Как найти количество оборотов формула: Число оборотов формула физика

Формула угловой скорости в физике

Содержание:

Определение и формула угловой скорости

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота $(\varphi)$ . Часто используют вектор элементарного поворота $\bar{d\varphi}$ , который равен по величине элементарному углу поворота тела $(d \varphi)$ за маленький отрезок времени dt и направлен по мгновенной оси вращения в сторону, откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами. Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью

Угловая скорость — векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($\bar{\omega}$ при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

где $(\varphi)$ – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ($\Delta \varphi=2 \pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

С числом оборотов в единицу времени ($\nu) угловая скорость связана формулой:

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.

Формула, связывающая линейную и угловую скорости

Линейная скорость $\bar{v}$ точки А (рис.1), которая расположена на расстоянии R от оси вращения связана с вектором угловой скорости следующим векторным произведением:

где $\bar{R}$ – перпендикулярная к оси вращения компонента радиус-вектора точки $A (\bar{r})$ (рис.{3} \approx 20(\mathrm{rad})$$

Ответ. $\varphi = 20$ рад.

Читать дальше: Формула удельного веса.

Основные определения и формулы

Скорость резания V (м/мин) – это окружная скорость перемещения режущих кромок фрезы. Эта величина определяет эффективность обработки и лежит в рекомендованных для каждого инструментального материала пределах. За один оборот фрезы точка режущей кромки, находящаяся на окружности фрезы диаметра D (мм), сможет пройти путь, равный длине окружности, то есть πD. Для того чтобы определить длину пути, пройденного точкой за одну минуту, нужно умножить длину пути за один оборот на частоту вращения фрезы, то есть πDN (мм/мин). Таким образом, формула для определения скорости резания будет следующей:

V = πDN/1000 (мм/мин).

Частота вращения шпинделя N (об/мин) равняется числу оборотов фрезы в минуту. Вычисляется в соответствии с рекомендованной для данного типа обработки скоростью резания:

N = 1000V/nD (об/мин).

При фрезеровании различают минутную подачу, подачу на зуб и подачу наоборот фрезы.

Подача на зуб Fz (мм/зуб) – величина перемещения фрезы или рабочего стола с заготовкой за время поворота фрезы на один зуб.

Подача на оборот Fo (мм/об) – величина перемещения фрезы или рабочего стола с заготовкой за один оборот фрезы. Подача на оборот равняется произведению подачи на зуб на число зубьев фрезы Z:

Fo = FzZ (мм/об).

Минутной подачей Fm (мм/мин) называется величина относительного перемещения фрезы или рабочего стола с заготовкой за одну минуту. Минутная подача равняется произведению подачи на оборот на частоту вращения фрезы:

Fm = FoN = FzZN (мм/мин).

Глубиной фрезерования h (мм) называется расстояние между обработанной и необработанной поверхностями, измеряемое вдоль оси фрезы.

Шириной фрезерования b (мм) называется величина срезаемого припуска, измеренная в радиальном направлении, или ширина контакта заготовки и инструмента.

Производительность снятия материала Q (см³) – это объем удаляемого материала в единицу времени, определяемый глубиной, шириной обработки и величиной подачи.

Q = (h × b × Fm)/1000.

Число оборотов в минуту —

На четвертом шпинделе обычно производится отрезание детали. Упомянутое специальное резьбонарезное устройство позволяет дать метчику вращение в том же направлении, в каком вращается и деталь, но с большим числом оборотов в минуту, чем у детали, что позволяет  [c.364]

Частицы воды входят в турбину со скоростью и. Угол между скоростью и и касательной к ротору, проведенной в точке входа частицы, равен а. Внешний диаметр ротора D, его число оборотов в минуту п.  [c.158]

Найти число оборотов в минуту шестерни с числом зубцов 2з = 25, если кривошип ОА вращается вокруг оси О неподвижной шестерни (с числом зубцов zo = 60) с угловой скоростью, соответствующей по = 30 об/мии, и несет на себе ось двойной шестерни с числами зубцов Zi = 40, Z-2 = 50.  

Ведущий вал I редуктора делает П = 1200 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала II, если неподвижное зубчатое колесо с внутренним зацеплением имеет г = 180 зубцов бегающие шестеренки, спаренные между собой, имеют га—60  [c.178]

Г2 = 20 см и Га = 30 см, спаренных между собой, и шестеренки с внутренним зацеплением радиуса Г4 = 90 см, сидящей на ведомом валу. Ведущий вал и кривошип, несущий оси бегающих шестеренок, делают щ = 1800 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала.  [c.178]

Число оборотов в минуту, max  

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через лоб/мин. Найдем зависимость между п об/мин и [c.122]

Вращение шпинделя осуществляется от двухскоростного электродвигателя 18 (число оборотов в минуту 720 или 1430) через коробку скоростей с зубчатыми колесами I—13 и две клиноременные передачи 14—15 и 16—17. Коробка скоростей позволяет получить шесть скоростей шпинделя при прямом, а также при обратном вращении электродвигателя. Настройка этой цепи осуществляется двумя переставными блоками зубчатых колес коробки передач блоком с колесами 5 и блоком с колесами 7, 9, 11. При зацеплении колес 3—4 или 5—6 вал с неподвижно закрепленными колесами 6, 8, 10 может вращаться с двумя скоростями. При зацеплении зубчатых колес 6—7, или 8—9, или 10—11 зубчатые колеса 12—13 и шкив 14 получают шесть скоростей вращения.  

Определить число оборотов в минуту ведомого вала, если числа зубцов колес 1, 2, 3, 4 соответственно равны 2 = 20 z. = 40 Z3 = 30 24 = 60.  [c.186]

Найдем соотнощение между угловой скоростью ш, выраженной в радианах в секунду, и числом оборотов в минуту. Если тело делает п оборотов в минуту, то оно поворачивается за каждую минуту на 2лп радианов, а за секунду—в 60 раз меньше, следовательно,  

Задача № 160 (№ 29.18,722 М). Посредством ремня (рис. 216) передается мощность 20 л. с. Радиус ременного шкива 50 см, число оборотов в минуту 150.  [c.378]

При проверке на виброустойчивость против поперечных и крутильных колебаний определяют собственную частоту колебаний (критическое число оборотов в минуту) и сравнивают ее с частотой возмущающих сил (фактическим числом оборотов в минуту) для оценки опасности появления резонанса 12 4].  [c.371]

В технике угловая скорость — это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За 1 мин тело повернется на угол 2лп, если и — число оборотов в минуту. Разделив этот угол на число секунд в минуте, получим  [c.127]

Угловая скорость тела в данный момент характеризует скорость изменения во времени угла поворота и равна первой производной по времени от угла поворота. 2. В технике угловую скорость часто задают числом оборотов в минуту. 3. При сложении двух мгновенных вращений твёрдого тела вокруг параллельных осей в одном направлении получается результирующее мгновенное вращение вокруг оси, параллельной данным осям, с угловой скоростью, равной арифметической сумме составляющих угловых скоростей.  [c.91]

В технике угловую скорость равномерного вращения обычно характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают эту величину через  [c.295]

Построить кривую, абсциссами которой являются числа оборотов в минуту, а ординатами — необходимые диаметры сплошного стального вала, передающего 50 л. с. при допускаемом касательном напряжении 600 кг[см. Число оборотов менять в пределах 16— 16 ООО об/мин.  [c.90]

Чугунный стержень АВ длиной /=1,8 м, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси 00 см. рисунок). Определить для этого стержня предельное число оборотов в минуту, если in  [c.299]

При каком числе оборотов в минуту произойдет разрушение  [c.300]

П — число оборотов в минуту возмущающей силы (неуравновешенной массы двигателя)  [c.55]

Определить числа оборотов в минуту водила Н и сателлита , если вал Oi вращается со скоростью, равной л, = 120 об1мин,  [c.74]

Расстояние между центрами станка 445 мм скорость рабочего хода 22 м/мин, обратного 28 м1мин, диапазон бесступенчатых подач 0,03— —0,15 мм дв. ход номинальная тяговая сила станков 3000 кГ (29 430 н) мощность электродвигателя главного привода 14 кет, число оборотов в минуту 1000.  [c.345]

Число оборотов в минуту наиболее распространенных усталостных машин обычно порядка 3000 (50 Гц). Поэтому испытание на усталость с целью получения предела выносливости требует продолжительного времени, исчисляемого неделями непрерывной работы машины. За последнее время во многих случаях при Ршс1 исследовании выносливости материалов и конструктив-ных деталей применяют более быстроходные машины — 100—500 Гц, а в некоторых случаях и 20 ООО Гц (ультразвуковые частоты).  [c.595]

При отсчете угла поворота в радианах и измерении времени в секундах угловая скорость измеряется в сел . В технике угловую скорость часто определяют числом оборотов в минуту (п об1мин). Связь между этими единицами измерения дается формулой  [c.272]

Задача 1206. В регуляторе, изображенном па рис. 625, грузы А ц В имеют массы по 1 кг каждый, масса муфты 3 кг, длины стержней 10 ем. Определить число оборотов в минуту, которое совершает регулятор, если муфта С поднялась при этом на расстояние s==2 см, а при отсутствии вращения угол а равен нулю. Размерами грузов и муфты, а также трением преггебречь.  [c.425]

В технике часто в.место угловой скорости, при равномерном вращении тела (т. е. при ы = onst), пользуются понятием числа оборотов в минуту п (об/мин). Зависимость между угловой скоростью и число.м оборотов в минуту п определяется по формуле  [c.111]

Исследования показывают, что число оборотов в минуту (я = ЗОмо/я), необходимое для обеспечения гироскопического эффекта, должно быть больше величины ял JJy , где Jх — соответственно экваториальный  [c.74]

Сколько оборотов ставить в стиральной машине? Советы по использованию стиральной машины Атлант

На рынке стиральных машин существует огромная разновидность моделей с разной мощностью. В процессе стирки с помощью техники, одежда получается гораздо более сухой, чем при ручной. В процессе усовершенствования стиральных машин, производители применяют различные технологии, чтобы по окончанию одежда практически не требовала сушки, на что и влияют обороты. Максимальное значение, поддерживаемое агрегатом, напрямую связано со стоимостью. Большинство потребителей, регулярно стирающие вещи, не нуждаются в моделях с высокой мощностью и изредка устанавливают значение более 500-600.

Существует классификация моделей по классу отжима:

●        Категория А.
Максимальная остаточная влажность – 45%.

●        Категория В.
Не более 54%.

●        Категория С.
Максимум – 63%.

●        Категория D.
До 72%.

Общее число классов – 7, однако встретить в продаже модели ниже класс D в наше время – настоящая редкость. Их приобретение считается нерациональным, модели не способны обеспечить качественную очистку белья от пятен и загрязнений. 

Самые распространённые модели: А, В, С. В процессе выбора не обязательно отдавать предпочтение именно первому классу, так как сложно определить разницу в качестве очистки и изнашиваемости техники. Единственное принципиальное отличие – время, необходимое для последующей сушки белья.

Как правильно определить количество оборотов в минуту для стирки?

В современных моделях выбор условий стирки возложен на самого потребителя, что обусловлено разным составом вещей. Увеличение или уменьшение показателя осуществляется вручную пользователем с помощью соответствующих регуляторов на панели агрегата. Материалы, используемые для одежды, имеют максимально допустимое количество оборотов, превышение которого неблагоприятно сказывается на качестве вещей. Хлопок или смесовые материалы спокойно переносят до 1000, а деликатные ткани склонны терять первоначальные качества при отметке от 400.

Для сохранения качества необходимо учитывать следующие рекомендации по оптимальному количеству оборотов:

●        400-600.
Сопоставимо с ручной, немного превосходит по силе и качеству, «щадящая».
Тонкая шерсть, полиэстер, шёлк, хлопчатобумажная ткань.

●        800-900.
Интенсивная, качественно удаляет загрязнения из деликатных материалов, наиболее часто используется.
Синтетика.

●        1000.
Сильно интенсивный механизм, отлично справляется с очисткой плотных тканей и тяжёлых загрязнений.
Джинсы, смесовые ткани.

●        Выше 1000.
Очень интенсивный процесс, выводит самые тяжёлые загрязнения. Не требуется каждому пользователю, в повседневной жизни используется редко.
Полотенца, изделия из махровых материалов, лён, хлопок или цветное бельё, которое не нуждается в особом уходе.

Количество оборотов при отжиме также указывается в названии модели.

Последствия неправильного установления условий внутри барабана.

Слишком большое количество оборотов приводит к дефициту воды, вымыванию солей и других важных элементов состава. Слишком малое – к некачественной стирке: частичному удалению загрязнений, излишку воды, в некоторых случаях – бесполезно потраченному времени, энергии и деньгам.

Отжим на стиральной машине.

Сам процесс предельно прост и понятен: в барабан попадает жидкость, одежда становится мокрой, и, в ходе стирки, благодаря вращению и центробежной силе, вода выходит из одежды к внутренним стенкам и удаляется через них.

Необходимо учитывать специфику и характеристики тканей, так как повышение центробежной силы может сыграть злую шутку с тонкими тканями, неспособными переносить высокие нагрузки.

Скорость отжима влияет на сухость белья по окончанию стирки. При выборе модели именно эта характеристика рассматривается, как решающая и определяющая выбор покупателя и мощность оборудования.

Весь процесс стирки количество оборотов не остаётся постоянным: основная часть процедуры проходит при средней интенсивности, а наибольшая мощность используется в конце.

Отжим оказывает влияние не только на одежду, но и на саму технику: неправильно установленное значение может вывести из строя составные части или весь агрегат целиком в долгосрочном периоде.

Отжим на стиральной машине Атлант – результат слаженной работы производителей и разработчиков. Не каждый изготовитель может похвастаться настолько высокими показателями и сочетанием мощности и качества.

Специалисты рекомендуют подбирать модель, учитывая личные особенности, качественный и количественный состав вещей, нуждающихся в регулярной стирке.

Зная количество оборотов в секунду. Расчет оборачиваемости оборотных средств, определение, формулы

>>Физика: Период и частота обращения

Равномерное движение по окружности характеризуют периодом и частотой обращения.

Период обращения — это время, за которое совершается один оборот.

Если, например, за время t = 4 с тело, двигаясь по окружности, совершило n = 2 оборота, то легко сообразить, что один оборот длился 2 с. Это и есть период обращения. Обозначается он буквой Т и определяется по формуле:

Итак, чтобы найти период обращения, надо время, за которое совершено п оборотов, разделить на число оборотов .

Другой характеристикой равномерного движения по окружности является частота обращения.

Частота обращения — это число оборотов, совершаемых за 1 с. Если, например, за время t = 2 с тело совершило n = 10 оборотов, то легко сообразить, что за 1 с оно успевало совершить 5 оборотов. Это число и выражает частоту обращения. Обозначается она греческой буквой V (читается: ню) и определяется по формуле:

Итак, чтобы найти частоту обращения, надо число оборотов разделить на время, в течение которого они произошли.

За единицу частоты обращения в СИ принимают частоту обращения, при которой за каждую секунду тело совершает один оборот. Эта единица обозначается так: 1/с или с -1 (читается: секунда в минус первой степени). Раньше эту единицу называли «оборот в секунду», но теперь это название считается устаревшим.

Сравнивая формулы (6.1) и (6.2), можно заметить, что период и частота — величины взаимно обратные. Поэтому

Формулы (6.1) и (6.3) позволяют найти период обращения Т, если известны число n и время оборотов t или частота обращения V . Однако его можно найти и в том случае, когда ни одна из этих величин неизвестна. Вместо них достаточно знать скорость тела V и радиус окружности r, по которой оно движется.

Для вывода новой формулы вспомним, что период обращения — это время, за которое тело совершает один оборот, т. е. проходит путь, равный длине окружности (l окр = 2 П r, где П ≈3,14- число «пи», известное из курса математики). Но мы знаем, что при равномерном движении время находится делением пройденного пути на скорость движения. Таким образом,

Итак, чтобы найти период обращения тела, надо длину окружности, по которой оно движется, разделить на скорость его движения.

??? 1. Что такое период обращения? 2. Как можно найти период обращения, зная время и число оборотов? 3. Что такое частота обращения ? 4. Как обозначается единица частоты? 5. Как можно найти частоту обращения, зная время и число оборотов? 6. Как связаны между собой период и частота обращения? 7. Как можно найти период обращения, зная радиус окружности и скорость движения тела?

Отослано читателями из интернет-сайтов

Сборник конспектов уроков по физике, рефераты на тему из школьной программы. Календарно тематическое планирование. физика 8 класс онлайн, книги и учебники по физике. Школьнику подготовиться к уроку.

Оборо́т в мину́ту (обозначение об/мин , 1/мин , мин −1 , также часто используется английское обозначение rpm ) — единица измерения частоты вращения : количество полных оборотов , совершенных вокруг фиксированной оси . Используется для измерения скорости вращения механических компонентов.

Также используется единица оборот в секунду (символ об/с или с −1 ). Обороты в минуту конвертируются в обороты в секунду делением на 60. Обратное преобразование: обороты в секунду умножаются на 60 для перевода в обороты в минуту.

1 об/мин = 1/мин = 1/(60с) = 1/60 об/с ≈ 0,01667 об/с

Ещё одна физическая величина связана с данным понятием: угловая скорость ; в системе СИ она измеряется в радианах в секунду (рад·с −1 ):

1 об/мин = 2π рад·мин −1 = 2π/60 рад·с −1 = 0,1047 рад·с −1 ≈ 1/10 рад·с −1

Энциклопедичный YouTube

Субтитры

Примеры

• На граммофонных пластинках скорость вращения задается в об/мин: например, стандартные скорости вращения 16 + 2 ⁄ 3 , 33 + 1 ⁄ 3 , 45 или 78 об/мин ( 5 ⁄ 18 , 5 ⁄ 9 , 3 ⁄ 4 , или 1,3 об/с соответственно).
• Новые ультразвуковые бор-машины имеют скорость вращения до 800 000 об/мин (13 300 об/с).
• Секундная стрелка часов вращается с частотой 1 об/мин.
• Проигрыватели звуковых компакт-дисков производят чтение со скоростью 150 кБ/с и, следовательно, при скорости вращения диска у внутреннего края примерно 500 об / мин (8 об/с) и 200 об / мин (3,5 об/с) на внешней границе. Приводы компакт дисков имеют скорость вращения, кратную этим цифрам, даже если используется переменная скорость чтения.
• DVD -проигрыватели также обычно читают диски с постоянной линейной скоростью. Скорость вращения изменяется от 1 530 об/мин (25,5 об/с), при чтении у внутреннего края, и 630 об/мин (10,5 об/с) на внешней стороне диска. DVD-приводы также работают на скорости, кратной вышеназванным цифрам.
• Барабан стиральной машины может вращаться со скоростью от 500 до 2000 об/мин (8-33 об/с) во время отжима.
• Турбина генератора вращается со скоростью 3000 об/мин (50 об/с) или 3600 об/мин (60 об/с), в зависимости от страны (см. Переменный ток#Стандарты частоты). Вал генератора гидроэлектростанции может вращается медленнее: до 2 об/с (при этом частота сети 50 Гц получается за счет наличия большего количества полюсов катушек статора).
• Автомобильный двигатель обычно в среднем работает на скорости 2500 об/мин (41 об/с), обороты холостого хода обычно около 1000 об/мин (16 об/с), а максимальные обороты 6000-10 000 об/мин (100-166 об/с).
• Воздушный винт самолета обычно вращается со скоростью между 2000 и 3000 об/мин (30-50 об/с).
• Компьютерный жесткий диск с интерфейсами ATA или SATA обычно вращается со скоростью 5400 или 7200 об/мин (90 или 120 об/с), за редким исключением 10 000 об/мин, а серверные жесткие диски диски с интерфейсами SCSI и SAS обычно используют скорость 10 000 или 15 000 об/мин (160 или 250 об/с).
• Двигатель болида формулы один может развить 18 000 об/мин (300 об/с) (по регламенту сезона 2009)
• Центрифуга по обогащению урана вращается со скоростью 90 000 об/мин (1500 об/с) или быстрее.

При проектировании оборудования необходимо знать число оборотов электродвигателя. Для расчёта частоты вращения есть специальные формулы, различные для двигателей переменного и постоянного напряжения.

Синхронные и асинхронные электромашины

Двигатели переменного напряжения есть трёх типов: синхронные, угловая скорость ротора которых совпадает с угловой частотой магнитного поля статора; асинхронные – в них вращение ротора отстаёт от вращения поля; коллекторные, конструкция и принцип действия которых аналогичны двигателям постоянного напряжения.

Синхронная скорость

Скорость вращения электромашины переменного тока зависит от угловой частоты магнитного поля статора. Эта скорость называется синхронной. В синхронных двигателях вал вращается с той же быстротой, что является преимуществом этих электромашин.

Для этого в роторе машин большой мощности есть обмотка, на которую подаётся постоянное напряжение, создающее магнитное поле. В устройствах малой мощности в ротор вставлены постоянные магниты, или есть явно выраженные полюса.

Скольжение

В асинхронных машинах число оборотов вала меньше синхронной угловой частоты. Эта разница называется скольжение “S”. Благодаря скольжению в роторе наводится электрический ток, и вал вращается. Чем больше S, тем выше вращающий момент и меньше скорость. Однако при превышении скольжения выше определённой величины электродвигатель останавливается, начинает перегреваться и может выйти из строя. Частота вращения таких устройств рассчитывается по формуле на рисунке ниже, где:

• n – число оборотов в минуту,
• f – частота сети,
• p – число пар полюсов,
• s – скольжение.

Такие устройства есть двух типов:

• С короткозамкнутым ротором. Обмотка в нём отливается из алюминия в процессе изготовления;
• С фазным ротором. Обмотки выполнены из провода и подключаются к дополнительным сопротивлениям.

Регулировка частоты вращения

В процессе работы появляется необходимость регулировки числа оборотов электрических машин. Она осуществляется тремя способами:

• Увеличение добавочного сопротивления в цепи ротора электродвигателей с фазным ротором. При необходимости сильно понизить обороты допускается подключение не трёх, а двух сопротивлений;
• Подключение дополнительных сопротивлений в цепи статора. Применяется для запуска электрических машин большой мощности и для регулировки скорости маленьких электродвигателей. Например, число оборотов настольного вентилятора можно уменьшить, включив последовательно с ним лампу накаливания или конденсатор. Такой же результат даёт уменьшение питающего напряжения;
• Изменение частоты сети. Подходит для синхронных и асинхронных двигателей.

Внимание! Скорость вращения коллекторных электродвигателей, работающих от сети переменного тока, не зависит от частоты сети.

Двигатели постоянного тока

Кроме машин переменного напряжения есть электродвигатели, подключающиеся к сети постоянного тока. Число оборотов таких устройств рассчитывается по совершенно другим формулам.

Номинальная скорость вращения

Число оборотов аппарата постоянного тока рассчитывается по формуле на рисунке ниже, где:

• n – число оборотов в минуту,
• U – напряжение сети,
• Rя и Iя – сопротивление и ток якоря,
• Ce – константа двигателя (зависит от типа электромашины),
• Ф – магнитное поле статора.

Эти данные соответствуют номинальным значениям параметров электромашины, напряжению на обмотке возбуждения и якоре или вращательному моменту на валу двигателя. Их изменение позволяет регулировать частоту вращения. Определить магнитный поток в реальном двигателе очень сложно, поэтому для расчетов пользуются силой тока, протекающего через обмотку возбуждения или напряжения на якоре.

Число оборотов коллекторных электродвигателей переменного тока можно найти по той же формуле.

Регулировка скорости

Регулировка скорости электродвигателя, работающего от сети постоянного тока, возможна в широких пределах. Она возможна в двух диапазонах:

1. Вверх от номинальной. Для этого уменьшается магнитный поток при помощи добавочных сопротивлений или регулятора напряжения;
2. Вниз от номинальной. Для этого необходимо уменьшить напряжение на якоре электромотора или включить последовательно с ним сопротивление. Кроме снижения числа оборотов это делается при запуске электродвигателя.

Знание того, по каким формулам вычисляется скорость вращения электродвигателя, необходимо при проектировании и наладке оборудования.

Видео

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) ? ,
скорость u — угловая скорость ? ,
ускорение a — угловое ускорение ?

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад) .

Если
? — угловое перемещение в радианах,
s — длина дуги, заключенной
между сторонами угла поворота,
r — радиус,
то по определению радиана

Соотношение между единицами угла

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ? от t ). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость ? от t ) и график углового ускорения (зависимость ? от t ).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f . Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если
n — число оборотов,
f — частота,
T — продолжительность одного оборота, период,
? — угловое перемещение,
N — полное число оборотов,
t — время, продолжительность вращения,
? — угловая частота,
то

Период

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2?:

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

Обратите внимание:
формулы справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
следует различать число оборотов n и полное число оборотов N .

Равномерное движение тела по окружности

Говорят, что тело движется по окружности равномерно, если его угловая скорость постоянна, т.е. тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол.

? — угловая скорость (постоянная в течение времени t )
? — угловое перемещение
t — время поворота на угол ?

Поскольку на графике угловой скорости площадь прямоугольника соответствует угловому перемещению, имеем:

Постоянная угловая скорость — есть отношение углового перемещения (угла поворота) ко времени, затраченному на это перемещение.

Единица СИ угловой скорости:

Равномерно ускоренное движение по окружности без начальной угловой скорости

Тело начинает двигаться из состояния покоя, и его угловая скорость равномерно возрастает.

? — мгновенная угловая скорость тела в момент времени t
? — угловое ускорение, постоянное в течение времени t
? t , (? в радианах)
t — время

Поскольку на графике скорости угловое перемещение равно площади треугольника, имеем:

Поскольку вращение тела начинается из состояния покоя, изменение угловой скорости?? равно достигнутой в результате ускорения угловой скорости?. Поэтому формула принимает следующий вид:

Равномерно ускоренное движение по окружности с начальной угловой скоростью

Начальная скорость тела, равная ?0 в момент t = 0, изменяется равномерно на величину ?? . (Угловое ускорение при этом постоянно.)

?0 — начальная угловая скорость
? — конечная угловая скорость
? — угловое перемещение тела за время t в радианах
t — время
? — угловое ускорение постоянное в течение времени t

Поскольку на графике скорости угловое перемещение соответствует площади трапеции под кривой скорости, имеем:

Так как площадь трапеции равна сумме площадей образующих ее треугольника и прямоугольника, получаем:

Совместив формулы мы получим

После преобразования получаем выражение, не содержащее времени:

Неравномерно ускоренное движение тела по окружности

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорционально времени, т. е. если угловое ускорение не остается постоянным. В этом случае и угловая скорость и угловое ускорение являются функциями времени.

Связь величин ? , ? и ? представлена на соответствующих графиках.

Мгновенная угловая скорость

Мгновенной угловой скоростью называется первая производная функции ? = ? (t ) по времени.

Обратите внимание:
1) чтобы вычислить мгновенную угловую скорость ? , необходимо знать зависимость углового перемещения от времени.
2) формула углового перемещения при равномерном движении тела по окружности и формула углового перемещения при равномерно ускоренном движении по окружности без начальной угловой скорости являются частными случаями формулы (2) соответственно для ? = 0 и ? = const.

Из формул следует:

Проинтегрировав обе части выражения, получим

Угловое перемещение есть интеграл по времени от угловой скорости.

Обратите внимание:
Для вычисления углового перемещения? необходимо знать зависимость угловой скорости от времени.

Средняя угловая скорость

Средняя угловая скорость для некоторого интервала времени

Среднее число оборотов определяется аналогично формуле:

Вращательное движение тела, формулы

Кроме того, эти величины связаны определенным образом с угловым перемещением ? , угловой скоростью ? и угловым ускорением ? .

Примечание:Формулы справедливы для постоянных, мгновенных и средних величин, во всех случаях движения тела по окружности.

Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела

Определение:Если тело участвует одновременно в нескольких вращательных движениях, то результирующая угловая скорость определяется по правилу векторного (геометрического) сложения:

Величина результирующей угловой скорости определяется по аналогии с формулой (Сложение движений):

или, если оси вращения перпендикулярны друг другу

Примечание: Результирующее угловое ускорение определяется аналогичным образом. Графически результирующую можно найти как диагональ параллелограмма скоростей или ускорений.

Зачем нужен тахометр в современной машине

Автоиндустрия сделала все возможное, чтобы новый автомобиль шел в ногу с современными технологиями и помогал водителю отслеживать состояние транспортного средства. Поэтому автовладельцу не обязательно штудировать учебники по автомеханике, чтобы запомнить устройство своего автомобиля. Однако далеко не каждый водитель сможет ответить на вопрос, зачем ему нужен тахометр на панели приборов. Мастера автосервиса Прагматика попробуют объяснять это простым языком.

Даже если автовладелец заучит фразу из википедии, что тахометр – это прибор, предназначенный для измерения  частоты вращения коленчатого вала автомобиля за одну минуту, далеко не все смогут объяснить, зачем водителю следить за этим показателем.

Продвинутые автовладельцы, как правило, с МКПП могут раскрутить мотор до высоких оборотов для улучшения динамики. Однако ни для кого не секрет, что езда в таком режиме существенно сокращает срок жизни двигателя. Так же, как и движение на пониженных оборотах. Именно для функции контроля оптимального количества оборотов и создан тахометр. Это позволит не только увеличить ресурс двигателя, но и прилично сэкономить драгоценное топливо.

У каждого автомобиля свой оптимальный диапазон для стрелки тахометра. Как правило, это 2000-3000 оборотов в минуту.

В авто с механической коробкой передач  и ручным режимом АКПП обороты на тахометре контролируются переключением передач. В «автомате  это делают при помощи педали газа.

Знаете ли вы, что по тахометру можно диагностировать неисправность двигателя? Если на холостом ходу показатель оборотов неустойчив и стрелка «носится» по циферблату, то это явный признак, что пора в автосервис.

Конечно, вряд ли каждый водитель захочет тратить время на ручную настройку оборотов коленвала, особенно с автоматической коробкой передач. Поэтому в большей степени тахометр используется мастерами автосервиса при диагностике двигателя.

Поделиться в соцсетях:

Скорость вращения шпинделя

Частота вращения шпинделя относится к характеристикам фрезерного станка и имеет обозначение в об/мин. Это скорость, с которой вращается шпиндель вместе с цанговым патроном и фрезой.

Шпиндели принято разделять на ременные и моторшпиндели (электрошпиндели). Первые характеризуются меньшим крутящим моментом. Конструкция классического шпинделя с ременным приводом имеет в составной части шпиндельный вал с подшипниками. Данный вал способен зажимать либо разжимать фрезу. Мощность и динамика передаются шпинделю от наружного мотора, который инсталлирован рядом с приспособлением посредством ременной передачи. Мощность, вращающий момент и скорость шпинделя зависят от характеристик внешнего двигателя и самой ременной передачи. За счет внешней инсталляции можно варьировать размеры мотора, тем самым изменяя обороты и мощность шпинделя, как в меньшую, так и в большую сторону. Применение шпинделей с ременной передачей возможно для задач, где требуемая скорость вращения шпинделя не превышает значение 12 000 – 15 000 об/мин. Из минусов – это ограничение по скорости в сравнении с электрошпинделем. Также натяжение ремня формирует излишнюю нагрузку на задние подшипники шпинделя, тем самым исчерпывая их ресурс.

Электрошпиндель — это приспособление, которое имеет в своей конструкции три ключевых звена: электрический асинхронный двигатель, патрон для зажима фрезы и подшипник. Предельные частоты вращения электрошпинделей — до 180 тысяч об/мин. Эти шпиндели являются более дорогостоящими по сравнению с ременными.

По количеству оборотов, шпиндели подразделяются:

• Высокой мощности от 5 кВт и более: применяются в основном на крупногабаритных станках. Обороты составляют 12000…18000 об/мин. Предназначены для высокопроизводительных работ. Такое количество оборотов является большим минусом при работе с твёрдосплавными фрезами при фрезеровании тонкими фрезами, что существенно снижает общий КПД фрезерного станка.
• Средней мощности 1.2…5 кВт: используются во фрезерных станках средних габаритов. Применяются для фрезерования пластиков, дерева и мягких металлов. Обороты составляют 18000…24000 об/мин. Идеально подходят для мелких гравировальных работ.
• Малой мощности 0.8 кВт и менее: используются во фрезерных станках малых габаритов. Обороты составляют до 60000…70000 об/мин.

Скорость вращения вычисляется по формуле:

, где

d – диаметр режущей части инструмента (мм),

П – число Пи, постоянная величина равная 3.14;

V – скорость резания (м/мин) – это путь, пройденный точкой режущей кромки фрезы в единицу времени.

d – диаметр режущей части инструмента (мм),

П – число Пи, постоянная величина равная 3.14;

V – скорость резания (м/мин) – это путь, пройденный точкой режущей кромки фрезы в единицу времени.

Если у станка есть преимущество в виде преобразователя частоты (т.е. можно с легкостью варьировать скорость вращения шпинделя), то скорость мотора выбирается исходя из выбора диаметра фрезы и материала заготовки. Но важно знать, что при стремительном снижении скорости вращения потерю момента не миновать. В некоторой степени эта потеря возмещается инвертором благодаря функции поддержания крутящего момента при понижении скорости вращения шпинделя. Можно использовать данные из таблицы при выборе параметров соотношения количества оборотов двигателя к диаметру фрезы:

Опытным путем было установлено, что заявленные максимальные обороты в паспорте шпинделя не являются физической границей – абсолютно все высокоскоростные шпиндели без труда разгоняются до 120% от номинальных оборотов, и даже выше. Но при этом следует помнить, что ресурс подшипников может резко снизиться. И очень быстрое вращение не всегда хорошо, так как, например, дерево при фрезеровании образует мелкую пыль, которая затирается между материалом и режущим инструментом, и начинает подгорать. Как следствие, происходит перегрев фрезы и заготовки.

Пример влияния количества оборотов шпинделя при фрезеровании заготовки:

Исходя из вышеизложенного, подытожим, что многоцелевого шпинделя с большим диапазоном оборотов, увы, не существует. И важно оптимальное соотношение размера, мощности и максимальных оборотов шпинделя для решения той или иной задачи. Скорость подачи важно распределять равномерно, так как это существенно влияет на качество обработки. При вычислении оборотов шпинделя для того или иного материала необходимо обращать внимание на скорость резания и диаметр режущей части фрезы для оптимальной работы станка без погрешностей. При «закрытом» фрезеровании, где отвод стружки затруднен (пазы, шпунты, гнезда), миновать прижогов возможно, если на порядок уменьшить частоту вращения. Также необходимо учитывать ресурс подшипников при фрезеровании и искусственно не увеличивать число оборотов шпинделя, в зависимости от номинальных, с целью получения большей производительности.

Равномерное круговое движение

Введение

Аппарат UCM

Рисунок 1

Рисунок 2

Процедура

Выравнивание оборудования

• 1

  Чтобы примерно выровнять платформу, поместите пузырьковый уровень в середину платформы и отрегулируйте два регулировочных винта на основании устройства до тех пор, пока пузырь не будет отцентрирован.

• 2

  Поместите дополнительную массу (~ 500 г) на тот же конец вращающейся платформы, что и вращающаяся масса. Если платформа неровная, тяжелый конец будет качаться в низкую сторону.

• 3

  Отрегулируйте регулировочные винты на ножках основания до тех пор, пока конец платформы не будет качаться равномерно при легком вращении рукой.

Установка радиуса

• 1

  Осторожно отсоедините вращающуюся массу от струн.Используйте весы, чтобы взвесить его, и запишите значение массы.

• 2

  Подвесьте вращающуюся гирю к боковой стойке и подсоедините шнур от пружины к гири. Убедитесь, что эта струна проходит под (а не за) маленьким шкивом на центральной стойке.

• 3

  Переместите кронштейн индикатора на центральной стойке в самое нижнее положение.

• 4

  Вытяните вращающуюся массу от центральной стойки, пока оранжевый индикатор не окажется в центре кронштейна.Если струна, поддерживающая вращающийся груз, не является вертикальной, когда индикатор выровнен с кронштейном, боковую стойку следует перемещать внутрь или наружу, пока струна не станет вертикальной. Используйте вертикальную линию на боковой стойке, чтобы облегчить это выравнивание. При затягивании боковой стойки, нажмите на платформу, чтобы убедиться, что она надежно удерживается в вертикальном положении, и избегайте чрезмерного затягивания и поломки пластикового винта с накатанной головкой!

• 5

  Измерьте и запишите радиус, а также оценку погрешности на основе центровки.

• 6

  Теперь ваш аппарат должен быть готов к работе в максимально широком диапазоне центростремительных сил. (Почему это важно?) Центростремительную силу можно изменять, перемещая опору пружины вверх и вниз, при этом другие части устройства остаются на месте. Этот диапазон движение по центральной стойке должно быть не менее 5 см, что соответствует диапазону натяжения пружины примерно 1,2 Н.

Установка величины центростремительной силы

• 1

  Присоедините зажимной шкив к концу платформы, ближайшему к вращающейся массе. Прикрепите веревку к вращающейся массе и навесьте известную массу (начиная с 20 г) над зажимным шкивом. Отрегулируйте прижимной шкив вверх или вниз по мере необходимости так, чтобы веревка между шкивом и вращающаяся масса расположена горизонтально. (Почему это важно?)

• 2

  Запишите значение этой статической массы , которая будет определять центростремительную силу.

• 3

  Отрегулируйте опору пружины по вертикали, пока оранжевый индикаторный диск не окажется по центру кронштейна индикатора. Теперь устройство должно быть выровнено, чтобы точно знать радиус движения вращающейся массы, когда платформа вращается.

КПП 1:
Прежде чем продолжить, попросите ТА проверить ваше устройство.

Измерение периода

• 1

  Удалите статическую массу и струну из вращающейся массы. (Почему?)

• 2

  Поверните устройство, равномерно поворачивая стержень с накаткой по часовой стрелке. Уделите минуту, чтобы прочувствовать поворот платформы с постоянной скоростью. Увеличивайте скорость до тех пор, пока оранжевый индикаторный диск не окажется по центру кронштейна индикатора на центральной стойке.Это указывает на то, что струна, поддерживающая вращающуюся массу, вертикальна и, следовательно, масса находится на желаемом радиусе.

• 3

  Когда один партнер по лаборатории вращает платформу, другой должен использовать секундомер для измерения времени, необходимого для совершения одного оборота. Сделайте десять таких измерений.

• 4

  Альтернативный метод измерения среднего периода заключается в использовании секундомера для измерения времени для N (например, 10) оборотов и деления на N, чтобы получить T .Сделайте это хотя бы для одного испытания и сравните со значением, полученным с помощью процедуры, приведенной на шаге 3. Какой метод, по вашему мнению, более точен?

• 5

  Прежде чем продолжить, проверьте свои результаты для этой единственной точки данных и убедитесь, что ваше эмпирическое значение для вращающейся массы является разумным. Если ваш результат не имеет смысла, проанализируйте свою процедуру и исправьте все ошибки, прежде чем брать дополнительные данные.

КПП 2:
Перед тем, как продолжить, ваш технический специалист должен проверить ваши данные и результаты расчетов.

Изменение центростремительной силы

Анализ

• 1

  Вес статической массы, висящей на шкиве, равен центростремительной силе F , приложенной пружиной. Вычислите эту силу для каждого из пяти испытаний, умножив статическую массу на г , и запишите результаты.

• 2

  Для каждой центростремительной силы F вычислите средний период вращения T и его стандартную ошибку.

• 3

  Для каждого значения F рассчитайте ω ² и его неопределенность из

• 4

  Постройте график зависимости ω ² от F (с планками ошибок) и выполните аппроксимацию методом наименьших квадратов.

• 5

  Определите экспериментальное значение вращающейся массы, м , из наклона вашего графика и уравнения центростремительной силы.Определите пересечение и линейного соответствия вашим данным. Это то, чего вы ожидаете?

Обсуждение

Copyright © 2011 Advanced Instructional Systems, Inc. и Университет Северной Каролины | Кредиты

Окружность круга — объяснение и примеры

Мы уже видели, как найти периметр многоугольника. Мы знаем, что круг — это не многоугольник. Следовательно, у него не должно быть периметра. Мы используем эквивалентную форму круга, называемую окружностью.

В этой статье мы обсудим, как найти длину окружности , формулу окружности круга, примеры и примеры задач об окружности круга.

Какова длина окружности?

Расстояние вокруг многоугольника, такого как квадрат или прямоугольник, называется периметром (P) . С другой стороны, расстояние по окружности называется окружностью (C) . Следовательно, длина окружности — это линейное расстояние края круга.

Зачем нужно вычислять длину окружности?

Определение окружности объекта важно в следующих случаях:

Если вы хотите купить бюстгальтер, брюки или свитер, вам необходимо знать расстояние вокруг вашей талии или груди.Хотя ваше тело не является идеальным кругом, вам придется измерить его окружность с помощью рулетки. Портные в основном используют эту технику для определения окружности платья.

Вам также необходимо знать длину окружности, делая поделки, ставя ограждение вокруг гидромассажной ванны или просто решая школьную математическую задачу.

Как найти длину окружности?

Как указывалось ранее, периметр или окружность круга — это расстояние вокруг круга или любой круглой формы.Окружность круга равна длине прямой линии, согнутой или изогнутой, чтобы образовать круг. Окружность круга измеряется в метрах, километрах, ярдах, дюймах и т. Д.

Существует два способа найти периметр или длину окружности круга . Первая формула предполагает использование радиуса, а вторая предполагает использование диаметра окружности. Важно отметить, что оба метода дают одинаковый результат.

Давайте посмотрим.

Длина окружности равна;

C = 2 * π * R = 2πR

где,

C = окружность или периметр,

R = радиус круга,

π = математическая константа, известная как Pi

или

C = π * D = π D

где D = 2R = диаметр круга

Для любого круга отношение его длины к диаметру равно константе, известной как пи.

Окружность / Диаметр = Пи

C / D = Пи или C / 2R = Пи

Приблизительное значение Пи (π) = 22/7 = 3,1415926535897…. (неограничивающее значение)

Для упрощения вычисления окружности круга значение пи принимается равным 3,14 (π = 3,14).

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы отточить концепцию окружности.

Пример 1

Найдите длину окружности с радиусом 8 см.

Раствор

Окружность = 2 * π * R = 2πR

= 2 * 3.14 * 8

= 50,24 см.

Пример 2

Рассчитайте длину окружности круга диаметром 70 мм

Решение

Окружность = π * D = π D

= 3,14 * 70

= 219,8 мм

Пример 3

Рассчитайте периметр круглого цветника с радиусом 10 м.

Раствор

Окружность = 2 * π * R = 2πR

= 2 * 3.14 * 10

= 62,8 м.

Пример 4

Окружность круга составляет 440 ярдов. Найдите диаметр и радиус круга.

Решение

Окружность = 2 * π * R = 2πR

440 = 2 * 3,14 * R

440 = 6,28R

Разделите обе стороны на 6,28, чтобы получить,

R = 70,06

Следовательно, радиус круга 70,06 ярда. Но, поскольку диаметр в два раза больше радиуса круга, диаметр равен 140.12 ярдов.

Пример 5

Диаметр колес велосипеда 100 см. Сколько оборотов сделает каждое колесо, чтобы преодолеть расстояние в 157 метров?

Решение

Рассчитайте окружность колеса велосипеда.

Окружность = π D

= 3,14 * 100

= 314 см

Чтобы получить количество оборотов колеса, разделите пройденное расстояние на окружность колеса.

Нам нужно преобразовать 157 метров в сантиметры перед делением, поэтому мы умножаем 157 на 100, чтобы получить 15700 см. Следовательно,

Число оборотов = 15700 см / 314 см

= 50 оборотов.

Пример 6

Отрезок проволоки в виде прямоугольника длиной 100 см и шириной 50 см отрезают и складывают в круг. Вычислите длину окружности и радиус образовавшейся окружности.

Решение

Окружность сформированного круга = периметру прямоугольной проволоки.

Периметр прямоугольника = 2 (Д + Ш)

= 2 (100 + 50) см

= 2 * 150 см

= 300 см.

Следовательно, окружность круга будет 300 см.

Теперь вычислите его радиус.

Окружность = 2 π R

300 см = 2 * π * R

300 см = 2 * 3,14 * R

300 см = 6,28R

Разделите обе стороны на 6,28.

R = 47,77 см

Итак, радиус круга будет 47,77 см.

Пример 7

Радиус каждого колеса мотоцикла равен 0.85 м. Как далеко уедет мотоцикл, если каждое колесо сделает по 1000 оборотов? Предположим, мотоцикл движется по прямой.

Решение

Сначала найдите окружность колеса.

Окружность = 2 π R

= 2 * 3,14 * 0,85

= 5,338 м.

Чтобы найти пройденное расстояние, умножьте длину окружности колеса на количество сделанных оборотов.

Расстояние = 5,338 * 1000

= 5338 м

Следовательно, пройденное расстояние равно 5.338 километров.

1. Майку и его друзьям подают 12-дюймовую пиццу. Майк заинтересован в вычислении его окружности. Помоги ему!
2. Периметр конкретного квадрата составляет 1/3 ^rd площади определенного круга. Если длина квадрата составляет L единиц, определите диаметр круга как L .

Ответы

1. 12π дюймов или 37.67 дюймов
2. 12L / π единиц

10.2 Кинематика вращательного движения — Физика колледжа, главы 1-17

Сводка

• Наблюдать за кинематикой вращательного движения.
• Выведите кинематические уравнения вращения.
• Оценить стратегии решения проблем для вращательной кинематики.

Просто используя нашу интуицию, мы можем начать видеть, как вращательные величины, такие как [латекс] \ boldsymbol {\ theta}, \: \ boldsymbol {\ omega}, [/ latex] и [латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [ / latex] связаны друг с другом.Например, если колесо мотоцикла имеет большое угловое ускорение в течение довольно длительного времени, оно быстро вращается и совершает много оборотов. Говоря более техническим языком, если угловое ускорение колеса [латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] велико в течение длительного периода времени [латекс] \ boldsymbol {t}, [/ latex], то конечная угловая скорость [ latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] и угол поворота [latex] \ boldsymbol {\ theta} [/ latex] большие. Вращательное движение колеса в точности аналогично тому, что большое поступательное ускорение мотоцикла дает большую конечную скорость, и пройденное расстояние также будет большим.

Кинематика — это описание движения. Кинематика вращательного движения описывает отношения между углом вращения, угловой скоростью, угловым ускорением и временем. Давайте начнем с поиска уравнения, связывающего [латекс] \ boldsymbol {\ omega}, \: \ boldsymbol {\ alpha}, [/ latex] и [латекс] \ boldsymbol {t}. [/ Latex] Чтобы определить это уравнение, мы вспоминаем знакомое кинематическое уравнение для поступательного или прямолинейного движения:

[латекс] \ boldsymbol {v = v_0 + at \ textbf {(константа a)}} [/ латекс]

Обратите внимание, что во вращательном движении [латекс] \ boldsymbol {a = a _ {\ textbf {t}}}, [/ latex] и мы будем использовать символ [латекс] \ boldsymbol {a} [/ latex] для тангенциального или линейного ускорение с этого момента.Как и в линейной кинематике, мы предполагаем, что [латекс] \ boldsymbol {a} [/ latex] является постоянным, что означает, что угловое ускорение [латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] также является константой, потому что [латекс] \ boldsymbol {a = r \ alpha}. [/ latex] Теперь давайте заменим [latex] \ boldsymbol {v = r \ omega} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {a = r \ alpha} [/ latex ] в линейное уравнение выше:

[латекс] \ boldsymbol {r \ omega = r \ omega_0 + r \ alpha {t}}. [/ Latex]

Радиус [латекс] \ boldsymbol {r} [/ latex] сокращается в уравнении, давая

[латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ omega_0 + at \ textbf {(константа a),}} [/ latex]

где [latex] \ boldsymbol {\ omega_0} [/ latex] — начальная угловая скорость.Это последнее уравнение представляет собой кинематическое соотношение между [латексом] \ boldsymbol {\ omega}, \: \ boldsymbol {\ alpha}, [/ latex] и [латексом] \ boldsymbol {t} [/ latex], то есть он описывает их отношения без ссылки на силы или массы, которые могут повлиять на вращение. По форме он аналогичен своему переводному аналогу.

ПОДКЛЮЧЕНИЕ

Кинематика вращательного движения полностью аналогична поступательной кинематике, впервые представленной в главе 2 «Одномерная кинематика».Кинематика занимается описанием движения без учета силы или массы. Мы обнаружим, что поступательные кинематические величины, такие как смещение, скорость и ускорение, имеют прямые аналоги во вращательном движении.

Исходя из четырех кинематических уравнений, которые мы разработали в главе 2 «Одномерная кинематика», мы можем вывести следующие четыре кинематических уравнения вращения (представленные вместе с их аналогами для поступательного движения):

В этих уравнениях индекс 0 обозначает начальные значения ([latex] \ boldsymbol {\ theta_0}, \: \ boldsymbol {x_0}, [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {t_0} [/ latex] — начальные значения), а средняя угловая скорость [латекс] \ boldsymbol {\ bar {\ omega}} [/ latex] и средняя скорость [латекс] \ boldsymbol {\ bar {v}} [/ latex] определяются следующим образом :

[латекс] \ boldsymbol {\ bar {\ omega} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {\ omega_0 + \ omega} {2}} [/ latex] [латекс] \ textbf {и } \ boldsymbol {\ bar {v} \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {v_0 + v} {2}}.[/ латекс]

Уравнения, приведенные выше в Таблице 2, могут использоваться для решения любой задачи вращательной или поступательной кинематики, в которой [latex] \ boldsymbol {a} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] являются постоянными.

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ ДЛЯ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ КИНЕМАТИКИ

1. Изучите ситуацию, чтобы определить, задействована ли кинематика вращения (вращательное движение) . Должно быть задействовано вращение, но без учета сил или масс, влияющих на движение.
2. Определите, что именно необходимо определить в проблеме (определите неизвестные) . Набросок ситуации полезен.
3. Составьте список того, что дано или может быть выведено из проблемы, как указано (определить известные) .
4. Решите соответствующее уравнение или уравнения для количества, которое необходимо определить (неизвестное) . Может быть полезно думать в терминах трансляционного аналога, потому что теперь вы знакомы с таким движением.
5. Подставьте известные значения вместе с их единицами измерения в соответствующее уравнение и получите численные решения вместе с единицами измерения . Обязательно используйте радианы для углов.
6. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться, что он разумен: Имеет ли смысл ваш ответ ?

Пример 1: Расчет ускорения рыболовной катушки

Глубоководный рыбак ловит большую рыбу, которая отплывает от лодки, выдергивая леску из своей рыболовной катушки.2} [/ latex] в течение 2,00 с, как показано на рисунке 1.

(а) Какова конечная угловая скорость мотовила?

(b) С какой скоростью леска покидает катушку по истечении 2,00 с?

(c) Сколько оборотов делает катушка?

(d) Сколько метров лески сошло с катушки за это время?

Стратегия

В каждой части этого примера стратегия такая же, как и для решения задач линейной кинематики. В частности, идентифицируются известные значения и затем ищется взаимосвязь, которая может использоваться для определения неизвестного.

Решение для (а)

Здесь даны [латекс] \ boldsymbol {\ alpha} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {t} [/ latex] и необходимо определить [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex]. Наиболее простое в использовании уравнение — [латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ omega_0 + \ alpha {t}} [/ latex], потому что неизвестное уже на одной стороне, а все остальные термины известны. Это уравнение утверждает, что

[латекс] \ boldsymbol {\ omega = \ omega_0 + \ alpha {t}. 2) (2.00 \ textbf {s}) = 220 \ textbf {рад / с.}} [/ Latex]

Решение для (b)

Теперь, когда [латекс] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] известен, скорость [латекс] \ boldsymbol {v} [/ latex] проще всего найти с помощью соотношения

[латекс] \ boldsymbol {v = r \ omega,} [/ латекс]

, где радиус [латекс] \ boldsymbol {r} [/ латекс] катушки задан равным 4,50 см; таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {v = (0,0450 \ textbf {m}) (220 \ textbf {rad / s}) = 9,90 \ textbf {m / s.}} [/ Latex]

Еще раз обратите внимание, что радианы всегда должны использоваться в любых вычислениях, касающихся линейных и угловых величин.Кроме того, поскольку радианы безразмерны, мы имеем [latex] \ boldsymbol {\ textbf {m} \ times \ textbf {rad} = \ textbf {m}}. [/ Latex]

Решение для (c)

Здесь нас просят найти количество оборотов. Поскольку [latex] \ boldsymbol {1 \ textbf {rev} = 2 \ pi \ textbf {rad}}, [/ latex], мы можем узнать количество оборотов, найдя [latex] \ boldsymbol {\ theta} [/ latex] в радианах. 2}.2 = 220 \ textbf {рад.}} \ End {array} [/ latex]

Преобразование радианов в обороты дает

[латекс] \ boldsymbol {\ theta = (220 \ textbf {rad})} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {1 \ textbf {rev}} {2 \ pi \ textbf {rad}}} [/ latex] [latex] \ boldsymbol {= 35.0 \ textbf {rev.}} [/ latex]

Решение для (d)

Количество метров лески [latex] \ boldsymbol {x}, [/ latex] можно получить, связав ее с [latex] \ boldsymbol {\ theta}: [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {x = r \ theta = (0.0450 \ textbf {m}) (220 \ textbf {rad}) = 9.90 \ textbf {m}}. [/ Latex]

Обсуждение

Этот пример показывает, что отношения между вращательными величинами очень похожи на отношения между линейными величинами. Мы также видим в этом примере, как связаны линейные и вращательные величины. Ответы на вопросы реалистичны. После раскручивания в течение двух секунд катушка вращается со скоростью 220 рад / с, что составляет 2100 об / мин. 2}} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {= 0.733 \ textbf {s.}} [/ Latex]

Обсуждение

Обратите внимание, что следует проявлять осторожность со знаками, указывающими направление различных величин. Также обратите внимание, что время остановки барабана довольно мало, потому что ускорение довольно велико. Леска иногда ломается из-за участвующих в ней ускорений, и рыбаки часто позволяют рыбе плавать некоторое время, прежде чем затормозить катушку. Уставшая рыба будет медленнее, требуя меньшего ускорения.

Пример 3: Расчет медленного ускорения поездов и их колес

Большие грузовые поезда очень медленно ускоряются.2}. [/ Latex] После того, как колеса сделали 200 оборотов (предположим, что проскальзывания нет): (a) Как далеко поезд продвинулся по рельсам? б) Какова конечная угловая скорость колес и линейная скорость поезда?

Стратегия

В части (a) нас просят найти [latex] \ boldsymbol {x}, [/ latex], а в (b) нас просят найти [latex] \ boldsymbol {\ omega} [/ latex] и [ латекс] \ boldsymbol {v}. [/ latex] Нам даны количество оборотов [латекс] \ boldsymbol {\ theta}, [/ latex] радиус колес [латекс] \ boldsymbol {r}, [/ латекс ] и угловое ускорение [латекс] \ boldsymbol {\ alpha}.[/ латекс]

Решение для (а)

Расстояние [латекс] \ boldsymbol {x} [/ latex] очень легко найти из соотношения между расстоянием и углом поворота:

[латекс] \ boldsymbol {\ theta \: =} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {x} {r}}. [/ Latex]

Решение этого уравнения для [latex] \ boldsymbol {x} [/ latex] дает

[латекс] \ boldsymbol {x = r \ theta}. [/ Latex]

Прежде чем использовать это уравнение, мы должны преобразовать количество оборотов в радианы, потому что мы имеем дело с соотношением между линейными и вращательными величинами:

[латекс] \ boldsymbol {\ theta = (200 \ textbf {rev})} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {2 \ pi \ textbf {rad}} {1 \ textbf {rev}}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {= 1257 \ textbf {рад. 2 + 2 \ alpha \ theta} [/ латекс]

Извлечение квадратного корня из этого уравнения и ввод известных значений дает

[латекс] \ begin {array} {lcl} \ boldsymbol {\ omega} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {[0 + 2 (0.{1/2}} \\ {} & \ boldsymbol {=} & \ boldsymbol {25.1 \ textbf {rad / s.}} \ End {array} [/ latex]

Мы можем найти линейную скорость поезда, [latex] \ boldsymbol {v}, [/ latex] через его связь с [latex] \ boldsymbol {\ omega}: [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {v = r \ omega = (0.350 \ textbf {m}) (25.1 \ textbf {rad / s}) = 8.77 \ textbf {m / s.}} [/ Latex]

Обсуждение

Пройденное расстояние довольно велико, а конечная скорость довольно мала (чуть менее 32 км / ч).

Существует поступательное движение даже для чего-то, вращающегося на месте, как показано в следующем примере. На рис. 2 изображена муха на краю вращающейся пластины микроволновой печи. В приведенном ниже примере вычисляется общее пройденное расстояние.

Пример 4: Расчет расстояния, пройденного мухой на краю плиты микроволновой печи

Человек решает использовать микроволновую печь, чтобы разогреть обед.При этом муха случайно влетает в микроволновку, приземляется на внешний край вращающейся пластины и остается там. Если тарелка имеет радиус 0,15 м и вращается со скоростью 6,0 об / мин, рассчитайте общее расстояние, пройденное мухой за 2,0-минутный период приготовления. (Игнорируйте время запуска и замедления.)

Стратегия

Сначала найдите общее количество оборотов [latex] \ boldsymbol {\ theta}, [/ latex], а затем линейное расстояние [latex] \ boldsymbol {x} [/ latex], пройденное.[latex] \ boldsymbol {\ theta = \ bar {\ omega} t} [/ latex] можно использовать для поиска [latex] \ boldsymbol {\ theta} [/ latex], потому что [latex] \ boldsymbol {\ bar {\ omega}} [/ latex] задано 6,0 об / мин.

Решение

Ввод известных значений в [latex] \ boldsymbol {\ theta = \ bar {\ omega} t} [/ latex] дает

[латекс] \ boldsymbol {\ theta = \ bar {\ omega} t = (6.0 \ textbf {rpm}) (2.0 \ textbf {min}) = 12 \ textbf {rev}.} [/ Latex]

Как всегда, необходимо преобразовать обороты в радианы перед вычислением линейной величины, такой как [latex] \ boldsymbol {x} [/ latex], из угловой величины, такой как [latex] \ boldsymbol {\ theta}: [/ latex]

[латекс] \ boldsymbol {\ theta = (12 \ textbf {rev})} [/ latex] [латекс] \ boldsymbol {\ frac {2 \ pi \ textbf {rad}} {1 \ textbf {rev}}} [/ латекс] [латекс] \ boldsymbol {= 75.4 \ textbf {rad}.} [/ Latex]

Теперь, используя соотношение между [latex] \ boldsymbol {x} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {\ theta}, [/ latex], мы можем определить пройденное расстояние:

[латекс] \ boldsymbol {x = r \ omega = (0.15 \ textbf {m}) (75.4 \ textbf {rad}) = 11 \ textbf {m}}. [/ Latex]

Обсуждение

Довольно поездка (если выживет)! Обратите внимание, что это расстояние — это общее расстояние, пройденное мухой. Смещение фактически равно нулю для полных оборотов, потому что они возвращают муху в исходное положение.Различие между общим пройденным расстоянием и перемещением было впервые отмечено в главе 2 «Одномерная кинематика».

Проверьте свое понимание

1: Кинематика вращения имеет множество полезных взаимосвязей, часто выражаемых в форме уравнений. Являются ли эти отношения законами физики или они просто описательны? (Подсказка: тот же вопрос относится к линейной кинематике.)

Задачи и упражнения

1: С помощью струны гироскоп ускоряется из состояния покоя до 32 рад / с за 0.40 с.

(а) Каково его угловое ускорение в рад / с ² ?

(b) Сколько оборотов он совершает в процессе?

2: Предположим, на компакт-диске оказался кусок пыли. Если скорость вращения компакт-диска составляет 500 об / мин, а пылинка находится на расстоянии 4,3 см от центра, какое общее расстояние проходит пыль за 3 минуты? (Игнорируйте ускорения из-за вращения компакт-диска.)

3: Гироскоп замедляется с начальной скорости 32.2}. [/ Latex]

(a) Каково угловое ускорение его шин с радиусом 0,280 м, если предположить, что они не скользят по тротуару?

(b) Сколько оборотов делают шины перед остановкой, учитывая их начальную угловую скорость [latex] \ boldsymbol {95.0 \ textbf {rad / s}} [/ latex]?

(c) Сколько времени нужно автомобилю, чтобы полностью остановиться?

(d) Какое расстояние машина проезжает за это время?

(e) Какова была начальная скорость автомобиля?

(f) Кажутся ли полученные значения разумными, учитывая, что эта остановка происходит очень быстро?