Цены снижены! Бесплатная доставка контурной маркировки по всей России

Формула линейной скорости – Линейная скорость | формула и расшифровка

Содержание

Формула для расчета линейной скорости

Понятие скорости

Когда мы сравниваем движение каких-либо тел, то говорим, что одни тела двигаются быстрее, а другие — медленнее. Такую простую терминологию мы используем в повседневной жизни, говоря, например, о движении транспорта. В физике быстрота движения тел характеризуется определенной величиной. Эта величина называется скоростью. Общее определение скорости (в случае, если тело движется равномерно):

Определение 1

Скорость при равномерном движении тела — это физическая величина, показывающая, какой путь прошло тело за единицу времени.

Под равномерным движением тела подразумевается, что скорость тела постоянна. Формула нахождения скорости: $v=\frac{s}{t}$, $s$ — это пройденный телом путь (то есть длина линии), $t$ — время (то есть промежуток времени, за который пройден путь).

Согласно международной системе СИ, единица измерения линейной скорости является производной от двух основных единиц — метра и секунды, то есть измеряется в метрах в секунду (м/с). Это значит, что под единицей скорости понимается скорость такого равномерного движения, при котором путь в один метр тело проходит за одну секунду.

Также скорость часто измеряют в км/ч, км/с, см/с.

Рассмотрим простой пример задачи на вычисление скорости.

Пример 1

Задача. Двигаясь равномерно, поезд за 4 ч проходит 219 км. Найти его скорость движения.

Решение. $v=\frac{219 км}{4 ч}=54,75\frac{км}{ч}$. Переведём километры в метры и часы в секунды: $54,75\frac{км}{ч}=\frac{54750 м}{3600c}\approx 15,2\frac{м}{c}$.

Ответ. $54,75\frac{км}{ч}$ или $15,2\frac{м}{c}$.

Из примера мы видим, что числовое значение скорости отличается в зависимости от выбранной единицы измерения.

Кроме числового значения, скорость имеет направление. Числовое значение величины в физике называют модулем. Когда у физической величины есть и направление, то эту величину называют векторной. То есть скорость — это векторная физическая величина.

На письме модуль скорости обозначается $v$, а вектор скорости — $\vec v$.

В свою очередь, такие величины как путь, время, длина и другие характеризуются только числовым значением. Тогда говорят, что это скалярные физические величины.

В случае, когда движение является неравномерным, используют понятие средней скорости. Формула средней скорости: $v_{ср}=\frac{s}{t}$, где $s$ — это весь пройденный телом путь, $t$ — всё время движения. Рассмотрим пример задачи на среднюю скорость, чтобы понять разницу.

Пример 2

Задача. Некоторый транспорт за 2,5 часа преодолевает путь в 213 км. Найти его $v_{ср}$.

Решение. $v_{ср}=\frac{213 км}{2,5 ч}= 85,2 \frac{км}{ч}=\frac{213000 м}{9000 с}\approx 23,7\frac{м}{с} $.

Ответ. $85,2 \frac{км}{ч}$ или $23,7\frac{м}{с} $.

Линейная скорость

Определение линейной скорости относится к разделу физики о механике и подразделу о кинематике в рамках вопроса движения по окружности. В измерении скорости движения по окружности выделяют угловую скорость и линейную скорость.

Дадим определение линейной скорости.

Определение 2

Линейная скорость $V$ — это физическая величина, показывающая путь, который прошло тело за единицу времени.

Формула линейной скорости:

$V=\frac{S}{t}$, где $S$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла путь $S$.

Также существует иной вариант этой формулы:

$V=\frac{l}{t}$, где $l$ — путь, $t$ — время, за которое точка прошла по дуге $l$.

В некоторых учебниках линейная скорость также обозначается маленькой буквой $v$.

Есть ещё одна формула, по которой можно найти линейную скорость:

$v=\frac{2\pi R}{T}$.

$2\pi$ соответствует полной окружности (360 угловым градусам).

$\vec V$ направленена по касательной к тракетории.

Связь между линейной и угловой скоростями

Чтобы проследить связь между линейной и угловой скоростями, нужно дать определение угловой скорости.

Определение 3

Угловая скорость — это величина, которая равна отношению угла поворота отрезка, соединяющего точку с центром окружности, к промежутку времени, за который этот поворот произошёл.

Записывается эта формула следующим образом:

$\omega = \frac{\phi}{t}$, где $\phi$ — это угловое перемещение (или угол поворота, измеряется в радианах), $t$ — промежуток времени, за которое соврешено угловое перемещение.

В системе СИ угловая скорость измеряется в рад/с.

Угловую скорость также называют циклической частотой вращения, потому что при вращении твёрдого тела угловая скорость всех его точек одинакова.

Связь между $V$ и $\omega$: $V=\omega R$.

Эта формула выводится из определения модуля центростремительного ускорения.

Определение 4

Центростремительное ускорение $a$ — это ускорение точки при равномерном движении по окружности.

$a=\frac{V^2}{R}$ и $a=\omega^2 R$.

С помощью элементарных математических действий из этих двух формул выводится связь между $V$ и $\omega$.

Таким образом, в данной статье мы разобрали следующие понятия:

  • скорость;
  • линейная и угловая скорость;
  • связь между линейной и угловой скоростями.

spravochnick.ru

Угловая и линейная скорости, формулы и примеры

В системе СИ угловая скорость измеряется в рад/с.

Основные характеристики и формулы

Так как за период угловое перемещение рад, угловая скорость связана с периодом и частотой вращения:

   

   

Рис.1. Линейное и угловое перемещение при равномерном движении точки по окружности

Наряду с понятием угловой скорости для характеристики равномерного движения по окружности сохраняет смысл привычное для нас понятие скорости движения точки вдоль траектории, которое в данном случае называется линейной скоростью.

Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности к промежутку времени, за который эта дуга пройдена.

Линейная скорость тела, которое движется по окружности, не изменяется по модулю, а все время изменяется по направлению, и в любой точке траектории направлена по касательной к дуге этой окружности (рис.1).

Угловая и линейная скорости связаны между собой соотношением:

   

где радиус окружности.

Кинематическое уравнение или закон движения точки по окружности:

   

Примеры решения задач



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



ru.solverbook.com

1.1.8 Движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости точки. Центростремительное ускорение точки

Видеоурок: Движение по окружности

Лекция: Движение тела по окружности. Угловая и линейная скорости точки. Центростремительное ускорение точки

Движение по окружности

Траектория движения — окружность.

Так как скорость — векторная величина, то она зависит не только от модуля значения, но и от направления. Поэтому движение тела по окружности можно назвать равноускоренным. Даже если тело будет двигаться с постоянной по величине скоростью, её направление будет постоянно изменяться.

Любое криволинейное движение можно свести к нескольким движениям по окружности. Примером данного движения является бег по стадиону, ход стрелки часов, прогулка на корде лошади и другое.Основные характеристики движения

1. Линейная скорость

Мгновенная скорость (линейная) — на протяжении всего движения меняет свое направление вдоль касательной к траектории.
Так как траектория движения точки — окружность, то в качестве пути в числителе находится формула длины перемещения.

Поэтому формула мгновенной скорости приобретает следующий вид, где Т — период:

2. Центростремительное ускорение

Направлено перпендикулярно к линейной скорости на протяжении всего движения.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

3. Период вращения

Период вращения — это величина, определяющая время, за которое тело делает одно полное вращение.

Период — это скалярная величина. Основной единицей периода является [Т]=1с.  

Период определяется по формуле:

где N — количество оборотов, t — время, за которое они были совершены.


4. Частота вращения

Определяет, насколько часто совершаются обороты в единицу времени.

Частота — скалярная величина. Измеряется в [n] = 1с-1.

Частота определяется по формуле:

5. Угловое перемещение

Угловое перемещение — величина, которая определяется углом поворота радиуса, соединяющего центр описываемой окружности, с точкой, где находится тело, относительно начального его положения.

Данная величина может измеряться в градусной или радианной мере углов.

6. Угловая скорость

Это значение, которое определяет, насколько изменяется угловое перемещение со временем.

Измеряется в 1 рад/с.Определяется по формуле:
где
— угловая скорость материальной точки, 1/с
— угол поворота радиус — вектора, рад- промежуток времени, с

Угловое перемещение связано с линейной скоростью и центростремительным ускорением следующей формулой:

cknow.ru

Линейная скорость: формула нахождения — OneKu

Содержание статьи:

С точки зрения физики абсолютного покоя не существует. Каждое тело и частицы, которые его составляют, находятся в постоянном движении друг относительно друга. Важной кинематической величиной, характеризующей движение, является скорость. В данной статье приведем формулы линейной скорости для различных типов перемещения тел в пространстве.

Что такое линейная скорость?

Речь идет о физической величине, которая показывает, какое расстояние в пространстве проходит тело за единицу времени. Как правило, скорость обозначают буквой v¯, где символ черты говорит о том, что она является векторной величиной. Измеряется скорость в метрах в секунду (м/с), километрах в час (км/ч), милях в час (мил/ч) и других единицах, предполагающих отношение расстояния ко времени.

Вам будет интересно:«Почаще»: слитно или раздельно? Как написание зависит от части речи?

Вектор скорости v¯ показывает направление реального перемещения тела. Этим он отличается от вектора ускорения, который направлен в сторону действующей силы, но не в сторону движения тела, хотя они могут совпадать.

Мгновенная и средняя скорости

Как найти линейную скорость? Формулу, согласно определению величины, можно записать следующую:

v¯ = dl¯/dt.

Где dl¯ — вектор перемещения тела за время dt. Эта скорость называется мгновенной, поскольку рассчитывается за чрезвычайно короткий промежуток времени dt. Мгновенная скорость в действительности является величиной не стабильной и постоянно меняющейся. Например, представим, что по дороге движется автомобиль. На первый взгляд можно полагать, что в любой момент времени его мгновенная скорость будет постоянной, однако, это не так. Мгновенная скорость испытывает колебания. Если спидометр автомобиля достаточно чувствителен, то он фиксирует эти колебания.

Формула линейной скорости средней ничем не отличается от таковой для мгновенной, однако, измеряется она за более длительный промежуток времени Δt:

v¯ = Δl¯/Δt, где Δt>>dt.

В примере с автомобилем выше, хотя мгновенная скорость испытывает колебания, средняя скорость остается постоянной с определенной точностью на всем участке пути Δl¯.

При решении задач, как правило, используют среднюю скорость. Мгновенная же величина имеет смысл только в случае движения с ускорением.

Равномерное движение по прямой линии

Это идеализированный тип движения, который предполагает, что тело в течение некоторого промежутка времени движется вдоль прямой в пространстве. При этом скорость тела не меняется. Обозначая пройденный путь символом l, получаем формулу:

l = v*t.

Здесь v = const.

Этот тип движения рассматривался еще философами Античной Греции. Они полагали, что для движения тел необходимо прикладывать некоторую силу, поэтому естественным состоянием всех окружающих объектов является покой. Только с приходом эпохи Возрождения благодаря работам Галилея и Ньютона было показано, что если на тело не воздействуют внешние силы, то равномерность и прямолинейность его движения не нарушается.

Скорость при движении по прямой с ускорением

Вам будет интересно:Основные новообразования дошкольного возраста: общая характеристика развития ребенка

Когда появляется внешняя сила, то ее действие на тело приводит к изменению скорости тела. В динамике эта ситуация описывается вторым законом Ньютона:

F¯ = m*a¯.

Если действие силы F¯ происходит на покоящееся изначально тело массой m, то формула нахождения линейной скорости в любой момент времени t примет вид:

v¯ = a¯*t.

В данном случае обе векторные величины направлены в одну и ту же сторону. Эта формула может применяться для описания разгона какого-либо транспортного средства.

Теперь предположим, что автомобиль двигался с некоторой скоростью v0¯, а затем начал останавливаться. В этой случае соответствующее кинематическое уравнение примет вид:

v¯ = v0¯ + a¯*t.

Поскольку модуль скорости |v¯| авто будет уменьшаться со временем, в скалярной форме это равенство запишется так:

v = v0 — a*t.

В данном случае вектора скорости и ускорения направлены в противоположных направлениях.

Все формулы линейной скорости, приведенные в этом пункте, описывают прямолинейное движение с постоянным ускорением.

Вращение тел

Под вращением понимают тип движения, при котором траектория перемещающегося тела представляет собой окружность. Вращение может происходить вокруг оси или вокруг фиксированной точки. Вращение колеса, планет по своим орбитам, спортсменов во время соревнований по фигурному катанию — все это примеры указанного типа движения.

По аналогии с линейным перемещением, главной формулой динамики вращения является следующая:

M = I*α.

Здесь M и I — моменты силы и инерции, соответственно, α — ускорение угловое.

Для описания вращения удобно пользоваться не линейной, а угловой скоростью. Она определяется так:

ω = θ/t.

Где θ — угол, на который тело повернулось за время t. С записанным ускорением α скорость ω связана следующим равенством:

ω = α*t.

Для измерения всех угловых величин используются радианы.

Формула линейной скорости вращения

Выше отмечалось, что вращение удобно описывать в угловых характеристиках. Тем не менее в некоторых случаях важно знать, чему равна линейная скорость по окружности. Формула для этого случая приведена ниже:

v = ω*r.

Здесь r — радиус окружности, равный расстоянию от любой точки траектории тела до оси вращения. Связывающую линейную и угловую скорость формулу получить несложно самостоятельно. Для этого достаточно рассмотреть, какое расстояние по окружности преодолеет тело за известное время t.

Приведенное выражение можно использовать для вычисления линейных скоростей космических тел, например, нашей Земли, вращающейся вокруг Солнца.

Линейная скорость и центростремительное ускорение

Скорость является величиной векторной. Это означает, что тело получает ускорение не только при изменении модуля величины v, но и при изменении ее направления. Последняя ситуация реализуется во время вращения. Вектор мгновенной скорости тела всегда направлен по касательной к окружности. Если за равные промежутки времени тело описывает равные углы относительно центра вращения, то такое движение является равномерным с точки зрения модуля скорости.

Отклонение от прямолинейного движения во время вращения происходит за счет действия центростремительной силы, вызывающей центростремительное ускорение. Оно направлено всегда перпендикулярно скорости, поэтому изменить ее модуль не может. Ускорение центростремительное ac можно вычислить по формуле:

ac = v2/r.

Абсолютная величина ускорения ac показывает, насколько велики центробежные силы, связанные с инерцией вращающегося тела. Практическим примером является занос автомобиля во время крутого поворота. Заметим, что с уменьшением радиуса ac растет медленнее, чем с увеличением линейной скорости.

Задача на определения линейной скорости нашей планеты

Каждый человек понимает, что если автомобиль движется со скоростью 100 км/ч, то эта цифра является достаточно большой в сравнении со скоростями, с которыми люди сталкиваются в повседневной жизни. Любопытно сравнить указанную цифру со скоростью вращения Земли по своей орбите.

Для оценки этой скорости возьмем следующие данные:

  • радиус орбиты — 150 млн км;
  • период одного оборота — 365 земных дней.

Для определения требуемой величины воспользуемся формулой линейной и угловой скорости:

v = ω*r.

Значение ω через период T определяется так:

ω = 2*pi/T.

Тогда для v приходим к равенству:

v = 2*pi*r/T.

Подставляя данные из условия задачи, получим линейную скорость 107,5 тысяч км/ч! Эта цифра означает, что наша Земля перемещается в космическом пространстве в 1000 раз быстрее, чем автомобиль движется по дороге. Мы не чувствуем этой гигантскую скорости, поскольку силы гравитации Земли увлекают за собой атмосферу так, что она находится в покое относительно поверхности планеты.

Источник

1ku.ru

5. Мгновенная угловая скорость.

Мгновенная
угловая скорость равна первой производной
углового перемещения по времени:

(6)

При
равномерном вращении
,
тогда

(7)

6. Связь линейной и угловой скоростей.

Если продолжить
(3), то получим:

или

(8)

(9)

Вектор линейной
скорости
совпадает по направлению
с векторным произведением.
Векторное произведение всегда связано
справилом правого
винта
: вращая головку винта по
направлению вектора,
стоящего на первом месте в (9), к вектору,
стоящему на втором месте, определяем
по поступательному движению винта
направление третьего вектора,
см. рис. 5.

Модуль
векторного произведения:

(10)

7. Модуль и направление углового ускорения.

При
вращении за время
угловая скорость получит приращение,
тогда (8) примет вид:

(11)

Разделим
обе части на
,
получим:

,
(12)

где
отношение
— есть среднее угловое ускорение.

т.е.

(13)

Вектор
углового ускорения
сонаправлен с вектором угловой скости
прии противоположен ему при,
см. рис 6.

8. Связь тангенциального и углового ускорения.

При
вращении за время
угловая скорость получит приращение,
тогда (8) примет вид:

(14)

Разделим
обе части на
,
получим:

(15)

или

(16)

Векторное
произведение:

(17)

Вектор тангенциального
ускорения
совпадает по направлению
с векторным произведением.
Векторное произведение всегда связано
справилом правого
винта
: вращая головку винта по
направлению вектора,
стоящего на первом месте в (13), к вектору,
стоящему на втором месте, определяем
по поступательному движению винта
направление третьего вектора.

9. Мгновенное угловое ускорение.

При
получим мгновенное угловое ускорение:

,
(18)

т.е.
мгновенное угловое ускорение численно
равно первой производной угловой
скорости по времени или – второй
производной углового перемещения по
времени.

Приложение 1.

тип
движения

рисунок,
графики

формулы

Равномерное
движение

Равноускоренное
(равнозамедленное)

движение

Движение
тела, брошенного вертикально вниз

При

При

Движение
тела, брошенного вертикально вверх

При

Движение
тела, брошенного горизонтально

;

;

;

Движение
тела, брошенного под углом к горизонту

Движение
тела по окружности

Тангенциальное
и нормальное ускорение.

При движении по
криволинейной траектории изменяется
не только модуль скорости, но и ее
направление, поэтому вектор ускорения
представляют в виде двух составляющих:
тангенциального ()
и нормального ().

Тангенциальное
(касательное) ускорение
– составляющая
вектора ускорения, направленная вдоль
касательной к траектории в данной
точке. (Тангенциальное ускорение
характеризует изменение скорости по
модулю;

Направление
вектора
совпадает с направлением линейной
скорости или противоположно ему).

Нормальное
ускорение
– составляющая вектора
ускорения, направленная вдоль нормали
к траектории в данной точке. (Нормальное
ускорение характеризует изменение
скорости по направлению. Векторнаправлен по радиусу кривизны
траектории).

Модуль полного
ускорения при этом определяется
соотношением:

.

Направление
полного ускорения
определяют
правилом сложения векторов:

.

Движение
с постоянным ускорением при действии
постоянной силы

Первый
этап — определение типа движения.

Второй
этап — физическая формулировка задачи:
выбор системы отсчета, определение
действующих сил и начальных условий.

Третий
этап — математическая формулировка
задачи: запись уравнений
,

Если

md2х/dt2
=F=mа

не
равно 0, то
движение ускоренное

t
= 0, v
= v0;
x=
x0

Четвертый
этап — математическое решение задачи.

a
= d2х/dt2;

или

a
= dv/dt;

Откуда

dv
= adt;

Интегрируя
обе части

∫ dv
=∫ adt;

Взятие
интеграла дает

v
= at
+ C

постоянные
интегрирования определяюся из начальных
условий

Например,

при

t
= 0, v
= v0;

тогда

v
= v0
+ at

или
используя выражение для скорости

dx/dt
= v0
+ at;

разделяя
переменные

dx
=(v0
+ at)dt;

перемножая
почленно

dx
= atdt
+ v0dt;

Применяя
операцию почленного интегрирования(свойство
интеграла суммы)

∫dx
= ∫ atdt
+ ∫
v0dt

Получаем
интеграл

x
= at2/2
+ x0
+ v0t.

Постоянные
интегрирования определяются из начальных
условий для координаты частицы и скорости

Следует
особо!!!!!! Отметить, что задаются
одновременно координата и скорость
частицы

Это
позволяет делать только классическая
механика

Пятый
этап — проверка полученного решения.

Прием
первый — проверка ответа по размерности.

Прием
второй — проверка ответа по заранее
очевидным результатам.

Редко
используемое и неточное выражение для
средней скорости

vср.
=(t)
t1t2
vdt

Движение
материальной точки под действием
постоянной силы –размерная задача

Прежде
всего, к такому типу движения относится
при определенных условиях движение под
действием силы тяжести. Сила тяжести,
как и любая сила, является векторной
величиной. Примем упрощающее предположение,

что
ее модуль постоянен. Но так как эта сила
направлена к центру Земли, то ее
направление в разных точках земной
поверхности различно. Однако при
исследовании движений тел, перемещающихся
на расстояния, которые намного меньше
радиуса Земли (R ~ 6000 км), можно

пренебречь
кривизной земной поверхности и с хорошей
точностью считать, что сила тяжести не
меняет своего направления, оставаясь
перпендикулярной этой поверхности. В
этих условиях сила тяжести может
рассматриваться постоянной как по
модулю, так и по направлению. Помимо
силы тяжести, с постоянными силами
приходится часто сталкиваться при
рассмотрении работы различных технических
устройств, когда их различные детали
испытывают действие постоянных сил со
стороны других деталей.

Какой
вид имеет траектория камня? От чего
зависит дальность полета? Аристотель
утверждал, например, что на начальном
участке траектория брошенного под углом
к вертикали тела является прямой линией,
и это, вроде бы, подтверждается
непосредственными наблюдениями.
Потребовалось почти два тысячелетия,
чтобы понять, что траектория на самом
деле является криволинейной на всех
участках полета.

Изучение
движения брошенного тела включает в
себя несколько этапов, характерных для
решения большинства задач механики.

Первый
этап — определение типа движения.

Второй
этап — физическая формулировка задачи:
выбор системы отсчета, определение
действующих сил и начальных условий.

любая
точка поверхности движется с ускорением,
обусловленным вращением Земли вокруг
своей оси и вокруг Солнца. Но для многих
практических задач этот эффект
«неинерциальности» является несущественным,
и мы будем полагать, что и в нашей задаче
этим эффектом можно пренебречь и считать
выбранную систему отсчета инерциальной.
В инерциальной системе отсчета справедлив
второй закон Ньютона , где теперь под F
подразумевается постоянная сила тяжести.
Мы изобразили эту силу на рис. 4.2 а для
некоторого произвольного момента
времени после начала движения, поместив
тело известной массы в некоторой
произвольной точке над поверхностью.
Истинное положение тела в различные
моменты времени, то есть траекторию его
движения, мы сможем определить только
после окончательного решения задачи.

рис 4.2

Третий
этап — математическая формулировка
задачи: запись уравнений
,
соответствующих физической формулировке.
Уравнение D.3) содержит в качестве
неизвестных векторные величиныr(t)
и v(t). Поэтому оно фактически представляет
собой совокупность трех уравнений для
трех проекций вышеупомянутых величин.

Для
проекций радиуса-вектора тела введем
обозначения: rх= х,rу= у, rz = z.
Взяв проекции на оси координат от левой
и правой частей уравнения движения, мы
получаем три уравнения:

Справа
от каждого из уравнений записаны
начальные условия, являющиеся

неотъемлемыми
элементами физической и математической
формулировки задачи. Знак «минус» перед
mgв последнем уравнении
отражает тот факт, что сила тяжести
направлена в отрицательном направлении
осиOz.

Четвертый
этап — математическое решение задачи.
Составляющая скоростиvzимеет вид:

Константу
определяем из условия

Интегрируем
еще раз:

Новую
константу определяем из условия z(0)
= 0.

окончательно
решение:

Найденные
выражения определяют зависимость от
времени всех трех проекций радиуса-вектора
тела, движущегося под действием силы
тяжести.

Тем
самым задача о нахождении траектории
движения решена.

достаточно
выразить tчерез х в первом
из равенств и подставить результат в
выражение дляz(t).
Это даетуравнение траекториив плоскостиzOx:

Из
геометрии известно, что это соотношение
представляет собой уравнение

параболической
кривой
, и следовательно, ни на одном
из участков полета тела его траектория
не является прямой линией.

дальность
полета
тела. При падении на поверхностьz= 0, и из этого условия
находим

Пятый
этап — проверка полученного решения.

Прием
первый — проверка ответа по размерности.

Прием
второй — проверка ответа по заранее
очевидным результатам.

Движение
ракеты

Первый
этап — определение типа движения.

Второй
этап — физическая формулировка задачи:
выбор системы отсчета, определение
действующих сил и начальных условий.

Скорость
выброса газов относительно корпуса
ракеты-известна(конструкция сопла, тип
топлива, параметры горения)-это
относительная скорость.

Задача-найти
скорость ракеты, массу и т.д.

Третий
этап — математическая формулировка
задачи: запись уравнений
,

Четвертый
этап — математическое решение задачи.

Формула
Циолковского

Пятый
этап — проверка полученного решения.

Прием
первый — проверка ответа по размерности.

Прием
второй — проверка ответа по заранее
очевидным результатам.

При
переменной во времени скорости истечения

Для
описания движения ракеты в поле Земли
следует добавить силу

Уравнение
Мещерского

Силы

Сила
– степень взаимодействия между объектами

Разложение
сил

studfiles.net

Линейная скорость, теория и онлайн калькуляторы

Словосочетание линейная скорость используют тогда, когда рассматривая криволинейное движение тела, и хотят подчеркнуть разницу между скоростью $v\ $и уголовной скоростью $\omega $. Чаще всего слово линейная опускают и говорят просто скорость.

Вектор средней скорости

Определение

Отношение перемещения ($\Delta \overline{r}$) к промежутку времени в течение которого это перемещение произошло,
называют средней скоростью ($\left\langle \overline{v}\right\rangle $) движения:

\[\left\langle \overline{v}\right\rangle =\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}\left(1\right),\]

где $\Delta \overline{r}$ — изменение радиус-вектора материальной точки за время $\Delta t$ (рис.1).

Вектор средней скорости $\left\langle \overline{v}\right\rangle $ имеет такое же направление как вектор $\Delta \overline{r}$, так как $\Delta t>0$. Длина отрезка, изображающего вектор средней скорости (рис.1) не связана с длиной вектора $\Delta \overline{r}$.

Средняя скорость характеризует быстроту перемещения точки. Данная характеристика относится к определенному промежутку времени.

Если тело движется по кривой, то путь ($\Delta s$) больше модуля перемещения ($\Delta r$) за один и тот же промежуток времени, так как длина дуги всегда меньше длины стягивающей ее хорды (рис.1). Путь и перемещение совпадают при прямолинейном движении в одном направлении. Величина средней скорости прохождения пути определена как:

\[\left\langle v\right\rangle {\rm =}\frac{\Delta s}{\Delta t}\left(2\right).\]

Средняя скорость характеризует быстроту перемещения материальной точки за конечный промежуток времени

Мгновенная скорость

Определение

Уменьшая промежуток времени, в который рассматривается движение частицы ($\Delta t\to 0$), мы получаем характеристику движения точки в данный момент времени. Величина равная:

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left\langle \overline{v}\right\rangle =\ }{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}=\frac{d\overline{r}}{dt}\left(3\right),\ }\]

называется мгновенной скоростью или просто скоростью.

При вычислении скорости по формуле (3) очевидно, что уменьшение промежутка времени $\Delta t$ ведет к тому, что в конце концов очередные получаемые величины средней скорости будут мало отличаться друг от друга. Поэтому при нахождении мгновенной скорости останавливаются на конечном значении $\Delta t,\ $но малом, для того чтобы была возможность получить необходимую точность величины скорости.

Предельный переход (3) имеет геометрический смысл. Вектор $\Delta \overline{r}$ направлен вдоль хорды, соединяющей две т

www.webmath.ru

Линейная скорость: формула нахождения

С точки зрения физики абсолютного покоя не существует. Каждое тело и частицы, которые его составляют, находятся в постоянном движении друг относительно друга. Важной кинематической величиной, характеризующей движение, является скорость. В данной статье приведем формулы линейной скорости для различных типов перемещения тел в пространстве.

Что такое линейная скорость?

Речь идет о физической величине, которая показывает, какое расстояние в пространстве проходит тело за единицу времени. Как правило, скорость обозначают буквой v¯, где символ черты говорит о том, что она является векторной величиной. Измеряется скорость в метрах в секунду (м/с), километрах в час (км/ч), милях в час (мил/ч) и других единицах, предполагающих отношение расстояния ко времени.

Вектор скорости v¯ показывает направление реального перемещения тела. Этим он отличается от вектора ускорения, который направлен в сторону действующей силы, но не в сторону движения тела, хотя они могут совпадать.

Мгновенная и средняя скорости

Как найти линейную скорость? Формулу, согласно определению величины, можно записать следующую:

v¯ = dl¯/dt.

Где dl¯ — вектор перемещения тела за время dt. Эта скорость называется мгновенной, поскольку рассчитывается за чрезвычайно короткий промежуток времени dt. Мгновенная скорость в действительности является величиной не стабильной и постоянно меняющейся. Например, представим, что по дороге движется автомобиль. На первый взгляд можно полагать, что в любой момент времени его мгновенная скорость будет постоянной, однако, это не так. Мгновенная скорость испытывает колебания. Если спидометр автомобиля достаточно чувствителен, то он фиксирует эти колебания.

Формула линейной скорости средней ничем не отличается от таковой для мгновенной, однако, измеряется она за более длительный промежуток времени Δt:

v¯ = Δl¯/Δt, где Δt>>dt.

В примере с автомобилем выше, хотя мгновенная скорость испытывает колебания, средняя скорость остается постоянной с определенной точностью на всем участке пути Δl¯.

При решении задач, как правило, используют среднюю скорость. Мгновенная же величина имеет смысл только в случае движения с ускорением.

Равномерное движение по прямой линии

Это идеализированный тип движения, который предполагает, что тело в течение некоторого промежутка времени движется вдоль прямой в пространстве. При этом скорость тела не меняется. Обозначая пройденный путь символом l, получаем формулу:

l = v*t.

Здесь v = const.

Этот тип движения рассматривался еще философами Античной Греции. Они полагали, что для движения тел необходимо прикладывать некоторую силу, поэтому естественным состоянием всех окружающих объектов является покой. Только с приходом эпохи Возрождения благодаря работам Галилея и Ньютона было показано, что если на тело не воздействуют внешние силы, то равномерность и прямолинейность его движения не нарушается.

Скорость при движении по прямой с ускорением

Когда появляется внешняя сила, то ее действие на тело приводит к изменению скорости тела. В динамике эта ситуация описывается вторым законом Ньютона:

F¯ = m*a¯.

Если действие силы F¯ происходит на покоящееся изначально тело массой m, то формула нахождения линейной скорости в любой момент времени t примет вид:

v¯ = a¯*t.

В данном случае обе векторные величины направлены в одну и ту же сторону. Эта формула может применяться для описания разгона какого-либо транспортного средства.

Теперь предположим, что автомобиль двигался с некоторой скоростью v0¯, а затем начал останавливаться. В этой случае соответствующее кинематическое уравнение примет вид:

v¯ = v0¯ + a¯*t.

Поскольку модуль скорости |v¯| авто будет уменьшаться со временем, в скалярной форме это равенство запишется так:

v = v0 — a*t.

В данном случае вектора скорости и ускорения направлены в противоположных направлениях.

Все формулы линейной скорости, приведенные в этом пункте, описывают прямолинейное движение с постоянным ускорением.

Вращение тел

Под вращением понимают тип движения, при котором траектория перемещающегося тела представляет собой окружность. Вращение может происходить вокруг оси или вокруг фиксированной точки. Вращение колеса, планет по своим орбитам, спортсменов во время соревнований по фигурному катанию — все это примеры указанного типа движения.

По аналогии с линейным перемещением, главной формулой динамики вращения является следующая:

M = I*α.

Здесь M и I — моменты силы и инерции, соответственно, α — ускорение угловое.

Для описания вращения удобно пользоваться не линейной, а угловой скоростью. Она определяется так:

ω = θ/t.

Где θ — угол, на который тело повернулось за время t. С записанным ускорением α скорость ω связана следующим равенством:

ω = α*t.

Для измерения всех угловых величин используются радианы.

Формула линейной скорости вращения

Выше отмечалось, что вращение удобно описывать в угловых характеристиках. Тем не менее в некоторых случаях важно знать, чему равна линейная скорость по окружности. Формула для этого случая приведена ниже:

v = ω*r.

Здесь r — радиус окружности, равный расстоянию от любой точки траектории тела до оси вращения. Связывающую линейную и угловую скорость формулу получить несложно самостоятельно. Для этого достаточно рассмотреть, какое расстояние по окружности преодолеет тело за известное время t.

Приведенное выражение можно использовать для вычисления линейных скоростей космических тел, например, нашей Земли, вращающейся вокруг Солнца.

Линейная скорость и центростремительное ускорение

Скорость является величиной векторной. Это означает, что тело получает ускорение не только при изменении модуля величины v, но и при изменении ее направления. Последняя ситуация реализуется во время вращения. Вектор мгновенной скорости тела всегда направлен по касательной к окружности. Если за равные промежутки времени тело описывает равные углы относительно центра вращения, то такое движение является равномерным с точки зрения модуля скорости.

Отклонение от прямолинейного движения во время вращения происходит за счет действия центростремительной силы, вызывающей центростремительное ускорение. Оно направлено всегда перпендикулярно скорости, поэтому изменить ее модуль не может. Ускорение центростремительное ac можно вычислить по формуле:

ac = v2/r.

Абсолютная величина ускорения ac показывает, насколько велики центробежные силы, связанные с инерцией вращающегося тела. Практическим примером является занос автомобиля во время крутого поворота. Заметим, что с уменьшением радиуса ac растет медленнее, чем с увеличением линейной скорости.

Задача на определения линейной скорости нашей планеты

Каждый человек понимает, что если автомобиль движется со скоростью 100 км/ч, то эта цифра является достаточно большой в сравнении со скоростями, с которыми люди сталкиваются в повседневной жизни. Любопытно сравнить указанную цифру со скоростью вращения Земли по своей орбите.

Для оценки этой скорости возьмем следующие данные:

  • радиус орбиты — 150 млн км;
  • период одного оборота — 365 земных дней.

Для определения требуемой величины воспользуемся формулой линейной и угловой скорости:

v = ω*r.

Значение ω через период T определяется так:

ω = 2*pi/T.

Тогда для v приходим к равенству:

v = 2*pi*r/T.

Подставляя данные из условия задачи, получим линейную скорость 107,5 тысяч км/ч! Эта цифра означает, что наша Земля перемещается в космическом пространстве в 1000 раз быстрее, чем автомобиль движется по дороге. Мы не чувствуем этой гигантскую скорости, поскольку силы гравитации Земли увлекают за собой атмосферу так, что она находится в покое относительно поверхности планеты.

autogear.ru

admin / 25.05.2019 / Разное

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о