Цены снижены! Бесплатная доставка контурной маркировки по всей России

Формула связывающая линейную и угловую скорости – Формула угловой скорости в физике

Содержание

Формула угловой скорости в физике

Определение и формула угловой скорости

Определение

Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.

Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.

Перемещение при вращении характеризуют при помощи угла поворота . Часто используют вектор элементарного поворота , который равен по величине элементарному углу поворота тела замаленький отрезок времени dtи направлен по мгновенной оси вращения в сторону, откуда этот поворот виден реализующимся против часовой стрелки. Надо отметить, что только элементарные угловые перемещения являются векторами. Углы вращения на конечные величины векторами не являются.

Определение

Угловой скоростью называют скорость изменения угла поворота и обозначают ее обычно буквой . Математически определение угловой скорости записывают так:

Угловая скорость — векторная величина (это аксиальный вектор). Она имеет направление вдоль мгновенной оси вращения совпадающее с направлением поступательного правого винта, если его вращать в сторону вращения тела (рис.1).

Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ( при этом изменяет направление).

Равномерное вращение

Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:

где – угол поворота, t – время, за которое этот поворот совершён.

Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ). Угловая скорость связана с периодом обращения как:

С числом оборотов в единицу времени () угловая скорость связана формулой:

Понятия пер

www.webmath.ru

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростью ω и радиусом r окружности, по которой она движется.

т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

При вращательном движении действуют: тангенциальное и центростремительное ускорения.

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле:

Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин.

Угловое ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:

где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени

Тангенциальное ускорение направлено по касательной в траектории движения тела, а нормальное — перпендикулярно ему.

13. Сформулируйте первый закон Ньютона.
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых материальная точка, при отсутствии внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Что такое замкнутая механическая система.

Замкнутая механическая система, потенциальная энергия которой имеет минимальное значение и в которой отсутствуют движения тел, находится в состоянии равновесия. Примером может служить тяжелый шар, неподвижно; лежащий на дне ямы: его потенциальная энергия Ер имеет минимальное значение, и он находится в равновесии; без воздействия извне шар не может выкатиться из ямы.

20. Радиус-вектор, скорость, импульс, закон движения центра масс.
Радиус-вектор точки — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.
Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат.

Скорость — физическая величина, характеризующая движение тела в пространстве. Физический смысл — Изменение координаты в единицу времени.

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: . Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса — это просто произ- ведение размерности массы на размерность скорости: [p] = [m] · [v] = кг · м /с .

Воспользовавшись законом изменения импульса, получим закон движения центра масс:

dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

Энергия и работа. В чём разница?

Термин «работа» в механике имеет два смысла: работа как процесс, при котором сила перемещает тело, действуя под углом, отличном от 90°; работа — физическая величина, равная произведению силы, перемещения и косинуса угла между направлением действия силы и перемещением:

А = Fs cos a.

Работа равна нулю, когда тело движется по инерции (F = 0), когда нет перемещения (s = 0) или когда угол между перемещением и силой равен 90° (cos а = 0). Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).

1 джоуль — это такая работа, которая совершается силой 1 Н при перемещении тела на 1 м по линии действия силы. Для определения быстроты совершения работы вводят величину «мощность».

Мощность равняется отношению совершенной работы ко времени, за которое она выполнена:

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт (Вт). 1 Вт — мощность, при которой совершается работа в 1 Дж за 1 секунду.

Сформулируйте закон Гука.

Закон Гука — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростью ω и радиусом r окружности, по которой она движется.

т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

При вращательном движении действуют: тангенциальное и центростремительное ускорения.

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется

центробежным (центростремительным) ускорением.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле:




infopedia.su

Движение точки по окружности. Угловые перемещение, скорость, ускорение. Связь между линейными и угловыми характеристиками.

Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Кинематические характеристики вращательного движения:

Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение.

Угол поворота , рад  вектор, численно равный угловому пути, и направлен по оси вращения так, что из его конца вращение видно против часовой стрелки.

Угловая скорость ,вектор, характеризующий быстроту изменения угла поворота, и направлен по оси вращения так, что из его конца вращение видно против часовой стрелки.

рад/c, c-1 .(1)

Характеристики равномерного вращения ( = const)

1. Период вращения Т  это время, за которое тело совершает один полный оборот

, с.(2)

  1. Частота вращения n  это число полных оборотов, совершаемых телом за единицу времени

, с

1  Гц . (3)

Угловое ускорение вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости

, рад/c, с1 (4)

Связь между линейными и угловыми характеристиками

; ;

;

;

; ; ;

  1. Динамика материальной точки. Инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона

Тело, не подверженное внешним воздействиям (в действительности можно говорить лишь о компенсации этих воздействий), называется свободным, а его движение –свободным движениемилидвижением по инерции.

Инерция – это способность тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, так как характер движения зависит от выбора системы отсчета.

Инерциальной называется любая система отсчета, которая находится в покое или движется равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы (центр ее совпадает с Солнцем).

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Всякое тело сохраняет состяние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не заставит его изменить это состояние.

  1. Фундаментальные взаимодействия. Силы различной природы (упругие, гравитационные, трения), второй закон Ньютона. Масса. Третий закон Ньютона.

В современной физике выделяют четыре вида фундаментальных, т.е. базовых, не сводящихся к каким-либо другим, взаимодействий:

  • сильное ядерное, обеспечивающее связь частиц в атомном ядре – самоеинтенсивное, нокороткодействующее: оно сказывается лишь на масштабах атомного ядра (порядка 10-15м).

  • слабое ядерное, ответственное за ряд процессов распада элементарных частиц – малоинтенсивное (порядка 10-13 от сильного ядерного) и также короткодействующее;

  • электромагнитное, обеспечивающее стабильность атомов и молекул. Электромагнитное взаимодействие является весьмаинтенсивным(порядка 10-2 от сильного ядерного) и одновременно –дальнодействующим. Оно могло бы доминировать при галактических масштабах, но редко проявляет себя явным образом в макромире, поскольку встречающиеся в нем объекты, как правило, электрически нейтральны (имеют нулевой суммарный заряд).

  • гравитационное, проявляющееся, например, как взаимодействие небесных тел и определяющее структуру Вселенной. Оно малоинтенсивное (порядка 10-38 от сильного ядерного), но дальнодействующее. Как и электромагнитное, гравитационное взаимодействие убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между взаимодействующими телами.

studfile.net

Кинематика вращательного движения

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси OO точка M этого тела с радиус-вектором за времяt пройдет путь равный длине дуги S, а радиус вектор повернется на угол. Величина называетсяуглом поворота радиус-вектора выбранной точки от некоторого начального положения или модулем углового перемещения.

Для указания направления вращения малым углам поворота приписывают направление: направлен по оси вращения так, чтобы рассматриваемое с его конца вращение происходило против часовой стрелки (правило правого винта). Если тело сделалоN поворотов:. Средняя угловая скорость:

(11)

Мгновенная угловая скорость:

(12)

Направление связано с углом поворота правилом правого винта. Размерность – рад/с.

Если тело делает оборотов в сек, то его угловая скорость .

Связь линейной и угловой скоростей:

;

или

(13)

в векторной форме:

(14)

Угловое ускорение вращающегося тела

Отношение называетсясредним угловым ускорением.

Связь углового и линейного ускорений

Продифференцируем (14) по времени:

(16)

Первое слагаемое – тангенциальное ускорение , т.к. векторпо правилу векторного произведения направлен по касательной к траектории и по модулю равен:

Основные уравнения кинематики

Поступательное движение

Вращательное движение

Равномерное

;

Равнопеременное

Неравномерное

;

;

Связь линейных и угловых параметров

Динамика частиц

Динамика рассматривает механическое движение с учетом причин, вызывающих это движение или изменение этого движения.

Основная задача динамики: для физической системы, находящейся в определенных внешних условиях, найти уравнение движения.

Уравнениями движения называются уравнения, описывающие изменение состояния системы во времени.

В классической механике состояние частиц полностью определяется заданием ее координат x, y, z и составляющих скорости vx, vy, vz, т.е. заданием радиус-вектора и скорости.

Состояние системы из N нерелятивистских частиц определяется заданием радиус-векторов ,, …,и скоростей,, …,всех частиц в данный момент времени.

В самом общем виде уравнения движения системы частиц может быть записано в виде

Вид функции зависит от свойств частиц системы и внешних условий, в которых они движутся

Общее решение уравнения может быть найдено, если известны:

  1. вид функции и

  2. начальные условия, т.е. значения ив момент времениt=0/

studfile.net

Линейная и угловая скорость, теория и онлайн калькуляторы

Линейная скорость

Определение

Векторная величина равная:

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}=\frac{d\overline{r}}{dt}\left(1\right),\ }\]

называется мгновенной скоростью или просто скоростью.

В выражении (1) $\Delta \overline{r}$ — перемещение материальной точки за отрезок времени равный $\Delta t$. Скорость характеризует быстроту перемещения тела. Мгновенная скорость — это скорость в данный момент времени.

Предельный переход в выражении (1) имеет геометрический смысл. Вектор $\Delta \overline{r}$ направлен вдоль хорды, соединяющей две точки траектории, сближение этих точек ведет к тому, что этот вектор принимает положение касательной к траектории движения в данной точке. Получается, что вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения. При прямолинейном движении вектор скорости направлен по прямой.

Скорость прохождения пути определена аналогично:

\[v={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\left(2\right).\ }\]

Если траектория движения материальной точки — плавная кривая, то чем короче дуга, тем ближе она по длине к длине хорды. В предельном переходе при$\ \Delta t\to 0$ можно считать, что $\Delta s\to \Delta r$. Следовательно,

\[v={\mathop{lim}_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta r}{\Delta t}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{dr}{dt}=\frac{ds}{dt}\left(3\right).\ }\ }\]

Если представить радиус — вектор, определяющий положение материальной точки $\overline{r}$ в декартовой системе координат как:

\[\overline{r}=x\left(t\right)\overline{i}+y\left(t\right)\overline{j}+z\left(t\right)\overline{k}\left(4\right),\]

где $\overline{i}$; $\overline{j}$; $\overline{k}$ — единичные орты соответствующих осей координат, постоянные во времени, то подставив правую часть выражения (4) в определение линейной скорости (1), получим:

\[\overline{v}=\overline{i}\frac{dx}{dt}+\overline{j}\frac{dy}{dt}+\overline{k}\frac{dz}{dt}\left(5\right).\]

Из формулы (5) следует, что проекции скорости на оси координат X, Y,Z равны:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=\frac{dx}{dt}, \\ v_y=\frac{dy}{dt} \\ v_z=\frac{dz}{dt}. \end{array} \right.(6),\]

При этом модуль скорости найдем в соответствии с выражением:

\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y{+v}^2_z}.\]

Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:

\[\left[v\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}.\]

В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения линейной скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:

\[\left[v\right]=\frac{м}{с}.\]

Угловая скорость

Определение

Угловой скоростью называют векторную величину, равную первой производной от угла поворота по времени:

\[\overline{\omega }=\frac{d\overline{\varphi }}{dt}\left(7\right).\]

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения по правилу правого винта, то есть как вектор $d\overline{\varphi }.$

Связь между линейной и угловой скоростями задана выражением:

\[v=R\omega \left(8\right).\]

В векторном виде формулу

www.webmath.ru

Равномерное движение по прямой и вращение по окружности. Связь угловой и линейной скорости

Содержание статьи:

Раздел физики, который изучает движение тел по различным траекториям, называется кинематикой. Практически полезными типами перемещения объектов являются движение по прямой и по окружности. Рассмотрим в статье, что представляют собой эти типы движения, какими формулами они описываются, а также приведем связь угловой и линейной скорости.

Движение по прямой

Связь угловой и линейной скорости можно определить, если знать, о каких величинах идет речь. Начнем со скорости линейной.

Вам будет интересно:Двугранные углы и формула для их вычисления. Двугранный угол при основании четырехугольной правильной пирамиды

Со школьной скамьи каждый знает, что перемещение объектов в пространстве характеризуется тремя главными величинами:

  • пройденный путь S;
  • время движения t;
  • скорость v.

Формула, связывающая в единое равенство названные величины, приведена ниже:

S = v * t.

Приведенное выражение описывает равномерное движение тела по прямой линии. В международной системе единиц СИ величина S измеряется в метрах (м), t — в секундах (с), v — в метрах в секунду (м/с). Помимо названных единиц, путь и время могут измеряться в километрах (км) и часах (ч), соответственно. Тогда скорость будет выражаться в километрах в час (км/ч).

Записанная формула может применяться для решения широкого круга практических задач, например, движение транспортных средств по дорогам, движение кораблей и лодок по рекам, полет птиц и так далее.

Движение по окружности

Перед тем как перейти к выводу формулы связи линейной и угловой скорости, следует рассмотреть последнюю с точки зрения физики.

Угловая скорость появляется в физике, когда речь идет о вращающихся объектах. Примерами могут быть вращение колеса велосипеда, маховика автомобиля или планеты вокруг своей звезды. Угловая скорость тела показывает, на какой угол в радианах оно поворачивается за единицу времени. Обычно эту величину обозначают греческой буквой ω (омега). Она измеряется в радианах в секунду (рад/с).

По аналогии с линейным случаем можно назвать три главных величины, которые описывают движение по окружности с постоянной скоростью угловой:

  • угол поворота θ;
  • время t;
  • угловая скорость ω.

Соответствующая формула, которая связывает эти величины, выглядит так:

θ = ω * t.

Угол поворота тела θ вокруг оси вращения измеряется в радианах. Напомним, что окружность имеет 2 * pi радиан (около 6,28). Если полученное по формуле значение θ оказалось больше, чем 2 * pi, то это означает, что тело сделало больше одного оборота вокруг оси.

Таким образом, записанное выражение позволяет рассчитать число оборотов, совершаемых телом за известный промежуток времени t.

Связь угловой и линейной скорости

Теперь можно рассмотреть этот вопрос. Предположим, что тело, имеющее линейную скорость v, вращается по окружности радиусом R. Чтобы получить между линейной и угловой скоростью связь, рассмотрим, какое время понадобится телу, чтобы сделать полный один оборот. Поскольку пройденный путь будет равен длине окружности, то следующее выражение будет справедливым:

t = S/v = 2 * pi * R/v.

Теперь воспользуемся угловыми величинами. За найденное время одного оборота t, тело повернется точно на 2 * pi радиан. Последнее означает, что его угловая скорость будет равна:

ω = θ/t = 2 * pi/t.

Подставим рассчитанное выше время t и получим между угловой и линейной скоростью связь:

ω = 2 * pi/t = 2 * pi/(2 * pi * R/v) = v/R.

Полученную формулу можно записать в двух видах:

ω = v/R;

v = ω * R.

Каждое из выражений применяется в зависимости от того, какая величина в условии задачи известна. Формулы позволяют сделать важный вывод: чем больше радиус орбиты вращение, тем больше будет линейная скорость при постоянной угловой скорости.

Далее решим интересную задачу на применение полученных формул.

Что быстрее — Земля или Марс?

Известно, что Земля и Марс являются 3-й и 4-й планетами Солнечной системы, соответственно. Обе планеты движутся приблизительно по круглым орбитам. Расстояние от нашей звезды до Земли равно 149 597 870,691 км, а один оборот вокруг нее она делает за 365,256 дней. Марс расположен от Солнца на расстоянии 227 936 640 км, и один оборот вокруг него делает за 686,971 земных дня. Необходимо определить и сравнить линейные скорости планет.

Угловая скорость планеты может быть рассчитана по формуле:

ω = 2 * pi/T.

Где T — период (время совершения одного оборота вокруг звезды). Подставляя ω в формулу для v, получаем:

v = 2 * pi * R/T.

Переведем время оборота планет в часы и подставим данные в это равенство, получим:

  • для Земли: v = 2 * 3,14 * 149597870,691/(365,256 * 24) ≈ 107,2 тыс. км/ч;
  • для Марса: v = 2 * 3,14 * 227936640/(686,971 * 24) ≈ 86,8 тыс. км/ч.

Обе цифры являются огромными. Так, Земля за один час пролетает в космосе расстояние, практически равное трем ее окружностям по экватору. Полученные скорости свидетельствуют, что Земля движется быстрее Марса, и ее скорость на 24 % больше марсианской.

Источник

1ku.ru

Связь между угловой и линейной скоростями

Отсюда легко установить связь между линейной и угловой скоростями. Мы уже знаем, что угловая скорость связана с числом оборотов формулой: ω = 2πn; поэтому на основании формулы скорости движения по окружности получим:

v = ωR

Линейная скорость точки, движущейся равномерно по окружности, равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

Известно, что вектор скорости точки, движущейся по окружности, направлен по касательной. Следовательно, линейная скорость направлена по касательной к окружности.

Из формулы видно, что линейная скорость измеряется в см/сек , м/сек и т.д.

 

14. Что называется линейным ускорением материальной точки, в каких единицах оно измеряется?

линейное ускорение — это производная от скорости по времени.

Формула линейного ускорения:

а = dv / dt = d2s/dt2, где s – путь ,пройденный телом.

15. Закон равноускоренного движения по прямой

равноускоренным движением называют такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению.

Закон равноускоренного движения по прямой

Это выражение называют законом равноускоренного движения

Начальная скорость-υ0 , конечная скорость-υ, ускорения-a, время-t.

16. Что называется угловой скоростью, в каких единицах оно измеряется?

Угловая скорость — величина, характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения.

17. Что называется частотой вращения, в каких единицах оно измеряется?

Частота вращения — это физическая величина, равная числу полных оборотов за единицу времени

18. Что называется периодом вращения, в каких единицах он измеряется?

Период вращения (физический термин) — промежуток времени, в течение которого точка совершает полный оборот, двигаясь по окружности.

19. Связь между угловой скоростью вращения и его частотой.

Угловая скорость вращения ω это отношение угла, на которое тело повернется, к времени, за которое оно это сделает. Полному обороту вокруг оси соответствует угол 2π или 360° в зависимости от единиц измерения угла. Число оборотов равно отношению пройденного угла к 2π или 360°. Частота вращения это число полных оборотов тела вокруг оси за единицу времени, таким образом она равна ω/(2π) или ω/360° для углов, измеряемых в градусах

20. Связь между угловой скоростью и периодом.

21. Связь между линейной и угловой скоростями

Связь между линейной и угловой скоростью. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. При вращении твердого тела разные его точки имеют разные линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова. Междулинейной скоростью какой-либо точки вращающегося тела и угловой скоростьсуществует связь. Точка, лежащая на окружности радиуса R, за один оборот пройдет путь 2πR. А так как, время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейнойскорости можно найти так: v=2πR/T=2πRν или v=ωR

22. Центростремительное ускорение

»

23. Что называется нормальным ускорением материальной точки, как его вычислить?

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения .Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

24. Что называется тангенциальным ускорением материальной точки, как его вычислить?

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

25. Напишите формулу для определения полного ускорения материальной точки

26. Какое падение тела называется свободным?

Свободным падением называется движение, которое совершило бы тело только под действием силы тяжести без учета сопротивления воздуха.

Читайте также:


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

admin / 02.09.2019 / Разное

Добавить комментарий

Почта не будет опубликована / Обязательны для заполнения *