4, ± 6 ⋯. (E3)

В этом случае амплитуда четных гармоник равна нулю, а нечетные гармоники линейно убывают с частотой (n).

Преобразование Фурье

Переходные сигналы (т.е. сигналы, которые начинаются и заканчиваются в определенное время) также могут быть представлены в частотной области с помощью преобразования Фурье. Представление преобразованием Фурье переходного сигнала, x (t), задается как

X (е) знак равно ∫ − ∞∞x (t) e − j2πf tdt. (11)

Обратное преобразование Фурье может использоваться для преобразования представления сигнала в частотной области обратно во временную область,

x (t) = 12π∫ − ∞∞X (f) ej2πf tdf. (12)

Некоторые переходные сигналы во временной области и их преобразования Фурье показаны на рисунке 7.

Рисунок 7. Переходные сигналы во временной и частотной области.

Обратите внимание, что переходные сигналы имеют нулевую среднюю мощность (при усреднении за все время), но имеют конечную энергию. Полная энергия в переходном сигнале во временной области определяется как

E = ∫ − ∞∞x2 (t) dt. (13)

Это должно равняться полной энергии в представлении сигнала в частотной области,

E знак равно ∫ − ∞∞ | X (f) | 2 df. (14)

Представление трапециевидного сигнала в частотной области

Давайте рассмотрим представление в частотной области периодического трапецеидального сигнала, показанного на рисунке 8.Изучение поведения этого сигнала помогает нам понять взаимосвязь между представлениями временной и частотной области в целом. Кроме того, сходство между трапецеидальной формой сигнала и формами обычного цифрового сигнала будет полезно при исследовании проблем ЭМС или целостности сигнала в цифровых системах.

Рис. 8. Трапецеидальная форма волны.

Используя односторонний ряд Фурье, уравнения (7b) и (8), мы можем представить этот сигнал как сумму его частотных составляющих [1],

x (t) = c0 + ∑n = 1∞2 | cn | cos (n 2πf0 t + ϕn).(15)

где

2 | cn | = 2AτT | sin (nπτT) (nπτT) || sin (nπtrT) (nπtrT) |. (16)

Уравнение (16) можно вывести, отметив, что трапецеидальная форма волны на рисунке 7 может быть получена путем свертки последовательности импульсов на рисунке 9 с другой серией импульсов, импульсы которой имеют ширину t _r и амплитуду A / t _{. г} . Свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области, поэтому мы можем просто перемножить два представления этих последовательностей импульсов в частотной области, чтобы получить уравнение (16).

Каждый член, 2 | c _n |, — амплитуда n-й гармоники. Если мы предположим, что t _r << T, то заметим, что третий член примерно равен sin (малое число) small number≈1 для нижних гармоник. Если τ = T2 (т.е. 50% рабочий цикл), то числитель второго члена равен 1 для гармоник (n = 1,3,5,…) и 0 для четных гармоник (n = 2,4,6. ,…). В этом случае амплитуда нижних гармоник обратно пропорциональна n (то есть амплитуда нижних гармоник уменьшается пропорционально частоте).На более высоких гармониках третий член также начинает уменьшаться пропорционально частоте, поэтому общая амплитуда верхних гармоник уменьшается в среднем со скоростью, пропорциональной квадрату частоты. Это частотное представление трапециевидного сигнала (τ = T2, tr≪T) и его огибающая показаны на рисунке 9.

Рисунок 9: Представление трапецеидального сигнала в частотной области

Пример 2: Гармоники трапециевидного сигнала

Форма сигнала, показанная на Рисунке 10 ниже, измерена на осциллографе в лаборатории.Время нарастания и спада составляет 0,8 нс.

а.) Какая основная частота?

б.) Рассчитайте амплитуды гармоник на частотах 50, 150, 250 и 1,55 ГГц.

Если время нарастания и спада увеличится до 1,6 наносекунды, то на сколько дБ уменьшатся гармоники на частотах 50, 150, 250 и 550 МГц?

Рис. 10. Трапецеидальная форма волны для Примера 2.

Учитывая, что период составляет 20 нсек, основная частота легко определяется как f0 = 1T = 12 × 10-8 = 50 МГц.Поэтому нас просят определить амплитуды гармоник 1 , 3 , 5 и 11 . Применяя уравнение (16) для n = 1,3,5 и 11, получаем амплитуды этих гармоник,

2 | c1 | = 2 (1 v) 2 | sin (1π (10) 20) (1π (10) 20) || sin (1π (0.8) 20) (1π (0.8) 20) | = (1 v ) (0,64) (1,00) = 0,64 v2 | c3 | = 2 (1 v) 2 | sin (3π (10) 20) (3π (10) 20) || sin (3π (0,8) 20) (3π (0,8 ) 20) | = (1 v) (0,21) (0,98) = 0,21 v2 | c5 | = 2 (1 v) 2 | sin (5π (10) 20) (5π (10) 20) || sin (5π ( 0,8) 20) (5π (0,8) 20) | = (1 v) (0.13) (0,94) = 0,12 v2 | c11 | = 2 (1 v) 2 | sin (11π (10) 20) (11π (10) 20) || sin (11π (0,8) 20) (11π (0,8) 20 ) | = (1 v) (0,06) (0,71) = 0,04 v.

Ни одна из этих гармоник не зависит от времени нарастания. Они имеют практически ту же амплитуду, что и при нулевом времени нарастания. Однако увеличение времени нарастания до 1,6 нс существенно влияет на амплитуду верхних гармоник,

2 | c1 | = 2 (1 v) 2 | sin (1π (10) 20) (1π (10) 20) || sin (1π (1.6) 20) (1π (1.6) 20) | = (1 v ) (0,64) (. 99) = 0,63 v2 | c3 | = 2 (1 v) 2 | sin (3π (10) 20) (3π (10) 20) || sin (3π (1.6) 20) (3π (1,6) 20) | = (1 v) (0,21) (0,91) = 0,19 v2 | c5 | = 2 (1 v) 2 | sin (5π (10) 20) (5π (10) 20) || sin (5π (1,6) 20) (5π (1,6) 20) | = (1 v) (0,13) (0,76) = 0,10 v2 | c11 | = 2 (1 v) 2 | sin (11π (10 ) 20) (11π (10) 20) || sin (11π (1,6) 20) (11π (1,6) 20) | = (1 v) (0,06) (0,13) = 0,008 v.

Удвоение времени нарастания с 0,8 до 1,6 нс уменьшает первую гармонику всего на 20log (0,64,63) = 0,14 дБ. Третья гармоника уменьшается на 20log (0,21,19) = 0,87 дБ. Пятая гармоника уменьшается на 20log (.12.10) = 1,6 дБ, а одиннадцатая гармоника уменьшается на 20log (0.040.008) = 14 дБ.

Обратите внимание, что изменение времени нарастания может существенно повлиять на амплитуду верхних гармоник без значительного изменения представления сигнала во временной области. Проблемы, связанные с излучаемыми электромагнитными помехами или перекрестными помехами на верхних частотах гармоник цифрового сигнала, часто можно решить, увеличив время нарастания сигнала цифрового сигнала. Как правило, время нарастания, равное 10% длины в битах или более, по-прежнему дает очень хороший цифровой сигнал, в то же время значительно ограничивая амплитуду сигнала на частотах выше 10 ^{-й гармоники} .

Взаимосвязь между смещением, скоростью, частотой и ускорением при синусоидальном движении

Нелинейная частота по сравнению с обычной обработкой у пациентов с кохлеарной мертвой зоной и без нее. — Просмотр полного текста

Потенциальные участники будут набраны из аудиологической базы данных Manchester Foundation Trust.Тем, кто соответствует критериям включения, будет отправлено письмо по почте, сопровождаемое информационным листом об участии, чтобы повысить их осведомленность о проекте. Этот критерий включает лиц в возрасте 45 лет и старше с двусторонней нейросенсорной тугоухостью от умеренной до тяжелой степени, которые носят два слуховых аппарата. Они должны сообщать о том, что носить их более 5 часов каждый день, что затем будет подтверждено регистрацией данных их слухового аппарата. Английский должен быть их родным языком из-за материала теста, который будет использоваться.

Пациентам будет предоставлен информационный лист участника с описанием того, что будет происходить на каждом из четырех сеансов, и форма согласия. Этот информационный пакет для участников проинформирует потенциальных участников о том, как они могут указать свой интерес или связаться с исследователями для получения дополнительной информации о том, что влечет за собой исследование. Исследователи попытаются набрать в общей сложности 30 участников, чтобы учесть их выбывание в случае выхода из исследования или исключения из него. Исследователи надеются найти 24 (по 12 в каждой группе) подходящих участников, которые смогут завершить исследование.Исследователи ожидают, что набор будет проводиться в течение одного месяца, а сбор данных — в течение четырех. Возможно, что участники могут быть исключены из исследования после начала тестирования, если будут обнаружены асимметричные DR (присутствующие на частотах <3 кГц только в одном ухе) или возникнут какие-либо отологические симптомы, которые не позволяют участникам носить свои вспомогательные средства более 5 часов в день. Размер выборки был взят на основе прагматических соображений и временных ограничений, поскольку это проект магистратуры.

Участники, предоставившие письменное информированное согласие, посетят встречу для повторной оценки (первая сессия), подходящую встречу (вторая сессия) и последующую встречу (третья сессия).Эти встречи обычно предлагаются всем пациентам, начинающим новый путь слуховых аппаратов. Кроме того, исследователи просят участников посетить еще одну контрольную встречу (четвертая сессия). Каждое занятие длится от одного до полутора часов.

Сессия 1 — Повторная оценка обычно предлагается пациентам каждые три года и включает:

• Краткая история болезни для выявления потенциальных ототоксичных лекарств, любых отологических симптомов и факторов, которые могут повлиять на способность пациента обращаться со слуховыми аппаратами.
• Сбор истории слухового аппарата пациента для определения его использования и понимания образа жизни пациента.
• Отоскопия (когда врач осматривает уши) и тимпанометрия (когда врач оценивает барабанные перепонки).
• Аудиограмма в чистом тоне (PTA) для определения порога слышимости пациента.
• При необходимости будут сняты слепки ушей для изготовления новых вкладышей.

Кроме того, в первом сеансе будет проведен тест TEN для оценки DR.Процедура TEN-теста аналогична стандартной PTA, но включает ипсилатеральную маскировку. Это предотвращает обнаружение сигнальных тонов в других областях улитки, окружающих DR. Предотвращая прослушивание вне частоты / места, можно обнаружить DR. На основании результатов теста TEN участники будут разделены на две группы; пациенты со значительными двусторонними кохлеарными DRs <3 кГц (группа DR) и те, у которых отсутствуют кохлеарные DR или DR> 4 кГц (группа без DR). Те, у кого односторонний DR <3 кГц, будут исключены.

Сессия два — Во время второй сессии все участники будут ознакомлены с тестовыми материалами, которые будут использоваться на третьей и четвертой сессиях. Адаптивные англоязычные предложения Bamford Kowal Bench (BKB), список слов Артура Бутройда (AB) и оценка слуховых звуков речи (ASSE) — все это стандартные речевые тесты, легко доступные в нашем отделении аудиологии. Это будут речевые тесты, используемые для измерения производительности с NLFC и CP. Все испытания будут проходить в звукоизолированной кабине.Ни одна из этих интенсивностей не должна быть слишком громкой для участников, поскольку они стремятся воспроизвести нормальные уровни разговора. После любых жалоб на дискомфорт, связанный с громкостью, уровень звукового давления в дБ будет снижен, и это будет записано. В качестве вопросника будет использоваться SSQ12, утвержденная сокращенная версия вопросника по шкале речи, пространственности и качеств слуха (SSQ), в котором участникам задается вопрос об их опыте слушания в различных ситуациях. SSQ12 будет показан участникам второго сеанса, чтобы они знали о ситуациях, которые им следует отслеживать, надевая слуховые аппараты.

предложения BKB будут воспроизведены в присутствии шума, представленного на уровне 55 A-взвешенных децибел (дБА), а уровень речи адаптируется в зависимости от того, правильно ли участник повторяет предложение или нет. Если два или более ключевых слова повторяются правильно, ответ считается правильным. После двух правильных ответов интенсивность речи снизится. После одного неправильного ответа интенсивность сигнала будет увеличиваться. Участникам будет выставлена ​​оценка в дБ, соответствующая уровню интенсивности, при котором 71% предложений правильно определены.Речевой сигнал всегда будет подаваться спереди (азимут 0 °). Шумовой сигнал будет представлен спереди, слева (азимут -90 °) и справа (азимут 90 °). Для шума, представленного при 0 °, + 90 ° и -90 °, будет составлен список из одного предложения, и будет рассчитана средняя общая оценка в дБ.

Список слов AB будет выполняться при отсутствии фонового шума. Слова будут воспроизводиться через громкоговоритель при уровне звукового давления 65 децибел (дБ SPL). Тестовый материал состоит из десяти слов в списке, каждое слово состоит из трех фонем.За каждую правильную фонему начисляется балл (0,1,2,3) и рассчитывается средний балл из трех списков.

Дополнительно участники выполнят задание распознавания фонем, ASSE на уровне 70 дБ SPL. Их попросят различать различные пары фонем с помощью процедуры «одинаковые / разные». После трех-восьми представлений одного речевого звука будет воспроизводиться другой речевой звук, например V-Z. Если участники правильно ответят на две из трех презентаций, можно сделать вывод, что контраст между фоновой фонемой и нечетным звуком речи хорошо различен, и это будет отмечено как правильное.Будет использовано семь пар, и участникам будет выставлен процентный балл, основанный на том, сколько из них они смогут успешно различать.

Кроме того, во время второй сессии участники будут оснащены двусторонними слуховыми аппаратами Phonak Auto. Они будут запрограммированы в соответствии с целевыми показателями рецепта NAL-NL2 в соответствии с протоколом департамента и рекомендованными процедурами Британского общества аудиологов (BSA), которые включают проведение измерений в реальном ухе (REM). NLFC будет запрограммирован во всех слуховых аппаратах участников, но будет отключен у половины участников из каждой группы случайным образом.Он будет сгенерирован для каждой группы отдельно, так как в «группе DR» будет 12 участников, а в «группе без DR» — 12. Используя формулу Excel, участники каждой группы будут размещены в случайном порядке в списке. Первые шесть участников, перечисленных в каждой группе, первыми испытают NLFC. Остальные шесть участников, перечисленных в каждой группе, сначала испытают CP. Участники не будут знать, как запрограммированы их вспомогательные средства. NLFC в группе «без DR» будет проверяться в соответствии с рекомендованными процедурами BSA.NLFC в «группе DR» будет установлен в зависимости от того, где начинается их мертвая зона. Будет установлено значение 0,75 от их индивидуальной фронтовой частоты (0,75Fe). Любая тонкая настройка слуховых аппаратов, запрошенная участниками, будет разрешена в течение 7 дней после настройки.

Третья сессия — Примерно через шесть недель после первой примерки состоится третья сессия. Это будет состоять из участников тестирования со слуховыми аппаратами, настроенными на их первое состояние, с использованием адаптивного теста предложений BKB, списка слов AB и ASSE, как описано выше.Участники также заполнят SSQ12 в формате собеседования. После этого настройки слухового аппарата участника будут переключены на противоположное состояние, то есть, если NLFC был активирован во втором сеансе, он будет отключен в третьем сеансе и наоборот. Любая тонкая настройка слуховых аппаратов, запрошенная участниками, будет разрешена в течение 7 дней после настройки.

Четвертая сессия — Примерно через шесть недель состоится четвертая сессия. Это будет включать тестирование участников со слуховыми аппаратами, настроенными на второе состояние, с использованием того же тестового материала и заполнением той же анкеты, что и на третьем занятии.Затем участникам будет предложено выбрать, какую настройку они хотели бы иметь навсегда, или они могут решить оставить обе настройки, запрограммированные в слуховых аппаратах, и принять решение позже.

Уравнение звука, созданное Роном Куртусом из струны

SfC На главную> Физика> Волновое движение> Звуковые волны>

Рон Куртус

Если натянуть струну или проволоку между двумя столбами и потянуть за нее, они будут вибрировать и воспроизводить звук или музыкальную ноту.Вибрация струны создает основную частоту, узлы которой находятся в конечных точках. Также возможны гармоники с узлами в правильных позициях по длине струны.

Существует общее уравнение или формула, которая вычисляет основную частоту в соответствии с натяжением, длиной и массой струны. Изменение различных параметров приводит к изменению частоты вибрации и, следовательно, звука. Вы также можете изменить уравнение, чтобы найти параметры.

Вопросы, которые могут у вас возникнуть:

• Что такое уравнение частоты струны?
• Как изменить параметры?
• Какие уравнения для решения различных параметров?

Этот урок ответит на эти вопросы. Полезный инструмент: Преобразование единиц

Уравнение частоты струны

Уравнение основной частоты идеальной натянутой струны:

f = (1 / 2L) * √ (T / μ)

где

• f — частота в герцах (Гц) или циклах в секунду
• T — натяжение струны в г · см / с²
• L — длина веревки в сантиметрах (см)
• μ — линейная плотность или масса на единицу длины струны в г / см
• √ (T / μ) — квадратный корень из T , деленный на μ в секундах

Примечание : Обычно натяжение выражается в ньютонах, длина — в метрах, а линейная плотность — в кг / м, но эти единицы неудобны для расчетов со строками.Таким образом, используются меньшие единицы.

Линейная плотность

Линейная плотность — это масса на единицу длины: мкм = м / л , где м — масса струны или проволоки в граммах.

Причина, по которой μ используется вместо м / л , заключается в том, что когда вы используете уравнение для определения частоты для струны другой длины, вы также должны отрегулировать массу, чтобы она соответствовала другой длине. Ситуация, когда вы изменяете длину, но сохраняете постоянную массу, используется редко.

Идеальная строка

Уравнение фактически является приближением идеальной одномерной струны. Такие факторы, как эластичность, характеристики материала и диаметр струны или проволоки, во внимание не принимаются.

( См. Уравнение для звука, созданного из провода для получения дополнительной информации по этому вопросу. )

Уравнение хорошо выполняется, если амплитуда струны мала. Уравнение разваливается, если струны натягиваются слишком сильно.

Музыка

Если параметры струны или проволоки — длина, натяжение и масса — находятся на определенных значениях, звук, издаваемый при перещипывании струны, будет музыкальной нотой, приятной для слуха. Но если они немного отличаются, звук может быть не музыкальным, а просто звуковым.

Обратите внимание, что то, что нравится одной культуре или национальности, не может считаться музыкальным в другой культуре.

Примеры изменения параметров

Если частота для данной струны — и результирующий звук — является определенным значением, и вы изменяете один параметр струны, но сохраняете все остальное неизменным, частота изменится соответствующим образом.

Удвоение напряжения

Если вы удвоите натяжение, частота увеличится в 1,414 раза по сравнению с исходной частотой, при условии, что все остальные параметры останутся прежними. Рассмотрим частоту для данной конфигурации:

f ₁ = (1 / 2L) * √ (T / μ)

Если T удвоить, то новая частота f ₂ будет:

f ₂ = (1 / 2L) * √ (2T / μ)

Вы можете извлечь квадратный корень из 2 и получить:

f ₂ = 1.414 * (1 / 2L) * √ (T / μ) = 1,414 f ₁

Таким образом, если частота струны составляет 500 Гц для данной конфигурации, и вы удваиваете натяжение струны, частота возрастает до 707 Гц.

f ₂ = 1,414 f ₁ = 1,414 * 500 Гц = 707 Гц

Укорочение длины

Если вы сократите длину струны на 1/2, сохраняя при этом все остальные параметры постоянными, частота также вырастет в 2 раза по сравнению с исходной частотой.

f ₁ = (1 / 2L) * √ (T / μ)

Заменить L на L / 2 :

f ₂ = (2 / 2L]) * √ (T / μ)

f ₂ = 2 f ₁

Опять же, если f ₁ = 400 Гц, то f ₂ = 800 Гц.

Примечание: Поскольку уменьшение длины на 1/2 также уменьшает массу на 1/2, μ остается постоянным.

Уменьшить массу

Если вы измените материал струны, уменьшив ее массу на 1/2, но сохранив ту же длину, новая частота будет в 1,414 раза больше исходной частоты.

Заменить μ = m / L in f ₁ = (1 / 2L) * √ (T / μ) :

f ₁ = (1 / 2L) * √ (TL / м)

Сохраняя другие параметры постоянными, заменить м на ½ м :

f ₂ = (1/2 л) * √ (TL / ½ м)

f ₂ = (1 / 2L) * √ (2TL / м)

f ₂ = 1.414 f ₁

Решение для других параметров

Вы можете найти другие параметры, возведя в квадрат каждую часть уравнения или умножив каждый элемент на себя и переставив их. Возведение квадратного корня в квадрат избавляет от знака квадратного корня и просто оставляет число или переменную.

Возводя в квадрат обе части уравнения f = (1 / 2L) * √ (T / μ) , получаем:

f² = (T / μ) / 4L² или

f² = T / 4 мкл²

Найти напряжение

Таким образом, если вы знаете частоту звука, массу и длину струны, вы можете найти натяжение струны :

T = 4 мкл²f²

Найдите длину

Если вы знаете натяжение и массу струны, а также частоту звука, вы можете найти длины струны:

L² = T / 4 мкФ²

L = (1 / 2f) * √ (T / μ)

Найти массу

Если вы знаете натяжение, длину струны и частоту звука, вы можете найти массы струны:

м = T / 4Lf²

Сводка

Натянутая струна или проволока будут вибрировать и создавать звук или музыкальную ноту при ощупывании.Вибрация будет основной частотой в зависимости от натяжения, длины и массы струны. Существует общее уравнение для вычисления частоты. Изменение параметров приводит к изменению частоты вибрации и, следовательно, звука.

Создавайте собственную музыку

Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

Сайтов

Вибрирующая струна — Гиперфизика

Вибрация натянутой струны — TutorVista.com

Вибрирующая струна — Википедия

Физические ресурсы

Книги

(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные от покупки книг)

Книги о звуковых волнах с самым высоким рейтингом

Поделиться страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:

Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/science/
sound_from_string_equation.htm

Пожалуйста, включите его в качестве ссылки на свой веб-сайт или в качестве ссылки в своем отчете, документе или диссертации.

Авторские права © Ограничения

Где ты сейчас?

Школа чемпионов

Физические темы

Уравнение звука, созданного из строки

Составьте диаграмму частот и определите частоту

Описательная статистика> Создание диаграммы частот

Составьте диаграмму частот: обзор

Если вас просят определить частоту в статистике, это не означает, что вы должны просто подсчитать, сколько раз что-то происходит.Обычно это связано с тем, что вам нужно создать частотную диаграмму, чтобы отобразить список частот.

Таблица частот.

• Частота — это количество раз, когда значение данных встречается. Например, если у четырех человек IQ от 118 до 125, то IQ от 118 до 125 имеет частоту 4. Частота часто обозначается буквой f.
• Частотная диаграмма состоит из расположения значений данных в порядке возрастания их частот.

Составьте диаграмму частот: шаги

Шаг 1: Нарисуйте диаграмму для данных . В этом примере вам дан список из двадцати групп крови для пациентов, нуждающихся в неотложной хирургии:

• A, O, A, B, B, AB, B, B, O, A, O, O, O, AB, B, AB, AB, A, O, A.

Напишите «частота (#)» и «процент (%)» в верхней строке. Напишите свой список предметов в первом столбце. В этом примере у нас есть четыре разных группы крови: A, B, AB и O.

Шаг 2: Подсчитайте, сколько раз каждый элемент встречается в ваших данных.
В этом примере:

• A встречается 5 раз.
• B появляется 5 раз.
• O появляется 6 раз.
• AB появляется 4 раза.

Запишите их в столбец «номер» (#). Это ваша частота .

Шаг 3: Используйте формулу% = (f / n) × 100, чтобы заполнить следующий столбец. В этом примере:

• n = общее количество элементов в ваших данных = 20.
• f = частота (количество раз, когда элемент появляется).

«А» встречается
5 раз. Итак, имеем:

(5/20) × 100 = 25%

Заполните оставшуюся часть столбца частот, изменяя «f» для каждой группы крови.

Вот и все!

Загляните на наш канал YouTube для элементарной статистики!

Список литературы

Бейер, В. Х. Стандартные математические таблицы CRC, 31-е изд. Бока Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 536 и 571, 2002.
Агрести А. (1990) Анализ категориальных данных.Джон Вили и сыновья, Нью-Йорк.
Everitt, B.S .; Скрондал А. (2010), Кембриджский статистический словарь, Cambridge University Press.
Линдстром, Д. (2010). Краткое изложение статистики Шаума, второе издание (Schaum’s Easy Outlines), 2-е издание.