Формула скорости по окружности: Движение по окружности, теория и онлайн калькуляторы

Движение по окружности | fizmatuski.narod.ru

Движение по окружности

Движение  по  окружности  – частный случай криволинейного движения. 
При движении по окружности движение может быть:

1. С постоянной по величине скоростью V=const
2. С одинаково изменяющейся по величине  скоростью   Δ V= const
3. С неодинаково изменяющейся по величине скоростью,  ΔV разное, изменяется не одинаково.

!!! Но при этом во всех 3-х случаях V изменяется по направлению (всегда). Движение по окружности – это периодически  повторяющееся движение.
Основными  характеристиками  такого  движения  являются:
— период – это время 1 полного оборота (t – все время, N – число оборотов за время t)
 — частота – число оборотов за 1с. (Гц)
l = 2πR – путь за 1 поворот (длина окружности) (м)
L = 2πRN – путь за N оборотов (м).

1.Рассмотрим  движение  с  постоянной  по  величине  скоростью. По  определению, скорость это путь, пройденнфй телом за единицу времени:
  —   это путевая  скорость  движения  тела  по  окружности. Зная  значения величин, входящих  в  эту  формулу, получим формулы  скорости, которые выражают  зависимость  от  основных  характеристик  движения  по  окружности:

ω = 2πn – циклическая частота или угловая скорость (число оборотов за 2π секунды), измеряется  в  (Гц = рад/с).
  (Гц)
Аналогия: тело со V тело проходит путь L, со  скоростью ω проходит угловой путь  φ (поворачивается  на  угол).
Угловое расстояние:   φ = ωt или      φ = 2πN
— ускорение,  которое показываем изменение направления скорости ( но не величины) т.к.  всегда  перпендикулярна и направлена к центру окружности, то это ускорение называется центростремительным:

— формула, определяющая центростремительное  ускорение. Подставляя вместо скорости её формулы, получим расчётные формулы для центростремительного ускорения:
— формулы для  вычисления  центростремительного  ускорения  через  основные  характеристики.
Рассмотрим  частные  случаи  движения  тел  по  окружности:
1. Движение  по  одному  кругу, но  по  окружностям  разного  радиуса:
           

Если т.А и т.В двигаются синхронно то они вместе совершают 1 оборот,  значит

Т₁ = Т₂ (периоды их оборотов одинаковы), а  из  этого   следует
=> n₁ = n₂ => ω₁ = ω₂,      Зная  связь   между  линейной  и  угловой  скоростями, между  ускорением   и угловой  скоростью, получим  выражения:

2. Рассмотрим  случай, когда   два  тела  совершают  круговые  движения,  но  связаны   ременной  или  зубчатой  передачей

             ременная связь                           или                              зубчатая связь
В этом  случае скорости  движения  двух  тел  равны (нет  провисания  ремня ): V ₁ = V₂
 Зная  формулы, связывающие  линейную  скорость  с  периодом  вращения  и   с  ускорением,   получим:    
2. Более  сложный  случай,  когда  скорость  изменяется  по  величине.
  —   это средняя   путевая  скорость  движения  тела  по  окружности, где её  изменение  по  величине  характеризуется  тангенциальным  ускорением: а_т ,   изменение  скорости  по  направлению  характеризуется  центростремительным  ускорением а_ц , которое  в  каждой  точке  разное,  так  как  разной  будет  скорость  движения  по  величине:  .  Эти  два  ускорения  взаимно  перпендикулярны  т.к.    а _ц направлено  к  центру  окружности,  а  а_т  —   по  касательной ( если разгон, то  по  направлению  скорости,  если  торможение, то  в  противоположную  сторону).

Так  как  тангенциальное  ускорение  не  изменяется, а  центростремительное  изменяется,  то  будет    изменяться   и  общее  ускорение  
Изменение  скорости приведёт  к  изменению  связанных  с  ним  характеристик: периода, частоты  и   угловой  скорости  вращения.

Вернуться к конспектам урока

Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости . Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (a_r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение (нормальное ускорение) a_n или а_ЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

a_ЦС=v² / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

то

360^о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958^о = 57^о18’

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

a_ЦС = (4π²R) / T² = 4π²Rn²

Движение по окружности. Примеры решения задач по физике. 9-10 класс

Движение по окружности. Примеры решения задач по физике. 9-10 класс

Подробности

Просмотров: 1686

Задачи по физике — это просто!

Вспомним

Формулы центростремительного ускорения и центростремительной силы:

Формулы скорости движения тела по окружности и частоты вращения:

Единица измерения частоты вращения — 1/с или оборот/с.

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики на движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Задача 1

C какой скоростью велосипедист проходит закругление с радиусом 25 метров, если центростремительная скорость его движения равна 4 м/с?

Задача 2

Колесо радиусом 40 см делает один оборот за 0,4 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 3

Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 4 оборота в секунду? Чему равен период вращения колеса?

Задача 4

Задача 5

Чему равно центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 50 см при частоте вращения 5 оборотов в секунду?

Задача 6

Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равно 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек его экватора.

Задача 7

Какова скорость движения автомобиля, если его колесо радиусом 30 см делает 500 оборотов в минуту?

Задача 8

Чему равна центростремительная сила и центростремительное ускорение, действующие на пращу массой 800 г, вращающуюся на веревке длиной 60 сантиметров равномерно со скоростью 2 м/с?

Задача 9

Период обращения космического корабля вокруг Земли равен 90 минутам. Высота подъема корабля над поверхностью Земли составляет 300 км, радиус Земли равен 6400 км. Определить скорость корабля.

Урок 05. Лекция 05. Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности

Криволинейное движение – движение, траекторией которого является кривая линия. Любой участок криволинейного движения приближённо можно представить в виде дуги окружности. Поэтому движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является простейшим видом криволинейного движения.

Траектория движения – окружность. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности. Величина скорости постоянная, направление скорости всё время меняется.

Ускорение при движении по окружности называют центростремительным. Оно всегда, в каждой точке траектории, направлено к центру окружности. Центростремительное ускорение не меняет модуля скорости, но изменяет направление скорости.

 Величины, характеризующие движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Число полных оборотов за время t. Обозначается N.

N=t/T или N=tν

Период обращения Т  – время одного полного оборота (время, за которое тело совершает один полный оботот, т.е. поворачивается на угол 2π. Единица измерения — секунда [с].

T=t/N      T=1/ν         

Частота v (греческая буква «ню») – число полных оборотов за 1 с. Единица измерения герц [Гц]

ν=N/t      ν=1/T 

Линейная скорость υ показывает, какой путь проходит тела за 1 секунду.

При движении тела по окружности одной из характеристик движения является угловое перемещние или угол поворота. 

S — линейное перемещение

φ — угловое перемещение

Единица угла поворота — рад (радиан). 

1 радиан — это угол, опирающийся на дугу окружности, равную её радиусу.

Угловая скорость ω тела в данной точке круговой траектории — это физическая величина, которая определяется углом поворота за удиницу времени. Она показывает на какой угол поворачивается тело за 1 секунду. Угловая скорость характеризует скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения.

Угловая скорость определяется по формуле:

ω=ΔφΔ/t    или    ω=φ/t

Δφ — угол поворота материальной точки за время Δt, угловое перемещение

Δt — промежуток времени, за которое это угловое перемещение было совершено.

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

υ = ωR

Центростремительное ускорение:

Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:

теория, как решать, примеры на равноускоренное

Человек регулярно сталкивается с разными видами движения. Перемещение тела по окружности позволяет понять многие физические процессы. На основе закономерностей такого явления работают разнообразные механизмы. Рассчитать характеристики движения по окружности достаточно просто, если знать и уметь применять несколько основных формул.

Движение тела по окружности — какими законами описывается

Движением по окружности в теории называют вращение какой-либо материальной точки или тела относительно оси, неподвижной в выбранной системе отсчета и не проходящей через центр тела.{2}R\)

В представленных уравнениях используются такие параметры, как:

• Т — период вращения;
• t — время;
• ω — угловая скорость;
• R — радиус;
• a_t — тангенциальное ускорение;
• a_n — центростремительное или полное ускорение.

При отсутствии специальных оговорок, в процессе решения задач движение тела по окружности принимают за равномерное. Для расчета пройденного пути используют формулу:

\(S=\frac{v}{t}\)

где:

• S является расстоянием, которое преодолело тело;
• v представляет собой скорость движения тела;
• t определяет время движения.

Таким образом, справедливы выражения:

\(v=\frac{S}{t}\)

\(t =\frac{v}{S}\)

Величины, которые применяют для решения задач, характеризуются положительными значениями:

S > 0, v > 0, t > 0

При решении задач принято все величины переводить в единицы измерения, согласно системе СИ.

Секретом заданий на движение тела по окружности является то, что обгоняющий будет преодолевать на 1 круг больше при первом обгоне. Данное расстояние считается на n кругов больше, если первый объект обогнал другого в n-ый раз.

Задачи на движение по окружности от простых до сложных

Задачи на движение тела по окружности отличаются по степени сложности. Можно рассмотреть примеры простых заданий.

Задача 1

Длина круговой трассы составляет 8 километров. Из ее точки в один момент времени в одинаковом направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль развил скорость 114 км/ч и, спустя 20 минут после начала движения, обогнал второй автомобиль на один круг. Требуется определить скорость, с которой двигался второй автомобиль. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

Известно, что старт произошел одновременно для обоих автомобилей. Через 20 минут после начала движения первое транспортное средство опережало второе на один круг. Таким образом, в течение 20 минут или 1/3 часа первый автомобиль преодолел на 1 круг больше, то есть на 8 км больше. За час первый автомобиль проехал на 8*3=24 км больше, чем второй. Скорость второго транспортного средства на 24 км/ч меньше по сравнению с первым, и равна 114-24=90 км/ч.

Ответ: второй автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч.

Задача 2

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а спустя полчаса стартовал мотоциклист. Через 10 минут после начала пути водитель мотоцикла догнал велосипедиста в первый раз. Спустя еще 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста повторно. Требуется определить, какова скорость мотоциклиста, в том случае, когда длина трассы составляет 30 км. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

В первую очередь требуется перевести минуты в часы. Скорости мотоциклиста и велосипедиста можно обозначить х и у. В первый раз водитель мотоцикла обогнал велосипедиста, спустя 10 минут или 1/6 часа после начала движения. До этого момента велосипедист находился в движении 40 минут или 2/3 часа.

Можно упростить запись условий задачи:

велосипедист: v = х, t = 2/3, S = 2/3*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/6, S = 1/6*у.

Велосипедист и мотоциклист преодолели одинаковый путь:

\(\frac{1}{6}y=\frac{2}{3}x\)

Спустя 30 минут или 1/2 часа после первого обгона мотоциклист выполнил второй обгон велосипедиста.

Таким образом:

велосипедист: v = х, t = 1/2, S = 1/2*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/2, S = 1/2*у.

Требуется определить расстояния, которые преодолели гонщики. Мотоциклист обогнал велосипедиста, то есть проехал больше на один круг. Это является ключевым моментом в данной задаче. Один круг составляет 30 километров. Второе уравнение будет иметь вид:

\(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=30\)

Далее необходимо решить полученную систему:

у = 4х

у – х = 60

Таким образом, х = 20, у = 80.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Бывают задания на движение тела по окружности с повышенной степенью сложности. Как правило, подобные примеры при невозможности проведения экспериментов требуют сложных вычислений.

Задача 3

На часах со стрелками время 8 часов 00 минут. Требуется определить, через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз догонит часовую стрелку.

Решение

Спустя один час минутная стрелка преодолевает один круг, а часовая проходит лишь 1/12 циферблата. Допустим, что скорости равны 1 круг в час и 1/12 круга в час соответственно. Начало движения приходится на 8.00. Необходимо определить время, в течение которого минутной стрелке в первый раз удастся догнать часовую.

Минутная стрелка преодолеет на 2/3 круга больше. Исходя из этого, можно записать уравнение:

\(1*t-\frac{1}{12}t=\frac{2}{3}\)

Таким образом, спустя 8/11 часа стрелки совпадут. Предположим, что через время z стрелки совпадут повторно. Минутная стрелка преодолеет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z. При этом минутной стрелкой будет пройдено на один круг больше. Можно записать уравнение:

\(1*z-\frac{1}{12}z=1\)

Решение данного уравнения будет таким:

\(z=\frac{12}{11}\)

Таким образом, через 12/11 часа стрелки совпадут повторно. Спустя еще 12/11 часа они встретятся вновь и так далее. Поэтому при старте в 8.00 в четвертый раз минутная стрелка догонит часовую через:

\(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\) часа

Ответ: минутная и часовая стрелки совпадут в четвертый раз через \(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\)часа.

Нередко при решении задач на движение по окружности требуется рассчитать среднюю скорость тела. Важно, что данная величина не совпадает со средним арифметическим скоростей. Средняя скорость определяется с помощью формулы:

\(v=\frac{S_{0}}{t_{0}}\)

где v является средней скоростью;

S₀ представляет собой общий путь;

t₀ определяет общее время.

При наличии двух участков пути средняя скорость рассчитывается по формуле:

\(v=\frac{S_{1}+S_{2}}{t_{1}+t_{2}}\)

Наиболее сложными задачами считаются примеры с пятизначными дискриминантами. Рассмотрим алгоритм действий в таком случае.

Задача 4

Пара гонщиков участвует в соревновании. Путь, который требуется преодолеть, равен 60 кругам кольцевой трассы в 3 км. После одновременного старта первый гонщик пересек финиш раньше, чем второй на 10 минут. Требуется рассчитать среднюю скорость второго гонщика. Известно, что впервые первый участник обогнал второго на круг, спустя 15 минут после начала движения. Ответ требуется записать в км/ч.

Решение

Первый участник гонки, находясь в движении 15 минут, догнал второго гонщика на первом круге. Таким образом, в течение 15 минут он преодолел на 1 круг или на 3 км больше, чем второй. За час первый гонщик проехал 3*4=12 километров больше. При этом скорость его движения на 12 км/ч превышает скорость второго гонщика. 10 минут соответствует ¼ часа. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

Далее необходимо преобразовать выражение к квадратному уравнению:

\(x^{2}+12x-12960=0\)

Таким образом, получен пятизначный дискриминант. Есть более простой вариант решения задачи. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

В нем 180 можно поделить на 12. Заменим х=12z:

\(\frac{180}{12z}-\frac{180}{12z+12}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{15}{z}-\frac{15}{z+1}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{90}{z}-\frac{90}{z+1}=1\)

Данное равенство можно преобразить в квадратное уравнение. Целый положительный корень такого выражения z=9. Тогда получим:

\(х=12z=108\)

Ответ: средняя скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Нахождение линейной скорости при движении по окружности

Любая точка, находящаяся на окружности, перемещается с некоторой скоростью. Данная величина называется линейной скоростью. Вектор линейной скорости всегда совпадает по направлению с касательной к окружности. К примеру, стружка из точильного станка движется, повторяя направление мгновенной скорости.

Можно рассмотреть какую-то точку на окружности, совершившую один оборот. При этом было затрачено время равное периоду Т. Расстояние или путь, пройденный точкой, представляет собой длину рассматриваемой окружности.

Задачи на тему равномерное движение по окружности

Задача 1

Радиус выпуклого моста равен 90 м. Требуется определить скорость, с которой автомобиль должен пройти его середину, чтобы пассажир на мгновение ощутил невесомость.

Решение

Согласно условиям задачи:

R = 90 м

N = 0

Сила реакции опоры обладает нулевым значением, так как пассажир в состоянии невесомости не оказывает давление на сиденье автомобиля.

Решение задачи необходимо представить в системе отсчета, которая связана с Землей. Человек совершает движение вместе с автомобилем. Ускорение при этом направлено вниз. На пассажира действует сила притяжения Земли, которая будет центростремительной:

\(mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Таким образом:

\(v=\sqrt{\frac{Rmg}{m}}=\sqrt{Rg}=\sqrt{90*10}=30\) м/с

Ответ: скорость автомобиля составляет 30 м/с.{2}=gl*\sin \alpha *\tan \alpha \)

\(v=\sqrt{gl*\sin \alpha *\tan \alpha }=\sqrt{10*0.6*\frac{\sqrt{3}}{2}*\sqrt{3}}=3\) м/с

Ответ: скорость шарика составляет 3 м/с.

Задача 4

Необходимо определить максимальную скорость мотоцикла по горизонтальной плоскости, который описывает при этом дугу окружности с радиусом 100 м. Коэффициент трения резины о плоскость составляет 0,4.

Решение

Во время поворота мотоцикл наклоняется к центру поворота. На транспортное средство оказывают действие:

• сила тяжести \(m\vec{g}\);
• сила реакции опоры \(\vec{N}\);
• сила трения \(\vec{F_{tr}}\);
• сила тяги \(\vec{F_{t}}\);
• сила сопротивления \(\vec{F_{c}}\).

Данные силы в сумме составляют:

\(m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}+\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}= m\vec{a}\)

Согласно выражениям:

\(m\vec{g}+\vec{N}=0\)

\(\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}=0\)

Получим:

\(\vec{F_{tr}}= m\vec{a}\)

Сила трения составляет:

\(F_{tr}= \mu mg\)

Таким образом:

\(\mu mg=ma= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v=\sqrt{\frac{\mu mgR}{m}}=\sqrt{\mu gR}=\sqrt{0.4*10*100}=20\) м/с

Ответ: максимальная скорость равна 20 м/с.

Задачи разной сложности по теме движения тела по кружности часто встречаются не только в школьной программе, но и во время обучения в вузе. Знание основных закономерностей позволит быстро найти решение примера любой сложности. Если в процессе расчетов возникают трудности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Равномерное движение по окружности

Как известно, год, но Земле длится примерно 365 дней и соответствует периоду обращения земли вокруг Солнца. Период обращения Т — это время одного оборота. Проще всего его найти в случае равномерного кругового движения – он будет равен отношению длины окружности l=2пR к скорости, с которой движется тело:

T=(2пR)/v

T=(2пR)/T=v/R

а_ц=v²/R=w²R=Vw

Пони бегает по кругу. Ай, то есть, по окружности

Это всё было прямолинейное движение. То есть: когда беззаботно летим по шоссе, траектория наша является прямой линией, и всё хорошо. Но вот теперь мы въехали в город и едем по круглой площади. Это уже криволинейное движение – траектория не прямая. Если начать умничать, то перемещение здесь получится меньше пути, скорость будет менять своё направление и, более того, направления скорости и ускорения не будут совпадать. То есть если тут что-то надо будет считать – ребята, тушите свет. Если в общем случае…

Но здесь, опять-таки, есть случаи частные. Самый распространённый здесь – равномерное движение по окружности. При нём траектория – окружность, а скорость по модулю не меняется. Всего два уточнения, но от них становится легче. Почему?

Потому, что при этом гораздо проще посчитать путь (это просто длина окружности). Раз. Второе – гораздо проще посмотреть, куда направлено ускорение. Тут оно называется заумным словом «центростремительное» – типа, когда едешь по кругу, невольно стремишься к центру. Как следует из названия, его «стрелочка» направлена к центру окружности. Скорость же при этом направлена по касательной к окружности (едешь-то как будто прямо). Получается, что центростремительное ускорение всегда перпендикулярно скорости. Повёрнуто под 90 градусов по отношению к ней, то бишь.

То есть, по-русски. Когда ты едешь по кругу, то получается, что как будто всё время стремишься к центру: каждый момент поворачиваешь на какой-то маленький уголок, и эти повороты заставляет тебя ехать дальше не «абсолютно прямо», а «чуть криво», чтобы постоянно держать одно и то же расстояние от центра. Тогда, собственно, и получается окружность. Это самое центростремительное ускорение и показывает, насколько сильно меняется направление твоего движения (по-умному – направление вектора скорости).

А считается оно как квадрат скорости, делённый на радиус окружности. Опять бредовая формула? А это потому, что скорость берём линейную (метры в секунду). Если же мысленно смотреть из центра и крутить головой, смотря на едущую по кругу машину, то за какое-то время голова повернётся на какой-то угол. Скорость, с которой она повернётся, будет угловой (радианы в секунду). Вот если через такую скорость считать, то будет… квадрат угловой скорости, умноженный на радиус. Опять не угодил?! Почему квадрат? Да пёс его знает, если честно. Одно из лучших оправданий физиков при вопросах «Почему формула такая бредовая?!» – размерность. Если посчитать размерность по формуле, и она получится равной размерности того, что хотим получить, то в 75% случаев формула правильная. (Число 75% беру с потолка. Кто уже точно рассчитал, что на самом деле не 75, а 76%, – смело кидайте тухлые помидоры.)

Смеха ради проверим это предположение про размерность. Если для формулы ускорения взять обычную скорость, то получится: метры в квадрате, делённые на секунду в квадрате, делить на метры. Итого получится – метр на секунду в квадрате – размерность ускорения. Не придерёшься. Если брать угловую, то тут похитрее: радианы в подсчёте размерности считаются безразмерными. (Это одна из причин, почему радианы стали использовать как единицу измерения. Не просто так же брать какую-то непонятную цифирь в 57.3 градуса с потолка.) Поэтому здесь выходит так: метры умножить на обратную секунду в квадрате (1/c²). То есть – опять м/с².

Достаточно всех этих прибамбасов для того, чтобы посчитать, как же наше несчастное тело движется по окружности? Ну, хоть в той же машине? Почти. Остаётся последнее «но». В какое-то время мы проедем один круг и вернёмся в точности в то же положение, с которого начинали. Через такое же время (так как движение равномерное, то оно будет точно таким же) – опять вернёмся, и так до бесконечности. При таком раскладе путь считать становится накладным (может кто-нибудь навскидку сказать, как посчитать длину куска окружности?), а перемещение и вовсе теряет смысл. Чтобы внести ясность, через какое время мы будем в какой точке, придумали ещё одну величину: период. Это минимальное время, за которое мы вернёмся в первоначальное положение (которое было тогда, когда запустили тот самый воображаемый секундомер, и время побежало прочь от нуля). Измеряется в секундах, как обычное время. Но на случай, если период очень маленький, придумали вторую, родственную ему, штуку: частоту. Это число оборотов в единицу времени (читай: секунду). Соответственно, она обратна периоду и измеряется в обратных секундах (1/с). В простонародье… э-э, простите, в физике, это обозначается «Гц». По фамилии учёного Генриха Герца. У той же машины есть прибор под названием тахометр – он показывает количество оборотов в минуту или секунду, которые делает вал внутри двигателя. На них обычно пишут циферки от 1 до 10, но с припиской «умножить на тысячу». То есть количество этих оборотов измеряется тысячами! А что будет, если вместо частоты станет период? Некрасивые цифры в виде 0.005 и тому подобные. Как-то проще, когда имеешь дело с тысячами, а не с тысячными.

Вкратце и поумнее: равномерное движение по окружности – это движение тела с постоянной по модулю скоростью, при этом траекторией движения является окружность. Центростремительное ускорение показывает, как меняется направление вектора скорости, оно всегда направлено к центру. Может быть посчитано как v²/R или ?^2.R (v – линейная скорость, ? – угловая, R – радиус окружности). Угловая скорость – это отношение угла поворота радиуса, на котором находится наша движущаяся точка, ко времени, за которое произошёл этот поворот. Период обращения – минимальное время, за которое тело вернётся в первоначальное положение. Частота – величина, обратная периоду: количество оборотов, совершаемым телом, в единицу времени (секунду). Частота измеряется в герцах (Гц).

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Круговая скорость

Круговая скорость

Вы когда-нибудь наблюдали вращающийся вентилятор или колесо движущегося велосипеда? Каждая точка на них совершает круговое движение вокруг центра вращения. Такое движение частиц, при котором объект движется по круговой траектории, называется круговым движением.

Что такое равномерное круговое движение?

Любая частица, которая движется по кругу с постоянной скоростью, называется однородным круговым движением.Главный аспект равномерного кругового движения заключается в том, что направление частицы постоянно меняется в каждый момент. Направление частицы — мгновенное тангенциальное направление.

Можно сказать, что при равномерном круговом движении направление всегда меняется, но величина круговой скорости остается постоянной в каждый момент.

Может ли быть неравномерное круговое движение?

Да, может быть. При таком неравномерном круговом движении скорость частицы непостоянна.Например, когда вы вращаете объект, привязанный к веревке, по вертикальному кругу, вы, должно быть, заметили, что движение быстрее, когда объект находится внизу, где сила тяжести увеличивает его скорость, и медленнее в самом верхнем положении, где сила тяжести действует против него.

Другой особый вид кругового движения — это когда объект вращается вокруг себя, также известный как вращательное движение. Волчок является примером такого кругового движения.

Теперь я напомню, что движение небесных тел круговое, поскольку движение, соответствующее сфере, — это вращение по кругу.- Николай Коперник

Переменные в круговом движении

Движение частицы, совершающей круговое движение, определяется определенным набором переменных, как определено ниже:

Угловое смещение:

Обозначается Δθ, это угол, который вектор положения частицы образует в центре траектории кругового движения.

Это также отношение линейного смещения к радиусу в любой момент времени. Единица углового смещения — радиан.

Угловое смещение (Δθ) = (ΔS / r)

Угловая скорость

Это скорость изменения углового смещения (Δθ). Он измеряется в рад / с и является векторной величиной.

Угловая скорость (ω) = Δθ / Δt

Угловое ускорение

Это скорость изменения угловой скорости (dω). Он измеряется в рад / с2 и является скалярной величиной.

Угловое ускорение (α) = dω / dt = d2θ / dt2

Как рассчитывается круговая скорость?

Формула для вычисления формулы круговой скорости:

v _c = 2πr / T

Где r — радиус круговой орбиты
T — период времени.

Если вам известна угловая скорость ω, вы можете рассчитать круговую скорость как:

v _c = ω r

Где ω — угловая скорость,
r — радиус круговой траектории

Пример задачи для понимания вычисления круговой скорости

Рассчитайте круговую скорость камня, привязанного к нитке длиной 1 м, когда он вращается с угловой скоростью 45 радиан / с.

Решение
Здесь:
Угловая скорость ω = 45 рад / с
радиус = 1 м
Мы знаем, что формула круговой скорости задается как v _c = ω r
v _c = 45 × 1
= 45 м / с.

Примеры равномерного кругового движения

• Камень привязан к веревке и закручен горизонтально
• Стрелки часов
• Круглый объект, движущийся по полу с постоянной скоростью
• Шины дорожного катка или автомобиля, движущегося с постоянной скоростью
• Вращающиеся лопасти потолочного вентилятора.
• Искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на фиксированной высоте.
• Электроны в атоме, движущиеся вокруг ядра.
• Карусель

Знаете ли вы?

Закон Ньютона применим и к круговому движению. Посмотрим, как это сделать:

Согласно первому закону движения Ньютона, любой объект будет продолжать находиться в состоянии движения, если на него не действует внешняя сила. В случае кругового движения эта сила есть не что иное, как центростремительная сила или сила, которая продолжает тянуть тело к центру.

Например, когда вы вращаете камень, привязанный к веревке, удерживая его рукой, ваша рука оказывает на камень центростремительную силу через веревку.Именно эта сила заставляет камень двигаться по кругу. Интересно, правда? Чтобы узнать больше о центростремительной силе, посетите нашу страницу калькулятора центростремительного ускорения.

Как вам может помочь бесплатный онлайн-калькулятор круговой скорости CalculatorHut?

CalculatorHut содержит огромное количество более 100 научных, медицинских и других калькуляторов, специально разработанных для упрощения и упрощения расчетов. Мы работаем с единственной целью — разработать удобный онлайн-инструмент для бесплатных расчетов для студентов, профессионалов, финансовых энтузиастов, людей, заботящихся о своем здоровье, и всех, кто имеет дело с числами в повседневной жизни.

Круговая скорость — незаменимое понятие для любого студента-физика. С помощью нашего калькулятора вы можете легко вычислить любой параметр формулы круговой скорости и получить мгновенный результат. Бесплатный калькулятор круговой скорости CalculatorHut также является полезным инструментом для перекрестной проверки результатов, полученных в ходе вычислений, и изучения концепций кругового движения.

Знаете ли вы? CalculatorHut — это центр бесплатных онлайн-калькуляторов. Ознакомьтесь с нашим широким ассортиментом калькуляторов по математике, физике, химии, финансам, здравоохранению, автомобилестроению и другим.

Если у вас есть учебный блог или веб-сайт, основанный на физике, и вы хотите, чтобы какой-либо из наших калькуляторов был встроен в качестве виджетов на свой веб-сайт, напишите нам по адресу [email protected], и мы разработаем для вас виджет абсолютно бесплатно!

CalculatorHut также имеет бесплатное приложение для пользователей! Просто скачайте приложение CalculatorHut на свой мобильный телефон и радуйтесь, у вас в руках огромный выбор бесплатных онлайн-калькуляторов. С CalculatorHut вы можете выполнять любые вычисления на ходу!

С CalculatorHut вы всегда можете наслаждаться простыми вычислениями любого рода, потому что мы стремимся сделать научные расчеты простыми и легкими! CalculatorHut упрощает ваши расчеты!

Гравитация объясняет движение планет; но он не может объяснить, кто приводит в движение планеты.- Исаак Ньютон.

Круговая скорость — обзор

II.A Local Evidence

Местные свидетельства DM в Галактике получены из исследования вертикального ускорения относительно галактической плоскости, так называемого «критерия Оорта». При этом используется тот факт, что гравитационное ускорение, перпендикулярное плоскости Галактики, структурирует распределение звезд в этом направлении и зависит от поверхностной плотности материала в плоскости. Основное предположение состоит в том, что звезды, которые не имеют столкновения, образуют своего рода «газ», вертикальная протяженность которого зависит от дисперсии скоростей и гравитационного ускорения.Например, принимая давление звезд равным ρσ ² , где ρ — плотность звезд, а σ — их дисперсия скоростей в направлении z , тогда вертикальное гидростатическое равновесие при наличии ускорения K _z дает масштабную высоту «изотермического» распределения:

(1) z0≈σ2 / Kz.

Это представляет собой среднюю высоту, которую звезды будут достигать в своих колебаниях в плоскости. Иногда ее называют масштабом и высотой звездного распределения.

Гравитационный потенциал определяется уравнением Пуассона:

(2) 2Φ = −4πGρ = ∇ · K,

, где G — гравитационная постоянная, а K — полное ускорение свободного падения. Разделение этого уравнения на радиальную и вертикальную составляющие в предположении, что система плоская и осесимметричная, позволяет определить вертикальное ускорение. Можно предположить, что звезды в плоскости вращаются вокруг центральных частей галактики, и что

(3) Kr = Θ2rr.

Здесь Θ — круговая скорость на расстоянии r от центра Галактики. При этом предположении уравнение Пуассона принимает вид

(4) ∂∂zKz = −4πGρ + 2ΘrdΘdr,

, где радиальный градиент круговой скорости определяется из наблюдения. Наблюдая за радиальным градиентом на кривой вращения, можно определить вертикальное ускорение по динамике звезд над плоскостью и, таким образом, определить плотность космической массы в окрестности Солнца.

Аргумент основан на том факте, что вертикальное движение звезды через плоскость является движением гармонического осциллятора. Максимальная скорость z возникает, когда звезда проходит через плоскость. Из вертикального градиента в компоненте движения z , V _z , можно получить ускорение, и из этого следует массовая плотность. Если предположить, что звезды начинаются со свободного падения через плоскость, их полная энергия определяется выражением

(5) Φ0 + 12Vz, 02 = 12Vz2,

, так что предполагая, что V _{z , 0} = 0, в Другими словами, из того, что звезда падает с большого расстояния, начав в состоянии покоя, следует, что максимальная скорость через плоскость галактики определяется потенциалом, то есть ускорением, на экстремуме орбиты (апогалактическое расстояние).Вертикальное ускорение является функцией поверхностной плотности массы. Таким образом, подсчет звезд может быть использован для ограничения массы в окрестности Солнца за счет светящегося материала. Обратите внимание, что K _z ∼ −4π G Σ, где Σ — поверхностная плотность, определяемая по формуле

(6) Σ = ∫0zρ (r, z ′) dz ′.

Следовательно, должна быть возможность определить ускорение свободного падения на основе наблюдений за вертикальным распределением звезд, получить требуемую поверхностную плотность и сравнить ее с наблюдениями звезд на плоскости.

Масса, необходимая для объяснения K _z , наблюдаемого в окрестности Солнца, около 0,15 M _⊙ pc ⁻³ , превышает наблюдаемую массу примерно в два раза. Это вряд ли связано с наличием на плоскости множества черных дыр или более экзотических объектов, поскольку, например, стабильность Солнечной системы такова, что исключает многочисленные встречи с такими гравитационными объектами за время ее существования. Похоже, что должно быть значительное количество равномерно распределенных объектов малой массы или какое-то другое объяснение массы.

Недавние наблюдения со спутника FUSE в ультрафиолетовом диапазоне и с ISO в инфракрасном диапазоне показали значительные содержания H ₂ в межзвездной среде. Данные ISO для галактики NGC 891, видимой с ребра, показывают достаточно в этом холодном и потрясенном газе, чтобы учесть компонент disk (только) недостающей массы. Таким образом, кажется вероятным, что для относительно маломассивного компонента дисковых галактик — диска — нет никаких свидетельств существования низкоскоростного экзотического источника темной материи.Однако это не относится к ореолу, о чем мы скоро поговорим.

Разброс скоростей звезд определяется гравитационным потенциалом в отсутствие столкновений. Таким образом, из определения плотности массы в окрестности Солнца на удалении от плоскости можно найти вертикальную составляющую гравитационного ускорения, что приводит к сравнению с дисперсией скоростей звезд в направлении z . В результате сравнения динамического и статического распределений определяется количество массы, требуемой для ускорения, по сравнению с наблюдаемой массой.

Большинство определений K _z показывают, что только от одной трети до половины массы, необходимой для динамики, наблюдается в форме светящейся материи. Несмотря на несколько попыток учесть эту массу в карликовых звездах типа M с чрезвычайно низкой светимостью, нижнем конце массового распределения звездных масс, проблема остается. Масса наблюдаемого гало недостаточна для объяснения вертикального ускорения, а функция масс не распространяется на достаточно малые массы, чтобы решить эту проблему.

Другое локальное определение массы Галактики, на этот раз в плоскости, может быть сделано путем наблюдения максимальной скорости относительно так называемого местного стандарта покоя звезд, вращающихся вокруг центра Галактики. Аргумент лучше всего иллюстрируется на примере точечной массы. В случае круговой орбиты вокруг точки орбитальная скорость Θ задается центробежным ускорением, уравновешенным гравитационным притяжением центральной массы,

(7) Θr = GMr1 / 2,

, и это легко Видно, что убегающая скорость vescr = 2Θr для всех радиусов.Коэффициент немного ниже в случае расширенного распределения масс, но аргумент следует той же основной форме. Местный стандарт покоя (LSR) определяется по скорости Солнца относительно самых далеких объектов, галактик и квазизвездных объектов (QSO), а также системы шаровых скоплений нашей галактики. Максимальная орбитальная скорость, наблюдаемая в окрестности Солнца, должна тогда составлять около 0,4 v _LSR , или в случае нашей системы около 70 км с ⁻¹ в направлении движения Солнца.Для выхода из системы на расстоянии 8,5 кпк с Θ ₀ = 250 км с ⁻¹ , космическая скорость от солнечного круга должна составлять всего около 300 км с ⁻¹ . Массу Галактики можно определить, зная расстояние от Солнца до центра Галактики (определяемое по распределению масс и по яркости переменных звезд в шаровых скоплениях), а также по форме кривой вращения в зависимости от расстояния. от галактического центра.

Формула орбитальной скорости

Объекты, которые равномерно движутся по кругу вокруг Земли, называются «на орбите». Скорость этой орбиты зависит от расстояния от объекта до центра Земли. Скорость должна быть правильной, чтобы расстояние до центра Земли всегда было одинаковым. Формула орбитальной скорости содержит константу G, которая называется «универсальной гравитационной постоянной». Его значение = 6.673 x 10 ^-11 Н ∙ м ² / кг ² . Радиус Земли составляет 6,38 x 10 ⁶ м.

v = орбитальная скорость объекта (м / с)

G = универсальная гравитационная постоянная, G = 6,673×10 ^(-11) Н ∙ м ² / кг ²

м _E = масса Земли (5,98 x 10 ²⁴ кг)

r = расстояние от объекта до центра Земли

Вопросы по формуле орбитальной скорости:

1) Международная космическая станция вращается на высоте 400 км над поверхностью Земли.Какова орбитальная скорость космической станции?

Ответ: Орбитальная скорость зависит от расстояния от центра масс Земли до космической станции. Это расстояние складывается из радиуса Земли и расстояния от космической станции до поверхности:

r = (6,38 x 10 ⁶ м) + (400 км)

r = 6380000 + 400000 м

r = 6780000 м

Орбитальная скорость может быть найдена по формуле:

v = 7672 м / с

Орбитальная скорость Международной космической станции составляет 7672 м / с.

2) Спутник вращается вокруг Земли с орбитальной скоростью 3200 м / с. Какой радиус орбиты?

Ответ: Радиус орбиты можно найти, переписав формулу орбитальной скорости:

Радиус орбиты этого спутника составляет 3,897 x 10 ⁷ м.

Формула орбитальной скорости

Резюме уравнения для величины центростремительной силы

Фелиция Черри
Менеджер по продуктам в области физических наук, физики и наук о Земле

Почти каждый урок физики изучает круговое движение.Студенты тратят много времени на изучение основной формулы и решение задач. В этой статье описывается вывод уравнения для центростремительной силы на основе алгебры.

Это первое уравнение должно быть вам знакомо. Это, вероятно, наиболее часто используемое уравнение в любом первом курсе физики и способ, которым большинство студентов-физиков учатся выражать Второй закон Ньютона:

Уравнение 1.

Чистая сила, действующая на объект, равна массе объекта, умноженной на ускорение объекта. Уравнение 2 применяет этот принцип к объектам, движущимся с равномерным круговым движением, когда объект движется с постоянной скоростью, но продолжает менять направление, так что он движется по круговой траектории. На объект, движущийся с равномерным круговым движением, действует сила, направленная в центр круговой траектории, называемая центростремительной силой . Уравнение 2 повторяет Уравнение 1 для объектов, движущихся с равномерным круговым движением. F _c обозначает центростремительную силу, а _c обозначает центростремительное ускорение.

Уравнение 2.

Уравнение для величины центростремительной силы имеет вид:

Уравнение 3.

При описании линейного движения ускорение обычно описывается как изменение скорости, деленное на изменение во времени. Математически ускорение можно выразить так:

Уравнение 4.

Из Уравнение 2 и Уравнение 3 , центростремительное ускорение или _c , может быть выражено как:

Уравнение 5.

В следующем разделе будет объяснено, почему центростремительное ускорение равно квадрату скорости, деленному на радиус, как записано в уравнении 5 .

В следующем списке определены символы, используемые в этом разделе:
F = величина силы (в ньютонах, Н)
F _c = центростремительная сила, направленная в центр круговой траектории (Н )
м = масса объекта, движущегося по круговой траектории (в килограммах, кг)
v = тангенциальная скорость объекта (метры в секунду, м / с)
v ₁ = начальная скорость (метры в секунду, м / с) (в некоторых текстах это vi или v ₀ )
v ₂ = конечная скорость (метры в секунду, м / с) (в некоторых текстах это v _f )
r = радиус круговой траектории (в метрах, м)
a = величина ускорения (в метрах в секунду в квадрате, м / с ² )
a _c = центростремительное ускорение, направленное в центр круговой траектории (м / с ² ) 9000 4 Δ обозначает изменение, например Δv = ( v ₂ — v ₁ )

Примечание: Этот вывод анализирует векторы, описывающие движение объекта, движущегося в равномерном круговом движении, и использует аналогичные треугольники, чтобы связать скорость объекта с радиусом круговой траектории.