Цены снижены! Бесплатная доставка контурной маркировки по всей России

Формула связывающая линейную и угловую скорости: 404 — Страница не найдена

Содержание

1. Формула, связывающая линейную и угловую скорости движения тела a  = 2πν


1. Формула, связывающая линейную и угловую скорости движения тела

A)  = 2πν.

B) .

C) .

D)  = R.

E) .


2. На тело массой 500 г, движущееся с ускорением 2 м/с2, действует сила

A) 1000 Н

B) 1 Н

C) 10 Н

D) 250 Н

E) 100 Н


3. Кинетическая энергия тела массой 10 кг, имеющего скорость 36 км/час

A) 500 Дж

B) 12960 Дж

C) 5000 Дж

D) 180 Дж

E) 360 Дж


4. Тело сохраняет свой объем, но легко меняет форму в состоянии

A) газообразном.

B) жидком и твердом.

C) твердом.

D) жидком.

E) жидком и газообразном.


5. Температуре 4К по шкале Цельсия соответствует

A) 40 С.

B) -2690 С.

C) 2690 С.

D) -40 С.

E) 2770 С.


6. Если напряженность электрического поля на внешней поверхности проводника равна Е0, то напряженность Е внутри проводника будет

A) Е > Е0

B) Е = 0

C) Е = 2Е0

D) Е = Е0

E) Е 0


7. При прохождении по металлическому проводнику переменного электрического тока наблюдаются следующие действия

1) проводник нагревается; 2) изменяется химический состав проводника; 3) вокруг проводника появляется магнитное поле; 4) проводник укорачивается.

A) 1, 2, 3, 4.

B) 1, 2, 3.

C) 1, 3.

D) 2, 3, 4.

E) 1, 3, 4.


8. Проводник с током 2А длиной 2 м находится в магнитном поле с индукцией 1Тл .Если угол наклона проводника к линиям индукции 30, то на проводник действует сила

A) 4 Н.

B) 1 Н.

C) 2 Н.

D) 3 Н.

E) 5 Н.


9. За 4 с маятник совершает 8 колебаний. Частота колебаний

A) 2 Гц.

B) 4 Гц.

C) 8 Гц.

D) 0,5 Гц.

E) 0,25 Гц.


10. Для связи с космическими станциями применяют волны

A) ультракороткие.

B) средние.

C) низкой частоты.

D) короткие.

E) длинные.


11. Согласно гипотезе Планка, абсолютно черное тело излучает энергию

A) непрерывно.

B) не излучает.

C) при высоких температурах непрерывно, а при низких — порциями.

D) порциями.

E) при высоких температурах порциями, а при низких — непрерывно.


12. Энергия фотона, поглощаемого фотокатодом, равна 5 эВ. Работа выхода электрона из фотокатода равна 2 эВ. Найдите величину задерживающего потенциала, при котором прекратился фототок (е = 1,610-19 Кл).

A) 7 В.

B) 3 В.

C) 3,5 В.

D) 10 В.

E) 2,5 В.


13. Энергия покоя электрона (me=9,1·10-31 кг; с=3∙108 м/с).

A) 8,1910-12 Дж.

B) 8,1910-14 Дж.

C) 8,1910-16 Дж.

D) 8,1910-15 Дж.

E) 8,1910-13 Дж.


14. Число протонов в ядре равно

A) числу электронов в оболочке нейтрального атома.

B) A-Z.

C) A+Z.

D) числу нейтронов в ядре.

E) массовому числу А.


15. При ядерной реакции освобождается

A) .

B) .

C) .

D) .

E) .


16. Поезд за 20 с достиг скорости 25 м/с, двигаясь с ускорением 0,2 м/с2. За это время он прошел путь

A) 460 м.

B) 810 м.

C) 1440 м.

D) 1960 м.

E) 2000 м.


17. Площадь меньшего поршня гидравлического пресса 10 . На него действует сила 200 Н. Площадь большего поршня 200 . При этом на большой поршень действует сила

A) 40 кН.

B) 4 Н.

C) 4 кН.

D) 400 кН.

E) 400 Н.


18. Вагонетку массой 2т по горизонтальному пути человек равномерно перемещает на 100м. Если коэффициент трения 0,01, то на этом пути человек совершает работу (g = 10 м/с2)

A) 200 кДж.

B) 20 кДж.

C) 2 кДж.

D) 0,2 кДж.

E) 20 Дж.


19. Космический корабль массой 50000 кг имеет реактивный двигатель с силой тяги 105 Н. Двигатель работал 6 с. Скорость корабля изменилась на

A) 1,210-2 м/с.

B) 1,210-2 м/мин.

C) 12 м/с.

D) 12 м/мин.

E) 0,2 м/с.


20. Материальная точка летит в направлении неподвижной стенки со

скоростью , перпендикулярной стенке. Происходит абсолютно

упругий удар. Изменение проекции импульса точки на

ось X

A) 0.

B) 2m.

C) –2m.

D) –m.

E) m.


21. Мяч массой 0,5 кг брошен вертикально вверх со скоростью 10. Если сопротивлением воздуха перенебречь, то на высоте 4 м мяч обладает кинетической энергией равной

A) 10 Дж

B) 5 Дж

C) –5 Дж

D) 0

E) –10 Дж


22. Удельная теплота плавления свинца 22,6 кДж/Кг. Для того чтобы расплавить за 10 мин 60 кг свинца, взятого при температуре плавления, мощность нагревателя должна быть

A) 2,26 кВт

B) 13500 кВт

C) 0,226 Вт

D) 226 Вт

E) 81300 кВт


23. Внутренняя энергия 4 моль одноатомного идеального газа при уменьшении его температуры на 200 К изменится на (R = 8,31 Дж/(моль·К)

A) ≈5 кДж .

B) ≈25 кДж.

C) ≈15 кДж.

D) ≈10 кДж.

E) ≈20 кДж.


24. Идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 в процессе, представленном на диаграмме р – V. В этом процессе

A) газ совершил работу 200 Дж.

B) работа равна нулю.

C) газ совершил работу 400 Дж.

D) внешние силы совершили работу над газом 200 Дж.

E) внешние силы совершили работу над газом 400 Дж.


25. Чтобы получить энергию Q = Дж, нужно сжечь каменного угля

(q = Дж/кг)

A) кг.

B) кг.

C) кг.

D) кг.

E) кг.


26. При постоянном давлении 105 Па объем воздуха, находящегося в помещении, увеличился на 200 дм3. При этом газ совершил работу

A) 2·104Дж

B) 2·106Дж

C) 2·105Дж

D) 20Дж

E) 5·106 Дж


27. Конденсатор отключен от источника. Если удвоить заряд на каждой из пластин конденсатора, то его энергия

A) увеличится в 2 раза.

B) увеличится в 4 раза.

C) не изменится.

D) увеличится в 8 раз.

E) увеличится в 16 раз.


28. — частица, влетевшая в магнитное поле со скоростью 106 м/с, движется по траектории с радиусом кривизны 1,038 м. Индукция магнитного поля равна ( кг; Кл)

A) 2,5 мТл.

B) 20 мТл.

C) 5 мТл.

D) 0,4 Тл.

E) 10 мТл.


29. Движение математического маятника задано уравнением

x = 0,1cos(2t+).

Период его колебаний равен

A) 2 c.

B) 1 c.

C)

D)  c.

E) 0,1 c.


30. Если электрическую емкость конденсатора уменьшить в 2 раза, то емкостное сопротивление

A) увеличится в 2 раза.

B) увеличится в 4 раза.

C) уменьшится в 2 раза.

D) уменьшится в 4 раза.

E) не изменится.


31. Перед вертикально поставленным плоским зеркалом стоит человек. Если человек приблизится к плоскости зеркала на 1 м, то расстояние между человеком и его изображением

A) увеличится на 2 м.

B) уменьшится на 1 м.

C) уменьшится на 2 м.

D) не изменится.н

E) уменьшится на 0,5 м.


32. Предмет находится между фокусом и двойным фокусом рассеивающей линзы. При этом будет наблюдаться изображение

A) перевернутое, увеличенное, мнимое.

B) прямое, увеличенное, мнимое.

C) прямое, увеличенное, действительное.

D) прямое, уменьшенное, мнимое.

E) перевернутое, уменьшенное, действительное.


33. Частота фотона, излучаемого при переходе атома из возбужденного состояния с энергией Е1 в основное состояние с энергией Е0, равна

A) .

B) .

C) .

D) .

E) .


34. Трамвай, двигаясь от остановки равноускоренно, прошел путь 30 м за 10 с. В конце пути он приобрел скорость

A) 3 м/с

B) 7,5 м/с

C) 9 м/с

D) 6 м/с

E) 4,5 м/с


35. Наклонившись под углом 600 к горизонту, конькобежец описал окружность радиусом 20 м. Его скорость равна (; )

A) 25 м/с.

B) 11 м/с.

C) 5 м/с.

D) 15 м/с.

E) 19 м/с


36. При подвешивании груза массой 2 кг пружина удлиняется на 4 см. Работа, совершенная при удлинении ее от 2 до 12 см, равна

A) 2,5 Дж.

B) 3,5 Дж.

C) 3,8 Дж.

D) 3,6 Дж.

E) 3 Дж.


37. На глубине 40 м в стоячей воде пузырек воздуха имеет объем

3 мм3. Объем этого же пузырька при подъеме его на поверхность воды равен (процесс считать изотермическим, атмосферное давление 105 Па).

A) 15 мм3

B) 120 мм3

C) 60 мм3

D) 24 мм3

E) 12 м3


38. Электрон, пролетевший ускоряющую разность потенциалов 100В обладает скоростью ( е = 1,6·10-19 Кл; m = 9·10-31 кг)

A) 3 км/с.

B) 3·106 м/с.

C) 6·106 м/с.

D) 6 км/с.

E) 106 м/с.


39. При электролизе раствора серной кислоты за 1 час выделилось 0,3 г водорода. Если сопротивление его 0,4 Ом, а электрохимический эквивалент водорода 0,01·10-6 кг/Кл, то мощность, расходуемая на нагревание электролита

A) ≈45 Вт.

B) ≈20 Вт.

C) ≈26 Вт.

D) ≈50 Вт.

E) ≈150 Вт.


40. При гармонических колебаниях вдоль оси ox координата тела изменяется по закону x = 0,4 sin2t (м). Модуль амплитуды ускорения равна

A) 0,4 м/с2 .

B) 1,6 м/с2.

C) 0,1 м/с2 .

D) 0,8 м/с2 .

E) 0,2 м/с2.

Физические диктанты по механике 9

Физический диктант

1 вариант

1. Свободное падение тела это такое движение…

2. Перемещением тела называется…

3. Система отсчёта – это…

4. Траектория движения – это…

5. Формула, связывающая линейную скорость с угловой:

6. Формула ускорения:

7. Формулы перемещения равноускоренного движения:

8. Начертить график скорости равноускоренного движения:

9. Формулы угловой скорости через период и частоту:

10. Единицы измерения: v — ; s — ; а — ; x — ; t — .


2 вариант

1. Равномерное криволинейное движение это такое движение…

2. Механическим движением тела называется…

3. Линейная скорость при движении по окружности направлена…, а ускорение направлено…

4. Пройденный путь – это физическая величина…

5. Формула центростремительного ускорения:

6. Формула скорости равноускоренного движения:

7. Начертить график зависимости координаты равноускоренного движения от времени:

8. Формулы линейной скорости через период и частоту вращения:

9. Перевести в СИ: 1 л = ; 1 км = ; 1 см2 = ;

1 см3 = ; 1 г = ; 1 т = ; 1 ч = .

10. Какие физические величины измеряются: м…; с…; м/с…; м/с2…; м2…; м3


Физический диктант

1 вариант

1. Принцип причинности…

2. Сформулировать второй закон Ньютона…

3. Инерциальная система отсчёта – это такая система отсчета…

4. Сила – это…

5. Формула, связывающая линейную скорость с угловой:

6. Формула ускорения:

7. Формулы перемещения равноускоренного движения:

8. Начертить график скорости равноускоренного движения:

9. Формулы угловой скорости через период и частоту:

10. Единицы измерения: v — ; s — ; а — ; x — ; t — ; F — ; m — ; w — ; Т — .

2 вариант

1. Равномерное криволинейное движение это такое движение…

2. Инерция – это явление…

3. Линейная скорость при движении по окружности направлена…, а ускорение направлено…

4. Существуют инерциальные системы отсчёта, относительно которых…

5. Формула центростремительного ускорения:

6. Формула скорости равноускоренного движения:

7. Инертность – это свойство присущее всем телам и заключается оно в том, что…

8. Формулы линейной скорости через период и частоту вращения:

9. Перевести в СИ: 1 л = ; 1 км = ; 1 см2 = ;

1 см3 = ; 1 г = ; 1 т = ; 1 ч = .

10. Какие физические величины измеряются: м…; с…; м/с…; м/с2…; м2…; м3


1 вариант

1. Свободное падение тела это такое движение…

2. Перемещением тела называется…

3. Система отсчёта – это…

4. Траектория движения – это…

5. Формула, связывающая линейную скорость с угловой:

6. Формула ускорения:

7. Формулы перемещения равноускоренного движения:

8. Начертить график скорости равноускоренного движения:

9. Формулы угловой скорости через период и частоту:

10. Единицы измерения: v — ; s — ; а — ; x — ; t — .


2 вариант

1. Равномерное криволинейное движение это такое движение…

2. Механическим движением тела называется…

3. Линейная скорость при движении по окружности направлена…, а ускорение направлено…

4. Пройденный путь – это физическая величина…

5. Формула центростремительного ускорения:

6. Формула скорости равноускоренного движения:

7. Начертить график зависимости координаты равноускоренного движения от времени:

8. Формулы линейной скорости через период и частоту вращения:

9. Перевести в СИ: 1 л = ; 1 км = ; 1 см2 = ;

1 см3 = ; 1 г = ; 1 т = ; 1 ч = .

10. Какие физические величины измеряются: м…; с…; м/с…; м/с2…; м2…; м3

Криволинейное движение. Равномерное движение по окружностиФО

Формативное оценивание «Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности»

Ф.И.О.  ___________________________ Класс _____

Цели обучения:

·         Понимать и описывать равномерное движение тела по окружности

·         Качественно объяснять движение по криволинейной траектории с угловой скоростью и ускорением

·         Знать и применять формулы центростремительного ускорения

 

1.      Соедините соответствующие значения.

Период Т[c]

Частота ν[Гц]

0,5

1

0,1

2

0,25

4

1

10

 

2.      Укажите направление вектора скорости для каждого автомобиля. 

 

3.      Заполните таблицу, принимая π ≈ 3,14. Округлите результат до двух десятичных разрядов.

ν [Гц]

Т [с]

ω [рад/с]

 

 

5

 

3,14

 

6,28

 

 

ν [Гц]

Т [с]

ω [рад/с]

 

 

12,56

 

1,57

 

10

 

 

 

4.      Укажите правильное утверждение

Чем дальше от оси вращения, тем меньше линейная скорость

Чем ближе к оси вращения, тем меньше линейная скорость

Чем дальше от оси вращения, тем больше угловая скорость

Чем ближе к оси вращения, тем больше угловая скорость

 

5.      При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника Земли период его обращения увеличивается в 8 раз. Во сколько раз изменяется скорость движения спутника по орбите?

6.      Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100м со скоростью 54км/ч. Какова величина центростремительного ускорения автомобиля?

Критерий оценивания

№ задания

Дескриптор

Балл

Учащийся

Определяет направление вектора скорости движущегося по окружности тела

2

Указывает на рисунке направления вектора скорости красного автомобиля

1

Указывает на рисунке направления вектора скорости желтого автомобиля

1

Применяет угловые параметры тела, движущегося по криволинейной траектории при решении задач

1

Правильно соотносит период и частоту, используя формулу:

2

3

 

Использует формулу связи периода и угловой скорости

1

Использует формулу связи частоты и угловой скорости

1

Использует формулу связи частоты и периода

1

Правильно вычисляет искомые величины

1

4

Выбирает правильные утверждения

2

5

Использует формулу связи периода и линейной скорости

1

Правильно выводит формулу зависимости

1

Правильно вычисляет искомые величины

1

Применяет формулы для нахождения центростремительного ускорения

6

Записывает формулу, связывающую линейную скорость тела с центростремительным ускорением

      1

 

Производит вычисления

      1  

Всего баллов

15

 

Формативное оценивание «Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности»

Ф.И.О.  ___________________________ Класс _____

Цели обучения:

·         Понимать и описывать равномерное движение тела по окружности

·         Качественно объяснять движение по криволинейной траектории с угловой скоростью и ускорением

·         Знать и применять формулы центростремительного ускорения

 

7.      Соедините соответствующие значения.

Период Т[c]

Частота ν[Гц]

0,5

1

0,1

2

0,25

4

1

10

 

8.      Укажите направление вектора скорости для каждого автомобиля. 

Красный автомобиль

 

 

Желтый автомобиль

 

 

 

9.      Заполните таблицу, принимая π ≈ 3,14. Округлите результат до двух десятичных разрядов.

ν [Гц]

Т [с]

ω [рад/с]

0,80

1,26

5,00

 0,32

3,14

2,01

6,28

1,00

39,44

ν [Гц]

Т [с]

ω [рад/с]

2,00

0,50

12,56

0,64

1,57

4,02

10,00

0,10

62,80

 

10.  Укажите правильное утверждение

Чем дальше от оси вращения, тем меньше линейная скорость

Чем ближе к оси вращения, тем меньше линейная скорость

Чем дальше от оси вращения, тем больше угловая скорость

Чем ближе к оси вращения, тем больше угловая скорость

 

11.  При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника Земли период его обращения увеличивается в 8 раз. Во сколько раз изменяется скорость движения спутника по орбите?

 

 

Дано:

R2=4R1

T2=8T1

Решение:

Ответ: Скорость спутника уменьшится в 2 раза.

Найти:

12.  Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100м со скоростью 54 км/ч. Какова величина центростремительного ускорения автомобиля?

Дано:

R=100 м

ϑ=54 км/ч

СИ

 

15 м/с

Решение:

 

Ответ:

Найти:

ац -?

 

 

Критерий оценивания

№ задания

Дескриптор

Балл

Учащийся

Определяет направление вектора скорости движущегося по окружности тела

2

Указывает на рисунке направления вектора скорости красного автомобиля

1

Указывает на рисунке направления вектора скорости желтого автомобиля

1

Применяет угловые параметры тела, движущегося по криволинейной траектории при решении задач

1

Правильно соотносит период и частоту, используя формулу:

2

3

 

Использует формулу связи периода и угловой скорости

1

Использует формулу связи частоты и угловой скорости

1

Использует формулу связи частоты и периода

1

Правильно вычисляет искомые величины

1

4

Выбирает правильные утверждения

2

5

Использует формулу связи периода и линейной скорости

1

Правильно выводит формулу зависимости

1

Правильно вычисляет искомые величины

1

Применяет формулы для нахождения центростремительного ускорения

6

Записывает формулу, связывающую линейную скорость тела с центростремительным ускорением

      1

 

Производит вычисления

      1  

Всего баллов

15

 


 

Сборник задач по физике часть механика москва 2007 кинематика

Главная
страница 1страница 2страница 3 … страница 10страница 11
Движение по окружности

Основные формулы данного раздела:


  1. определение угловой скорости движения

w = dj/dt, (1.3.1)

что при равномерном вращении сводится к известной формуле

w = 2p/T, (1.3.1’)

где T – период обращения;



  1. определение углового ускорения

= dw/dt; (1.3.2)

  1. формула, связывающая линейную и угловую скорости,

V = w R; (1.3.3)

  1. формула, связывающая тангенциальное и угловое ускорения,

at = R; (1.3.4)

  1. две формулы для нормального (центростремительного) ускорения

an = V2/R = w2R. (1.3.5-6)
Задачи.

      1. Определить линейную скорость вращения точек земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60о) и на экваторе. Радиус Земли – 6370 км. Выразить скорость в км/ч. [232 м/с = 834 км/ч; 464 м/с = 1668 км/ч]

      1. Определить центростремительное ускорение точек земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60о) и сравнить его с ускорением свободного падения. Радиус Земли – 6370 км. [0.0168 м/с2; » в 583 раза меньше]

      1. Найти линейную скорость вращения Луны вокруг Земли. Период вращения – 27.3 суток; среднее расстояние от Земли до Луны – 3.84 105 км. [» 1 км/с – скорость современного самолета, делающего 3 «Маха»]

      1. Найти линейную скорость вращения Земли вокруг Солнца. Среднее расстояние от Земли до Солнца – 149 млн. км. [» 30 км/с]

      1. Центрифуга, используемая для тренировки космонавтов, совершает 0.5 об/с при радиусе траектории 4 м. Определить линейную скорость и центростремительное ускорение космонавта. Сравнить последнее с ускорением свободного падения. [12.6 м/с » 45.2 км/ч; 39.4 м/с2; » 4 g]

      1. Реактивный самолет, движущийся со скоростью 1800 км/ч, выполняет маневр и летит по дуге радиусом 3 км. Чему равно ускорение самолета, выраженное в g? [8.5g]

      1. (*) Автомобиль едет по дороге со скоростью V без проскальзывания колес. (Т.е. это – не резкое торможение, когда машина едет юзом, и не лихой старт с дымом из под колес.) Радиус автомобиля колеса – R. Определить угловую скорость вращения колеса. []

      1. Сколько оборотов в секунду делает колесо автомобиля диаметром 60 см, когда автомобиль едет со скоростью: а) 60 км/ч; б) 120 км/ч? [8.84; 17.7]

      1. (*) В кассетном магнитофоне скорость движения ленты мимо магнитной головки постоянна и равна 4.76 см/с. При прослушивании кассеты, рассчитанной на 45 мин, от начала и до конца показания счетчика оборотов приемной «катушки» составили 1145. Зная радиус «катушек» без пленки (1.1 см) определите толщину пленки. [12 мкм]

  1. ДИНАМИКА ТОЧКИ

    1. Законы Ньютона

Первый закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета (называемые инерциальными системами отсчета), относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела (силы). – Первая часть формулировки (утверждении о существовании особых систем отсчета) здесь чрезвычайно важна, — но как раз ее-то чаще всего и опускают. (Если бы не было этой части, 1-ый закон Ньютона был бы тривиальным следствием 2-го закона.) – 1-ый закон Ньютона гарантирует вам (в отсутствие сил) «покой» лишь в инерциальных системах отсчета. Точнее так: он гарантировал бы его вам. – Потому, что требуется еще уточнение. Строго говоря, ни про одну известную нам систему отсчета мы не можем с полной уверенностью сказать, что она инерциальная. Про автобус, делающий поворот или резко тормозящий, мы точно знаем, что система отсчета, связанная с ним, — заведомо не инерциальная. – В ней 1-ый закон динамики не обязан «работать» и не «работает». Про поезд, движущийся горизонтально с постоянной скоростью относительно земли, мы можем сказать, что система отсчета, связанная с ним, с хорошей точностью инерциальная. – А что же сама Земля? – Система отсчета, связанная с Землей, тоже с очень хорошей точностью может считаться инерциальной. – В конце концов, к самому 1-му закону Ньютона ученые пришли, наблюдая за движением тел именно в этой системе отсчета. – Впрочем, если хорошенько присмотреться, то и в ней творятся «странные вещи», не совместимые с представлениями об истинно инерциальной системе отсчета. – О маятнике Фуко, у которого изменяется плоскость колебаний, вероятно, все слышали! – Причиной неинерциальности системы отсчета, связанной с Землей, является вращение Земли вокруг собственной оси (а точнее – еще и вращение Земли вокруг Солнца, … а вместе с Солнцем – еще и вращение вокруг центра Галактики).

Так не толкует ли нам 1-ый закон Ньютона … о пустом множестве систем отсчета, которые «он называет» инерциальными? – Строго говоря, по-видимому, это так. Другое дело, что мы знаем (об этом нам говорит опыт), что приближенно очень многие системы отсчета можно считать инерциальными. Часто физикам в конкретных задачах хватает такой степени приближенной инерциальности. В других задачах – не хватает, и тогда приходится явно учитывать неинерциальность той или иной системы отсчета. Физики давно научились это делать.

1-ый закон динамики часто называют «законом инерции». А вот «законом Ньютона» его называют, может быть, не вполне справедливо. Не умаляя заслуг И. Ньютона, справедливость требует отдать должное Г. Галилею: он сформулировал его за 60 лет до Ньютона (в 1638 г.), правда, в несколько менее общей форме («Математические начала натуральной философии» Ньютона вышли в свет лишь в 1697 г.).
Второй закон Ньютона. При формулировке 2-го закона Ньютона следует иметь в виду, что он, как и 1-ый закон, справедлив лишь в инерциальных системах отсчета. (В неинерциальных системах, чтобы «спасти» 2-ой закон Ньютона, физикам, помимо привычных сил, приходится вводить так называемые силы инерции. Впрочем, это уже – заботы физиков.) Существует несколько разных формулировок 2-го закона Ньютона. Возможна, например, такая: ускорение любого тела пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела. Если сил несколько под силой надо понимать их векторную сумму. (При этом предполагается, что ускорения, силы и массы мы уже как-то определили и умеем измерять.) Основная формула, выражающая 2-ой закон Ньютона, такова:

, (2.1а)

или иначе

(2.1б)

или еще иначе – чуть более «учёно» – с производной:

, (2.1в)

где m – масса рассматриваемого тела, а суммирование ведется по всем телам, которые взаимодействуют с ним. Если нужно рассмотреть движение всех этих тел, которые действуют на данное, приходится писать уравнения 2-ого закона Ньютона для каждого из них

,

а после этого еще решать совместно всю эту систему уравнений.

Любопытно, что в такой форме сам Ньютон никогда не пользовался своим уравнением; он, вообще, оказывается, не пользовался понятием ускорения! Он пользовался уравнением

, (2.1г)

где — известный вам из школьного курса импульс тела (или «количество движения» тела). Следует заметить, что, строго говоря, именно форму (1г) 2-го закона Ньютона следует считать правильной. Уравнение (1в) получается из (1г), только если m = const: в этом случае константу m можно вынести за знак производной . В общем случае это не так. – Могут, конечно, возразить: в нерелятивистской (не эйнштейновской) механике, которую мы сейчас только и рассматриваем, масса есть константа. – Так к чему вся эта «учёность?! – Есть причина. При изучении, например, движения космического корабля (хотя, не только его), когда имеется заведомая убыль массы корабля за счет выброса газов из сопла ракеты (разумеется, при сохранении общей массы – корабля и ушедших газов), форма (1г) оказывается наиболее приспособленной для рассмотрения такого рода задач.


Третий закон Ньютона: тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению. Многочисленные следствия его много раз проверялись. А одно из главных его следствий – закон сохранения импульса для замкнутых систем.

Имеются некоторые тонкости в связи с 3-им законом Ньютона. Известно, что тела могут воздействовать друг на друга не только в результате прямого контакта, но и бесконтактно – посредством поля, например, гравитационного. Установлено, что взаимодействие посредством поля не может распространяться бесконечно быстро. Например, скорость распространения гравитационного взаимодействия, хотя и большая (равна скорости света в вакууме, т.е. 300 000 км/с), но все же конечна. Это значит, например, что, если что-то произойдет с Солнцем (скажем, оно взорвется), – то мы почувствуем на себе изменение силы его притяжения лишь спустя время равное примерно 150 000 000 км/300 000 (км/с) = 500 сек  8 минут. – Но с Землей то за это время ничего не произошло. Значит, сила со стороны Земли на Солнце, какой была, такой и осталась, – а сила со стороны Солнца на Землю изменилась! – Как же быть с 3-им законом Ньютона здесь? – Оставим эту проблему физикам-теоретикам. Легко мы в ней не разберемся. – В наших задачах никаких таких трудностей не будет. Мы будем считать, что любые взаимодействия (гравитационное, электрическое, магнитное) распространяются бесконечно быстро. А в этом случае 3-й закон Ньютона «работает».

Иногда этот закон неправильно понимают еще вот в каком смысле. Считают, что раз две силы равны и противоположно направлены, значит, они друг друга полностью компенсирую. А если они друг друга «обнуляют», то зачем, дескать, толковать о нулевом эффекте. – Никакого нулевого эффекта, разумеется, нет. Если я пальцем давлю на стол, а стол (по 3-ему закону Ньютона) с такой же по величине, но противоположно направленной, силой давит на мой палец, это еще не значит, что я не ощущаю силы со стороны стола. – Две эти силы, фигурирующие в 3-ем законе Ньютона, приложены к разным телам. Поэтому мое усилие на стол никак не отменяется силой со стороны стола на мою руку. И наоборот.
Задачи.


      1. Весьма часто 1-ый закон Ньютона формулируют так: если на тело не действуют другие тела (силы) либо сумма всех сил равна нулю, то поступательно движущееся тело сохраняет свою скорость постоянной. В частности, если оно покоилось, то оно будет продолжать покоиться. – Чего не достает в этой формулировке?

      1. Представьте себе, что вы едете в автобусе. Автобус почти пустой, так что рядом с вами никого нет. Вдруг, автобус резко тормозит или поворачивает, – и что же? – вас резко «бросает» вперед или вбок. – Что или кто вас бросает? – Вы отчетливо видели, что вас никто не толкнул. Никто вас даже не коснулся. – И все же вас нисколько не удивляет описанная ситуация, – настолько она всем знакома. – Но удивляет тогда, почему физики торжественно провозглашают первым (!) законом динамики такой странный закон: на вас в автобусе не действовало никаких сил, но вы перестали покоиться. – В чем здесь дело?

      1. Третей закон Ньютона поначалу кажется странным. «Рассказывайте сказки, – скажет кто-нибудь, кто видел вечером по телевизору, как Майк Тайсон (или, скажем, Рой Джонс) нокаутировал своего соперника. – И вы будете говорить, что сила, с которой «Железный Майк» врезал в челюсть сопернику, была равна силе, с которой челюсть … ударила по перчатке Тайсона?! Не смешите!» Прав ли телезритель?

      1. Порожний грузовой автомобиль массой 4 т начинает двигаться с ускорением 0,3 м/с2. После загрузки при той же силой тяги он трогается с места с ускорением 0,2 м/с2. Сколько тонн груза принял автомобиль? Сопротивлением движению пренебречь. [2 т]

      1. Какое натяжение должен испытывать трос, при помощи которого автомобиль массой 1500 кг разгоняют с ускорением 0.65 м/с2? Весу человека какой массы оно соответствует? [975 Н; 99.5 кг]

      1. Тело массой 6 кг, начавшее двигаться под действием постоянной силы, прошло за 1-ю секунду путь 15 м. Определить величину силы. [180 Н]

      1. Игрок в бейсбол бросает мяч со скоростью 30 м/с ( 108 км/ч). При броске мяч ускоряется на общем расстоянии около 3.5 м, когда игрок проводит мяч из-за спины до точки, в которой мяч освобождается. Вычислите среднюю силу, с которой игрок действует на мяч. Масса мяча – 0.145 кг. [ 18.7 Н]

      1. Определить среднюю силу, которую спортсмен прикладывает к ядру массой 7 кг, если ядро ускоряется на пути длиной 2.9 м, а сообщаемая ему скорость равна 13 м/с. [ 204 Н]

      1. Длина взлетной полосы самолета – 675 м. Самолет при взлете движется равноускоренно и взлетает через 15 с после старта? С какой силой пилот давит на кресло? Сравнить эту силу с весом пилота массой 70 кг в обычных условиях (mg = 686 Н). [ 804 Н;  в 1.17 раза больше]

      1. Самолет пробегает по бетонированной дорожке до взлета расстояние 790 м. При отрыве от земли его скорость равна 240 км/ч. С какой силой пилот давит на кресло? Сравнить эту силу с весом пилота массой 70 кг в обычных условиях. [ 714 Н; в 1.04 раза больше]

      1. Типичные ускорения пассажирских лифтов колеблются от 0.3 до 0.6 м/с2. С какой силой давит на пол лифта человек массой m = 70 кг, если: а) ускорение направлено вверх; б) ускорение направлено вниз? Сравнить силы с весом человека в обычных условиях. [а) (707728) Н; (1.031.06) mg; б) (665644) Н; (0.970.94) mg]

      1. Лифт опускается вниз с ускорением a = g, направленным вниз. С какой силой давит на пол лифта человек в нем? Масса человека – m. [0]

      1. Лифт, опускаясь вниз, резко тормозит с ускорением a = g. С какой

силой давит на пол лифта человек в нем? Масса человека – m. [2mg]

Замечание. Обратите внимание: сказано, что лифт опускается вниз, — но сказано еще, что он тормозит. Значит, ускорение направлено вверх!


      1. Человек прыгает с высоты 1 м в одном случае на прямые ноги, а в другом – сгибая ноги в коленях. Времена торможения при соприкосновении с опорой соответственно равны 0.01 и 0.3 с. Вычислить кратности перегрузок, которые при этом возникают, а также длительность состояния невесомости. (Перегрузкой называют отношение N/mg.) [ 46;  2.5; 0.45 с]

      1. Определить кратность перегрузки, испытываемой космонавтом при подъеме ракеты с ускорением 8g. (Перегрузкой называют отношение N/mg.) С какой силой давит на кресло космонавт массой 60 кг? [9;  5300 Н]

      1. Масса системы «Saturn-5» – «Apollo-11» (доставившей 20 июля 1969 г. первых астронавтов на Луну) на старте вместе с горючим составляла 2950 т. Пять двигателей первой ступени развивали силу тяги 3.4107 Н. Определить кратность перегрузки астронавтов во время старта. [ 1.2]

      1. Масса космического корабля «Союз» на старте вместе с горючим – примерно 300 т. Суммарная сила тяги всех четырех двигателей первой ступени – 4106 Н. Определить кратность перегрузки космонавтов во время старта. [ 1.36]

      1. Герои романа Жюля Верна «Из пушки на Луну» летели в снаряде. Пушка имела длину 300 м. Учитывая, что для полета на Луну снаряд при вылете из ствола должен был иметь скорость не менее 11.2 км/с, подсчитать, во сколько раз возрастал вес пассажиров внутри ствола, считая движение равноускоренным? []

      1. Два груза массами 1 и 2 кг, связанные нерастяжимой нитью массой 10 г, лежат на гладкой горизонтальной поверхности стола. К 1-му грузу приложена горизонтальная сила в 30 Н, направленная в сторону от грузов. На сколько будут отличаться натяжения нити на разных ее концах? Провисанием нити пренебречь. Как изменится результат, если масса нити будет 1 г? [0.1 Н; 0.01 Н]

      1. Канат массой M = 20 кг и длиной L = 5 м тянут за один конец с силой F = 100 Н по гладкому горизонтальному столу. Чему равно натяжение каната на расстоянии l = 10 см от одного и от другого конца? Изменится ли результат, если мы заменим канат легкой веревкой массой m = 1 кг? [99 Н и 1 Н; не изменится]

      1. Два груза массой 1 кг и 2 кг, связанные невесомой нерастяжимой нитью, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К 1-му грузу приложена горизонтальная сила 30 Н, направленная в сторону от грузов. Найти натяжение нити. Как изменится результат, если та же сила будет приложена ко 2-му грузу и также будет направлена в сторону от грузов? [20 Н; 10 Н]

Указание. Здесь нить невесома.

      1. Три груза массой 1, 2 и 3 кг, связанные невесомыми нерастяжимыми нитями, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К 1-му грузу приложена горизонтальная сила 30 Н, направленная в сторону от грузов. 1) Найти натяжения нитей между 1-м и 2-м, а также между 2-м и 3-м грузами. 2) Как изменится результат, если сила 30 Н будет приложена к 3-му грузу и также будет направлена в сторону от грузов? [1) 25 и 15 Н; 2) 5 и 15 Н]

      1. Поезд метро состоит из 6-ти одинаковых вагонов. Сила тяги, развиваемая поездом в процессе разгона, равна F. Найти усилия, возникающие в сцепках между 1-м и 2-м вагоном, 3-м и 4м, а также между 5-м и 6-м вагоном. Считать, что сила тяги приложена к первому вагону. [5F/6; F/2; F/6]

      1. Машина Атвуда. Через неподвижный блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы 0.2 и 0.3 кг. Пренебрегая массой блока и всеми силами трения, определить: а) ускорение грузов и б) натяжение нити. [1.96 м/с2; 2.35 Н]

      1. Через неподвижный блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы 1 и 9 кг. Порвется ли нить при движении грузов, если известно, что, если на нее в статических условиях подвесить груз, она может выдержать нагрузку 49 Н (вес груза в 5 кг)? Каким будет натяжение нити в приведенных условиях задачи? [Не порвется; 17.6 Н]

      1. Через неподвижный блок, укрепленный на краю гладкого стола, перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы 0.2 и 0.3 кг. 1-ый из грузов лежит на столе, 2-ой — свисает. Пренебрегая массой блока, определить: а) ускорение грузов и б) натяжение нити. [5.88 м/с2; 1.17 Н]

      1. Через неподвижный блок, укрепленный на краю гладкого стола, плоскость которого наклонена под углом 30о к горизонту, перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны грузы 0.2 и 0.3 кг. 1-ый из грузов лежит на столе, 2-ой груз свисает. Пренебрегая массой блока, определить: а) ускорение грузов и б) натяжение нити. [3.92 м/с2; 1.76 Н]

      1. Центрифуга, используемая для тренировки космонавтов, совершает 0.5 об/с при радиусе траектории 4 м. Определить центростремительную силу, действующую на космонавта массой m = 60 кг, и сравнить ее с весом космонавта (mg = 588 Н). [F = 2370 Н = 4 mg]

      1. Автомобиль массой 1 т едет со скоростью 60 км/ч по горбатому мосту, радиус кривизны которого 200 м. Во сколько раз сила давления автомобиля на мост в высшей точке меньше силы тяжести автомобиля? С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы не оказывать давления на мост в этой точке? [В 1.17 раза;  160 км/ч]

      1. Летчик массой 70 кг описывает на самолете «мертвую петлю» радиусом 100 м. Скорость самолета – 180 км/ч. Найти отношение силы, с которой летчик прижимается к сидению, к весу летчика (в нормальных условиях): а) в верхней и б) в нижней точках петли. [1.55; 3.55]

      1. Во сколько раз быстрее должна была бы вращаться Земля, чтобы на экваторе вес тел оказался равным нулю? [Примерно в 17 раз]

      1. Маленький шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной 30 см, вращается в горизонтальной плоскости (конический маятник). Период обращения – 1 с. Определить угол, который составляет нить с вертикалью. [ 34o]

      1. (*) Маленький шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной 30 см, вращается в горизонтальной плоскости (конический маятник). Период обращения – а) 1.1 с; б) 1.5 с. Определить угол, который составляет нить с вертикалью. [0o; 0o]

      1. Тело массой 4 кг движется по закону , где A=5 м/с, B=10 м/с, С = — 5 м/с2, ,и — орты осей x, y и z. Найти силу, действующую на тело в момент времени t= c. [- 40, Н]

      1. Тело массой 3 кг движется по закону , где P=3 м/с, Q=6 м/с, R=5 м/с2, ,и — орты осей x, y и z. Найти силу, действующую на тело в момент времени t= c. [- 30, Н]

      1. Тело массой m движется так, что зависимость x-координаты от времени описывается уравнением , где A и  — постоянные. Запишите закон изменения силы от времени. []

      1. Тело массой m движется в плоскости xy по закону, , где A, B и  — постоянные. Определите модуль силы, действующей на тело. []

      1. Частица массой m движется вдоль прямой x под действием силы . Определите зависимость координаты x от времени, если в начальный момент времени x(0)=0, V(0)=0. []

  следующая страница >>
Смотрите также:
Сборник задач по физике часть механика москва 2007 кинематика

3373.69kb.

11 стр.

А. П. Рымкевич «Сборник задач по физике 10-11 классы» М.: Просвещение, 2007 г. Л. А. Кирик «Самостоятельные и контрольные работы 11 класс»

424.79kb.

3 стр.

Сборник задач по курсу неорганической химии часть 3 Методическая разработка

413.64kb.

1 стр.

Астрономия, физика Физика в анимации

768.32kb.

4 стр.

Тематическое планирование по физике (9 зпр класс). Кинематика, Динамика, Колебания и волны. Бушина Ирина Владимировна

139.7kb.

1 стр.

Сборник докладов международной конференции (Москва, 12-13 октября, 2007) Москва 2008

7318.82kb.

45 стр.

Реферат По Физике Механика от Аристотеля до Ньютона 2000-01 уч год. Основная часть

195.68kb.

1 стр.

Механика Кинематика Основные понятия кинематики Кинематикой

74.53kb.

1 стр.

Сборник задач по логическому программированию для студентов специальности «030100 информатика»

747.53kb.

8 стр.

1 Механика 1 Кинематика поступательного движения и вращательного движения точки

302.4kb.

4 стр.

Программа по физике для 10-11 классов

700.97kb.

5 стр.

Сборник документов по воспитательной работе Москва-2009 Ответственный редактор доц. М. В. Юдин Составители

2301.05kb.

11 стр.

Поступательное и вращательное движение твёрдого тела: определение, скорость, ускорение

При изменении положения физической точки относительно выбранной системы говорят о выполнении механического перемещения. Существуют разнообразные способы его совершения. Одним из них является поступательное движение твёрдого тела. Вращательное перемещение интересно тем, что размерами объекта пренебречь нельзя. Значит, в описании процесса нужно использовать дополнительные величины, которые требуют понимания и изучения.

Оглавление:

Общие сведения

Механическим движением называют изменение положения тела относительно других объектов с течением времени. Например, езда на велосипеде, полёт мяча, бег спортсмена. При рассматривании таких процессов формы тел не учитываются. Это связано с тем, что их размеры по сравнению с пройденным расстоянием не имеют значения. Для таких случаев вводится понятие — материальная точка. То есть объекта, размерами которого можно пренебречь.

Описывают механическое движение с помощью трёх простейших величин:

  • пути;
  • скорости;
  • времени перемещения.

Пусть имеется некое объёмное тело, например, книга. Если её взять и помахать ею в пространстве, то, можно сказать, что точки из которых она состоит движутся по-разному. Они имеют разную скорость, проходят различный путь. Следовательно, описать движение такого тела сложно. Именно поэтому вводят понятие материальной точки.

Но бывают такие ситуации, когда объект проходит путь, соизмеримый с размерами самого тела. В этом случае принимать его за точку нельзя. Можно представить, что предмет движется по дуге. Тогда скорости точек, из которых он состоит будут одинаковыми. Равным окажется и пройденный ими путь. Этот простейший вид движения называют поступательным. Другими словами, перемещением, при котором все его точки движутся одинаково.

Частным случаем такого изменения положения является вращательное движение. Из наиболее яркого примера можно привести вращение колеса. Рассматривая его, нужно отметить, что точки, расположенные ближе к центру, будут проходить меньшее расстояние, чем те, что находятся возле обода. Значит, и их скорости будут разными, поэтому в этом случае нужно учитывать размеры тела.

Так как для описания процесса использовать материальную точку нельзя, то и рассматривать движение с помощью скорости и расстояния будет неудобно и очень сложно. Вот почему изучают не траектории отдельных величин, а углы, на которые поворачиваются радиусы, количество оборотов. Следует отметить, что при вращательном движении все точки тела движутся по окружности, центры лежат на одной прямой. Называется она — осью.

Таким образом, под вращательным движением понимают такое изменение положение в пространстве, при котором все его точки перемещаются по окружностям с центрами, лежащими на одной прямой. При этом происходит этот процесс за время t.

Период и частота

Пусть имеется тело цилиндрической формы. На нём можно выделить две точки: A и B. Они вращаются по окружности с разным радиусом. Первая расположена ближе к центру, значит, длина её траектории будет меньше, чем второй. Центры их движения лежат на одной прямой — оси вращения, проходящей через точку O.

За одно и то же время как A, так и B совершают поворот на один и тот же угол за равное время. Это утверждение справедливо, так как рассматривается вращение единого твёрдого тела. То есть такого предмета, расстояние между любыми точками которого всегда остаётся одинаковым. При движении цилиндра происходит одновременно поступательное и вращательное перемещение, поэтому сложное движение представляют как комбинацию этих двух видов изменений положения. Характеризуется оно двумя величинами:

  • периодом;
  • частотой.

Поворот на один оборот занимает определённое время. У него есть своё название — период вращения. Обозначается он буквой T. Измеряется в любых единицах времени. В СИ в их качестве приняты секунды [с]. Например, период вращения минутной стрелки составляет один час. Число оборотов, совершённых телом, обозначают буквой N.

Допустим, за 10 секунд тело совершит пять оборотов. Чтобы найти период, нужно время, за которое произошло одно вращение, поделить на совершённое их число. Значит, формула, связывающая обороты со временем и периодом, будет выглядеть так: T = t / N.

Можно представить, что тело совершает 10 оборотов за пять секунд. Для того чтобы найти, сколько понадобится времени для совершения одного вращения, нужно число всех оборотов разделить на время. Полученное значение называют частотой вращения (n). По сути, это величина, равняющаяся числу оборотов, совершаемых телом за единицу времени: n = N / t. Измеряется она в СИ в оборотах / секунду. Так как в числителе стоит безразмерная величина, то частоту измеряют в [c-1]. Например, частота вращения Земли равняется одному обороту в сутки.

Между частотой и периодом существует связь. Если сравнить формулы, описывающие их, то можно заметить, что в них числитель и знаменатель поменялись местами. Значит, частота — это величина, обратная периоду: n = 1 / T. Соответственно, верным будет и равенство: T = 1 / n.

Линейная и угловая скорость

Любая точка, движущаяся вокруг оси, проходит определённый путь, который можно определить, зная её скорость и затраченное время. Пусть имеются две точки A и B, определяющиеся радиусами r1 и r2. При этом r2 больше r1. Скорость — это векторная величина. Она имеет направление. Поскольку за один оборот B проходит больше путь, то скорость её вращения будет превышать показатель для точки A, то есть V2 > V1. Параметр, определяющий скорость точек на вращающемся теле, называют линейным. Именно такими и являются V1 и V2.

Очевидно, что при вращательном движении линейные скорости постоянно изменяют своё направление. Но если рассматривать модуль величин, то для одних случаев перемещения он будет постоянным, а для других нет. Самый простой случай, который позволяет исследовать вращение является поступательный. Чтобы дать такому перемещению определение, нужно понимать, что равномерным в физике называют движение, при котором тело проходит равные участки пути за любые одинаковые промежутки времени.

Следовательно, равномерное вращение твёрдого предмета — это движение по окружности, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одну и ту же величину угла. Другими словами, совершается одинаковое количество оборотов в выбранном временном интервале. Допустим, тело за секунду совершит один оборот. Если взять промежуток в десять раз больше, то отношение величин не изменится. То есть период и частота при равномерном вращении остаются постоянными.

Константой будет оставаться и линейная скорость. Но её значение зависит от расстояния, на котором находится точка от оси вращения. Когда A совершит один оборот, то пройденный ею путь будет равен длине окружности L. Чтобы найти скорость, нужно L разделить на время, затраченное на выполнение действия. Фактически им является период. Отсюда следует, что формулу для линейной скорости можно записать так: V = L / T. Так как длина окружности равняется 2pr, то выражение примет вид: V = 2pr / T. Но вращательное движение можно охарактеризовать и частотой. Поскольку T = 1 /n, формулу можно переписать: V = n * 2pr.

Охарактеризовать количественно вращение можно угловой скоростью. Это физическая величина, равная отношению угла поворота тела ко времени, за которое он произошёл.

Обозначается она ω и равняется ω = φ / t. Измеряется в радианах, делённых на секунду. При этом угол поворота радиуса φ одинаковый для любой точки в поворачивающимся твёрдом теле.

Ускорение движения

Если движение равномерное, то скорость тела направлена по касательной и связана с угловой соотношением V = ω * r. При этом точка испытывает ускорение, направленное к центру окружности. Вычисляется она по формуле: a = V2 / r или a = ω 2 * r. При повороте тела на небольшой угол φ угловую скорость можно определить из соотношения ω = Δ φ / Δ t, где:

  • Δφ — угол поворота тела;
  • Δt — время, за которое точка совершила поворот.

Если вращение абсолютно-равномерное, то Δt может быть любым. В ином случае ω является мгновенной угловой скоростью. При неравномерном движении V ≠ const, тогда ω тоже не будет постоянной величиной. Изменение Δω определяется разностью между принятым положением и начальным: Δω = ω — ω0.

Учитывая, что ускорение a = (V — V0) / Δt, по аналогии можно записать выражение: ω — ω0 / Δt. Это отношение называется угловым ускорением. Обозначают греческой буквой E. Находят же по формуле: E = Δ ω / Δ t. Измеряется ускорение в радианах, делённых на секунду в квадрате [рад/ с2]. Таким образом, угловым ускорением тела при вращательном движении называют физическую величину, равную отношению изменения угловой скорости за небольшой интервал времени к длительности этого промежутка.

Поскольку ускорение представляет собой изменение скорости ко времени, то можно записать: ΔV / Δt = ΔVr / Δt + Δ Ve / Δt, где: ΔVr — радиальное значение, ΔVe — угловое. Получается, что в выражении справа стоит ускорение a, а слева две составляющие, обусловленные криволинейностью и неравномерностью движения. Таким образом, полное ускорение представляет собой сумму двух взаимно перпендикулярных ускорений: a = ar + ae.

Следует отметить, что приведённые формулы справедливы не только для вращательного перемещения, но также и для возвратно-поступательного.

Если тело ускоряется, то угол между векторами ar и ae будет острым, при замедлении же он станет тупым. При этом вращение с постоянным угловым ускорение описывается выражением: ω(t) = ω0 + E * t.

задачи семинара2

Вращательное движение твердого тела вокруг постоянной оси

Угловая скорость, угловое ускорение.

При описании вращательного движения твердого тела, наряду с векторами перемещения любых точек твердого тела, вводят единый для всех точек вектор элементарного угла поворота . Кроме линейных скоростей точек твердого тела, вводят единую для всех точек угловую скорость . Аналогично, наряду с линейными ускорениями точек, вводят единое для всех точек угловое ускорение . Пригодится также формула, связывающая величину угловой скорости и частоты вращения (числа оборотов тела в единицу времени) .

1.66. Угол поворота твердого тела вокруг постоянной оси зависит от времени по закону . Вычислите модуль угловой скорости ω и модуль углового ускорения β для момента τ = 2c после начала вращения.

1.67. Модуль угловой скорости тела, вращающегося вокруг постоянной оси, зависит от времени по закону . Вычислите угол φ поворота тела за время от t1 = 1c до t2 = 5c.

1.68. Диск, вращающийся равнозамедленно с частотой n = 10 с-1,останавливается за время τ = 100с. Вычислите модуль углового ускорения β диска и угол φ, на который повернется диск за это время.

Связь угловых характеристик движения с линейными.

, ;

, ;

, .

Здесь — радиус – вектор, рассматриваемой точки твердого тела, начинающийся в любой точке оси вращения; R – расстояние от рассматриваемой точки твердого тела до оси вращения.

1.72. Диск радиуса R = 0,3м начинает вращаться с постоянным угловым ускорением β = 2рад/с2. Вычислите тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки обода диска для момента времени t = 5с.

1.74. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением β = 0,5 рад/с2. Через время t = 2 с после начала вращения, величина линейного ускорения точек обода колеса достигла a = 1 м/с2 . Вычислите радиус R колеса.

1.75. Диск радиуса R = 0,4м начинает вращаться в соответствии с уравнением . Вычислите тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки обода диска для момента времени t = 2с.

Кинематика относительного движения (Галилей, Кориолис)

Два наблюдателя, каждый из своей системы отсчета (СО), изучают движение материальной точки (точка, не знает о том, что за ней наблюдают). Поместим себя в одну из этих СО, для нас она будет “неподвижной”, то есть мы относительно этой СО покоимся. Будем называть эту систему отсчета K – СО. Другой наблюдатель покоится в K-СО, которая движется произвольно относительно K – СО и поэтому K наблюдатель называет ее движущейся. Как известно, произвольное движение твердого тела (в данном случае системы отсчета) можно представить в виде суперпозиции поступательного и вращательного движений.

Введем следующие обозначения:

, — скорость и ускорение материальной точки относительно К — СО ;

, — скорость и ускорение материальной точки относительно К — СО;

— радиус-вектор материальной точки относительно К — СО;

, — скорость и ускорение К — СО относительно К – СО в поступательном движении;

, — угловая скорость и угловое ускорение К — СО относительно К – СО во вращательном движении.

Тогда формула пересчета скорости из движущейся К — СО в «неподвижную» К – СО имеет вид:

,

то есть, скорость материальной точки относительно “неподвижной” К – СО складывается из скорости материальной точки относительно движущейся К — СО и скорости точки К — СО, через которую проходит (в этот момент) материальная точка, относительно К – СО.

Формула пересчета ускорения из движущейся К — СО в «неподвижную» К — СО

тоже утверждает, что ускорение материальной точки относительно “неподвижной” К – СО складывается из ускорения материальной точки относительно движущейся К — СО и ускорения точки К — СО, через которую проходит (в этот момент) материальная точка, относительно К – СО. Однако, есть еще одно знаменитое пересчетное слагаемое – это поворотное или Кориолисово ускорение . Оно связано, во-первых, с тем, что вектор поворачивается вместе с К — СО и, во-вторых, с тем, что из-за перемещения материальной точки относительно К — СО, изменяется радиус-вектор , а значит и скорость .

1.77. Колесо радиуса 0,1 м катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Скорость оси колеса постоянна и равна 2 м/с. Вычислите скорость и ускорение точки обода колеса, находящейся в данный момент в контакте с поверхностью, относительно поверхности.

1.80. Круглая горизонтальная платформа вращается с постоянной угловой скоростью относительно лаборатории. По краю платформы идет человек в направлении противоположном ее вращению. Угловая скорость человека относительно платформы постоянна, причем . Найдите ускорение человека относительно лаборатории.

1.82. Диск вращается с постоянной угловой скоростью  = 3 рад/с вокруг перпендикулярной диску оси, проходящей через точку О. Материальная точка С движется в направлении СО относительно лаборатории с постоянной скоростью = 7 м/с. Найдите модуль скорости точки С относительно диска в момент, когда ОС = 8 м.

1.83. Диск вращается с постоянной угловой скоростью  = 3 рад/с вокруг перпендикулярной диску оси, проходящей через точку О. Материальная точка С движется в направлении СО относительно лаборатории с постоянной скоростью = 7 м/с. Найдите модуль ускорения точки С относительно диска в момент, когда ОС = 8 м.

Аудитория 66,67,74,83.

Дома 68,72,75,77,80,82.

2

Лекция №1 — Механика — n1.doc

Механика
скачать (1425.8 kb.)
Доступные файлы (12):

n1.doc

Составил Бабичев С.А.

Лекция №1

Тема: Введение в предмет. Разделы физики. Физические законы и системы единиц. Элементы векторной алгебры. Производная и интеграл при решении физических задач.


Физика – наука о природе. Основные разделы физики:

  • Механика – наука о движении. Механика подразделяется на классическую и релятивистскую. В классической механике рассматривается движении с низкими скоростями, а в релятивистской – со скоростями соизмеримыми со скоростями света.

  • М.К.Т и термодинамика – рассматривает поведение макросистем, на основе представления о частицах, которые входят в состав рассматриваемых систем.

  • Электромагнетизм – рассматривает явления, связанные с взаимодействием электрических зарядов.

  • Колебания и волны – рассматривает процессы, повторяющиеся в пространстве с течением времени.

  • Оптика – наука о распространении света и его взаимодействия с веществом.

  • Квантовая физика – раздел физики, в котором свет рассматривают с корпускулярной точки зрения.

  • Атомная и ядерная физика – рассматривает явления, связанные со строением атома и ядра.

Физические законы устанавливаются на основе обобщений неясных фактов и отражают объективные закономерности, существующих в природе. Формулируются физические законы в виде количественным соотношением между физическими величинами.

Основной метод исследования в физике – опыт, то есть наблюдение физического явления в строго контролируемых условиях, позволяющих следить за характером явления и воссоздать его каждый раз при повторении этих условий.

Для объяснения экспериментальных данных выдвигается гипотеза. Правильность выдвинутой гипотезы подтверждается её сопоставлением с результатами эксперимента.

Физическая теория представляет собой систему основных идей, обобщающих опытные данные и отражающих объективные закономерности природы.

Каждая физическая величина имеет единицу измерения. Совокупность единиц измерения составляет систему единиц.

Наиболее распространённая система – интернациональная (СИ), которая строится на семи основных единицах и двух дополнительных: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела, радиан, стерадиан.

Размерность физической величины есть её выражение в основных единицах.

Основные понятия векторной алгебры.


Вектором называется величина, характеризующаяся численным значением и направлением и складывающаяся по правилу параллелограмма. Модулем вектора называется его численное значение. Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный. Обозначение векторов:

Действие над векторами:


  1. Сложение векторов:

  • Правило треугольника. Если начало второго вектора совместить с концом первого, то вектор, проведенный из начала первого в конец второго будет являться суммой двух векторов.

  • Правило параллелограмма. Если оба вектора выходят из одной точки, то суммой векторов будет вектор, выходящий из общей точки и совпадающий с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются два исходных вектора.

  1. Вычитание векторов:.

Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором даёт вектор .

Для нахождения разности двух векторов их необходимо параллельным переносом перенести так, чтобы они выходили из одной точки. Вектор, соединяющий их концы, который направлен в сторону уменьшаемого, называется разностью двух векторов.


  1. Умножение вектора на скаляр: .

В результате получается новый вектор, длина которого в k раз больше исходного.

  1. Проекция вектора. Проекцией вектора на координатную ось называется произведение модуля вектора на соs угла между направлениями вектора и координатной оси.

Выражение вектора через его проекции.

Из рисунка следует:

В общем случае, в трёхмерной декартовой системе координат, последнее выражение принимает вид:



  1. Радиус-вектор – это вектор, проведённый из начала координат в данную точку. Его проекции на координатные оси равны декартовым координатам данной точки. В декартовой системе координат радиус–вектор можно представить следующим образом:



  1. Скалярным произведением векторов называется скаляр, равный произведению модулей векторов на угла между ними.



  1. Векторным произведением векторов и называют вектор , определяемый по отношению:

где – вектор нормали к плоскости, в которой лежат вектора и . Направление выбирается так, чтобы векторы – образовали правовинтовую систему.

Понятие дифференцирования и интегрирования.


Пусть функция f(x) возрастает на интервале от x до x+x.

Средней скоростью возрастания функции называется отношение изменения функции к изменению аргумента.

.

Предел, к которому стремится средняя скорость при приращении аргумента, стремящемся к нулю, называется мгновенной скорости возрастания функции или производной функции в данной точке.

Процесс вычисления производных называется дифференцированием.

Процесс обратный дифференцированию называется интегрированием

.

Правило вычисления производных:




Линейные и вращательные величины | Безграничная физика

Связь между линейными и вращательными величинами

Иногда описание движения может быть проще с угловыми величинами, такими как угловая скорость, инерция вращения, крутящий момент и т. д.

Цели обучения

Получение равномерного кругового движения из линейных уравнений

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Поскольку мы используем массу, линейный импульс, поступательную кинетическую энергию и 2-й закон Ньютона для описания линейного движения, мы можем описать обычное вращательное движение, используя соответствующие скалярные/векторные/тензорные величины.
  • Угловая и линейная скорости связаны следующим образом: [латекс]\bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}[/latex].
  • Поскольку мы используем уравнение движения [латекс]\текст{F} = \текст{ма}[/латекс] для описания линейного движения, мы можем использовать его аналог [латекс]\bf{\tau} = \frac{ \text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}} \times \bf{\text{F}}[/latex], чтобы описать угловое движение. Описания равнозначны, а выбор можно сделать исключительно для удобства использования.
Основные термины
  • равномерное круговое движение : Движение по круговой траектории с постоянной скоростью.
  • крутящий момент : Вращательное или скручивающее действие силы; (единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица фут-фунт или фут-фунт)
  • вращательная инерция : Тенденция вращающегося объекта продолжать вращаться, если к нему не приложен крутящий момент.

Определение кругового движения

Описание кругового движения лучше описывается в терминах угловой величины, чем его линейная аналогия. Причины легко понять. Например, рассмотрим случай равномерного кругового движения.Здесь скорость частицы меняется – хотя движение «равномерное». Эти две концепции несовместимы. Общий смысл термина «равномерный» означает «постоянный», но на самом деле скорость постоянно меняется.

Вращающееся тело : Каждая частица, составляющая тело, совершает равномерное круговое движение вокруг фиксированной оси. Для описания движения лучше всего подходят угловые величины.

Когда мы описываем равномерное круговое движение с точки зрения угловой скорости, противоречия нет.Скорость (то есть угловая скорость) действительно постоянна. Это первое преимущество описания равномерного кругового движения с точки зрения угловой скорости.

Второе преимущество состоит в том, что угловая скорость передает физический смысл вращения частицы, в отличие от линейной скорости, которая указывает на поступательное движение. В качестве альтернативы, угловое описание подчеркивает различие между двумя типами движения (поступательным и вращательным).

Связь между линейной и угловой скоростью

Для простоты рассмотрим равномерное круговое движение.Для длины дуги, образующей угол «в начале координат, а «r» — это радиус окружности, содержащей положение частицы, мы имеем [латекс]\текст{s}=\текст{г}\тета [/латекс ].

Дифференцируя по времени, имеем

[латекс] \ frac {\ text {ds}} {\ text {dt}} = \ frac {\ text {dr}} {\ text {dt}} \ theta + \ text {r} \ frac {\ text {d}\theta}{\text{dt}}[/latex].

Поскольку [латекс]\frac{\text{dr}}{\text{dt}} = 0[/latex] для равномерного кругового движения, мы получаем [латекс]\text{v} = \omega \text{r }[/латекс].Точно так же мы также получаем [латекс]\текст{а} = \альфа \текст{г}[/латекс], где [латекс]\текст{а}[/латекс] обозначает линейное ускорение, а [латекс]\альфа[ /латекс] относится к угловому ускорению (в более общем случае соотношение между угловыми и линейными величинами задается как [латекс]\bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \ bf{\text{a} = \alpha\times\text{r} + \omega\times\text{v}}[/latex]. )

Уравнения кинематики вращения

С учетом соотношения линейной и угловой скорости/ускорения мы можем вывести следующие четыре уравнения кинематики вращения для постоянных [латекс]\текст{а}[/латекс] и [латекс]\альфа[/латекс]:

[латекс]\omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}[/latex]

[латекс]\тета =\омега 0\текст{т}+(1/2)\альфа \текст{т}2: \текст{х}=\текст{в}0\текст{т}+(1 /2)\текст{ат}2[/латекс]

[латекс]\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}[/latex]

Масса, импульс, энергия и второй закон Ньютона

Поскольку мы используем массу, линейный импульс, поступательную кинетическую энергию и 2-й закон Ньютона для описания линейного движения, мы можем описать обычное вращательное движение, используя соответствующие скалярные/векторные/тензорные величины:

  • Масса/Инерция вращения:
  • Линейный/угловой импульс:
  • Сила/ Крутящий момент:
  • Кинетическая энергия:

Например, так же, как мы используем уравнение движения [латекс]\текст{F} = \текст{ма}[/латекс] для описания линейного движения, мы можем использовать его аналог [латекс]\bf{\tau } = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}} \times \bf{\text{F}}[/ латекс] для описания углового движения.Описания равнозначны, а выбор можно сделать исключительно для удобства использования.

домашних заданий и упражнений — Как связать линейное и угловое движение с помощью одной формулы?

Использование пространственной инерции для связи линейного/углового количества движения с изменениями линейной/угловой скорости

$$\begin{pmatrix} \vec{L}\\ \vec{H}_A \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} m {\bf 1}_{3×3} & -m [\vec {c}\times] \\ m [\vec{c}\times] & I_{cm}-m [\vec{c}\times][\vec{c}\times] \end{bmatrix} \begin {pmatrix} \Delta\vec{v}_A\\ \Delta \vec{\omega} \end{pmatrix}$$

ссылка: уравнения Ньютона – Эйлера в Википедии.

, где $\vec{L}$ — полный линейный импульс (импульс), $\vec{H}_A$ — ближний угловой момент в точке A . $\Delta\vec{v}_A$ — изменение линейной скорости в той же точке, а $\Delta{\omega}$ — изменение скорости вращения.

Скалярная масса равна $m$, а $I_{cm}$ – момент инерции массы в центре масс. Наконец, $[\vec{c}\times$] — это кососимметричная матрица 3 × 3, представляющая оператор векторного векторного произведения. См. https://physics.stackexchange.com/a/111081/392. Вектор $\vec{c}$ — это положение центра масс здесь относительно A .

Комбинированный импульс, а также результирующее движение представляет собой пространственный винт, которого отношение линейных свойств к угловым называется шагом. Подробнее см. https://physics.stackexchange.com/a/80552/392. Также посмотрите на таблицу ниже, чтобы узнать, как извлечь свойства винтов (положение, направление и шаг) из различных типов винтов.

$$ \begin{массив}{cccc} \mbox{Свойство} & \mbox{Скорость (крутящий момент)} & \mbox{Импульс (гаечный ключ)} & \mbox{Сила (гаечный ключ)}\\ \hline \mbox{Винт} & \hat{v}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{v}_{A}\\ \vec{\omega} \end{pmatrix} & \hat{\ell}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{Н}_{А} \end{pmatrix} & \hat{f}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{F}\\ \vec{\tau}_{A} \конец{pmatrix}\\ \mbox{Направление} & \vec{e}=\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|} & \vec{e}=\frac{\vec{L}}{| \vec{L}|} & \vec{e}=\frac{\vec{F}}{|\vec{F}|}\\ \mbox{Величина} & \omega=|\vec{\omega}| & L=|\vec{L}| & F=|\vec{F}|\\ \mbox{Позиция} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega }|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{L}\times\vec{H}_{A}}{|\vec{L }|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{F}\times\vec{\tau}_{A}}{|\vec{ F}|^{2}}\\ \mbox{Шаг} & h=\frac{\vec{\omega}\cdot\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} & h=\frac{\ vec{L}\cdot\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} & h=\frac{\vec{F}\cdot\vec{\tau}_{ А}}{|\vec{F}|^{2}} \конец{массив} $$

шт.2}{12 a}} = \frac{7}{4} $$

Линейная и угловая скорости, площадь секторов и длина дуг – математические подсказки

В этом разделе рассматриваются:

Примерно в то время, когда вы изучаете мер в радианах , вам, возможно, придется работать с линейными и угловыми Скорости , а также Площадь Секторов и Длины Дуг .

Примечание : Для целей этого раздела мы будем говорить о линейной скорости и угловой скорости ( скалярных величин), в отличие от линейной скорости и угловой скорости ( векторных величин). ).

Мы обсуждали радиан и как они соотносятся с градусами центральных углов здесь, в разделе Углов и Единичной окружности . Прежде чем мы поговорим о линейной и угловой скоростях, давайте рассмотрим, как радианы связаны с длиной окружности, а также с оборотами окружности.

Обратите внимание, что \(\theta \) – это центральный угол поворота в радианах , \(r\) – радиус окружности, \(s\) – длина дуги, или дуги, пересекаемой (часть окружности) круга, а оборот  (или оборот ) — это когда объект проходит весь круг (или круг возвращается в исходное положение). Все эти единицы могут быть связаны с окружностью окружности: \(2\pi r\), где \(r\) — радиус.(Помните, что в единичном круге длина окружности равна \(2\pi\), так как \(r=1\)).

Обратите внимание, что слова радиан и радиус связаны, поскольку в обороте содержится \(2\pi r\)  (радианов), а \(2\pi r\) (радиус) – это измерение длина окружности.

Одно из наиболее важных понятий состоит в том, что длина дуги, на которую опирается , равна радиусу, умноженному на радиан, измеренный центральным углом этой дуги . Чтобы увидеть это, создайте пропорцию, сравнивающую эту дугу со всей окружностью:

\(\displaystyle \require{cancel} \frac{{\text{Длина дуги}}}{{\text{Окружность}}}= \frac{{\text{Дуга}\!\!’\!\!\text{s Angle}}}{{\text{Измерение общего угла в окружности}}}:\,\,\,\,\frac {s}{{\cancel{{2\pi }}r}}=\frac{\theta }{{\cancel{{2\pi }}}}\)

Отсюда видно, что \(s =r\тета\).

Я даю вам некоторые основные формулы, но, честно говоря, когда я решаю большинство этих задач, я просто использую множители единиц (анализ размерностей), чтобы получить единицы, необходимые для решения задачи!!

Формулы линейной и угловой скорости:

Мы будем использовать эти формулы в некоторых задачах линейной/угловой скорости ниже.

Помните, что обычно вы используете радиус с линейной скоростью и радиан с угловой скоростью в \(2\pi r\).

Линейная скорость — это скорость, с которой точка вне объекта движется по окружности вокруг центра этого объекта. Единицами могут быть любые обычные единицы измерения скорости, такие как мили в час, метры в секунду и так далее.

Мы помним, что \(\text{Расстояние}=\text{Скорость}\times \text{Время}\), или \(\displaystyle \text{Скорость (Скорость)}=\frac{{\text{Расстояние) }}}{{\text{Время}}}\). Сначала мы поговорим о том, как быстро изменяется объект по окружности круга.

Представьте себе автомобиль, который едет по кругу по трассе с дугой длины (фактическая длина изогнутой части – часть окружности ) \(s\). Формула скорости по окружности или линейной скорости выглядит следующим образом: \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\), где \(s\) – длина дуги, а \(t\) – время.

Обратите внимание, что линейная скорость должна иметь окружность (или радиус ) в задаче!

Вот тип проблемы, которая может у вас возникнуть.Обратите внимание, что мы должны использовать Unit Multipliers (Dimension Analysis), когда единицы измерения не совпадают.

миль и длиной окружности.

 

Если автомобиль проезжает 8 кругов за 10 минут, какова линейная скорость автомобиля в милях в час?

Задача о линейной скорости Решение
Автомобиль движется с постоянной скоростью по круговому пути длиной 4,07 Давайте сначала рассчитаем расстояние, которое проедет машина.Если окружность имеет длину 4 миль и автомобиль проедет 8 кругов, то автомобиль проедет в общей сложности 32 миль:

\(\require{cancel} \displaystyle 8\cancel{{\text{круги }}}\cdot \frac{{4\,\,\text{мили}}}{{\text{1}\cancel{{\text{круг}}}}}=32\,\,\text{ миль}\)

 

Теперь давайте получим линейную скорость , используя формулу \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\). Мы знаем \(s=32\) миль и \(t=10\) минут. Но мы должны добавить некоторые множители, так как наше время составляет минут , и мы хотим получить миль в час :

 

\(\displaystyle v=\frac{s}{t}= \frac{{32\,\,\text{мили}}}{{10\,\,\cancel{{\text{минуты}}}}}\cdot \frac{{60\,\,\cancel{ {\text{минуты}}}}}{{1\,\,\text{час}}}=192\,\,\text{миль/час}\)

 

Линейная скорость автомобиля равна 192 мили в час .Видите, как мы могли бы вычислить это без формулы, а просто используя множители единиц?

Колесо диаметром 10 дюймов вращается с постоянной скоростью 2 оборотов в секунду.

 

Найдите линейную скорость колеса в милях в час ( 1 миль примерно равно 5 280 футов).

Мы хотим закончить с  миль в час , поэтому давайте поместим это в конец нашего уравнения множителя единиц ; мы знаем, что нам нужны мили вверху и часы где-то внизу):

 

\(\displaystyle …\,\,\frac{?}{\text{?}}\cdot \frac{?}{?} \cdot \frac{?}{{\text{?}\,\,\text{часы}}}\cdot \frac{{?\,\,\,\text{мили}}}{?}\, \,…=?\,\,\text{миль в час}\)

 

Давайте составим пропорции всего, что нам известно, убедившись, что мы можем вычеркнуть все, что нам не нужно.Нам нужно знать, что один оборот окружности эквивалентен \(\pi d\) дюймам. Вы можете начать с более короткого уравнения и постепенно добавлять множители: }{{\text{1}\,\,\text{второй}\,}}\cdot \frac{{\pi d}}{{1\,\,\cancel{{\text{революция}}} }}\cdot \frac{?}{{\text{?}\,\,\text{часы}}}\cdot \frac{{?\,\,\,\text{мили}}}{?} \,\,…=?\,\,\text{миль в час}\)

\(\displaystyle \frac{{2\,\,\cancel{{\text{обороты}}}}}{{ \text{1}\,\,\cancel{{\text{second}}}\,}}\cdot \frac{{\pi \left({10} \right)\,\,\cancel{{\ text{дюймы}}}}}{{1\,\,\cancel{{\text{revolution}}}}}\cdot \frac{{60\,\,\cancel{{\text{min}}} }}{{\text{1}\,\,\,\text{час}}}\cdot \frac{{60\,\,\cancel{{\text{секунды}}}}}{{1\ ,\,\cancel{{\min }}}}\cdot \frac{{1\,\,\,\text{mile}}}{{5280\,\,\cancel{{\text{ft}} }}}\cdot \frac{{1\,\,\cancel{{\text{ft}}}}}{{12\,\,\cancel{{\text{дюймы}}}}}\)

 

\(\displaystyle \,=\frac{{2\cdot \pi \left( {10} \right)\cdot 60\cdot 60}}{{5280\cdot 12}}\,\,\tex t{миль в час}\примерно 3.57\,\,\text{миль в час}\)

 

Линейная скорость колеса 3,57 мили в час .

Угловая скорость — это скорость вращения объекта, выраженная в таких единицах, как число оборотов в минуту, градус в секунду, радиан в час и т. д.

Угловая скорость связана с тем, насколько быстро изменяется центральный угол  окружности по сравнению с длиной окружности.

Опять же, представьте автомобиль, который едет по кругу по трассе с центральным углом \(\тета\).Формула для скорости по окружности в терминах этого угла или угловой скорости равна   \(\displaystyle \omega =\frac{\theta}{t}\), где \(\theta \) в радианах , а \(t\) – время.

Обратите внимание, что угловая скорость НЕ нуждается в окружности (или радиусе ) в задаче!

Вот тип проблемы, которая может у вас возникнуть. Обратите внимание, что мы должны снова использовать множителей единиц измерения (анализ размерностей), когда единицы измерения не совпадают.

Задача угловой скорости Решение
Хизер мигает фонариком и вращается по кругу с постоянной скоростью.

 

Если фонарик Хизер совершает один оборот за 15 секунд, какова угловая скорость света, исходящего от фонарика, в радианах в минуту?

Поскольку задача включает информацию о времени, необходимом для одного оборота (оборота), нам нужно использовать тот факт, что на один оборот приходится \(2\pi \) радиан.

Теперь давайте воспользуемся нашим уравнением угловой скорости \(\displaystyle \omega =\frac{{\theta \text{ (радианы)}}}{t}\) с некоторыми множителями единиц .

Начните с того, что мы знаем, и закончите тем, что нам нужно знать (в ответе должны быть радианы):

\(\require{cancel} \displaystyle \omega =\frac{\theta}{t} =\frac{{\cancel{{1\text{вращение}}}}}{{15\,\,\cancel{{\text{секунды}}}}}\cdot \frac{{2\pi \text { радианы}}}{{\cancel{{1\text{вращение}}}}}\cdot \frac{{60\,\,\cancel{{\text{секунды}}}}}{{1\, \,\text{минута}}}=\,8\pi \,\,\text{радиан/минута}\)

 

Угловая скорость света равна \(8\pi \) радиан в минуту. . Опять же, видите, как мы могли вычислить это без формулы, а просто используя множители единиц?

 

Вот пример, показывающий разницу между нахождением угловых и линейных скоростей. Обратите внимание, что с угловыми скоростями мы игнорируем радиус , так как имеем дело только с вращением угла. Также обратите внимание, что:

\(\text{Линейная скорость}=\text{Радиус}\times \text{Угловая скорость}\) или \(\displaystyle \text{Радиус}=\frac{{\text{Линейная Скорость}}} {{\ text {угловая скорость}}} \)

2

Вот больше проблем с линейными и угловыми скоростями , и вращения / революции :

Линейные и угловые задачи скорости раствор
Джени сидит на карусели и она 6 футов от центра.

 

Найдите ее угловую и линейную скорости, если карусель движется со скоростью 5 оборотов в минуту.

 

Обратите внимание, что:

\(\displaystyle \text{radius}=\frac{{\text{линейная скорость}}}{{\text{угловая скорость}}}\)

Уравнение для угловая скорость равна \(\displaystyle \omega =\frac{{\theta \text{(в радианах)}}}{t}\), но нам уже дана скорость в оборотах в минуту. Преобразуйте эту скорость в угловую скорость, используя множители единиц (зная, что в одном обороте содержится \(2\pi \) радиан):

\(\require{cancel} \displaystyle \frac{{5\text{ }\cancel {{\text{обороты}}}}}{{\text{минуты}}}\cdot \frac{{2\pi \text{радианы}}}{{1\text{}\cancel{{\text{ оборот}}}}}=10\pi \,\,\text{радиан в минуту}\).

Обратите внимание, что мы не используем радиус, так как нас интересует только угловая скорость.

 

Чтобы получить линейную скорость , давайте снова воспользуемся множителями единиц, но теперь мы должны посмотреть на радиус (поскольку нам нужно расстояние по окружности окружности с этим радиусом). Вы также можете помнить, что \(s\) (длина дуги или часть окружности) составляет \(2\pi r\) за один оборот:

\(\displaystyle \begin{align}\frac{{5\ text{ }\cancel{{\text{обороты}}}}}{{\text{минуты}}}\cdot \frac{{2\pi r\text{футы}}}{{1\text{}\ отменить{{\text{революция}}}}}&=\frac{{5\text{ }\cancel{{\text{revolutions}}}}}{{\text{минута}}}\cdot \frac{ {2\pi \left( 6 \right)\text{ футов}}}{{1\text{ }\cancel{{\text{revolution}}}}}\\&=60\pi \,\text{ футов в минуту}\end{align}\)

 

(Мы также можем использовать формулу \(\text{Линейная скорость}=\text{Радиус}\times \text{Угловая скорость}\), чтобы получить \( 60\пи\).)

1
Линейные и угловые проблемы скорости 6 Раствор
Бри хочет запрыгнуть на движущуюся карусель диаметром 50 футов и двигаться со скоростью 3 оборотов в минуту.

 

С какой скоростью должна бежать Бри, чтобы сравняться со скоростью карусели для прыжка (в футах в секунду)?

Поскольку мы хотим знать, как быстро должна бежать Бри, мы ищем линейную скорость .Но нам дана скорость 3 оборотов в минуту, поэтому давайте просто соотнесем скорости друг с другом.

 

Мы можем начать с того, что мы знаем, и, используя множители единиц, начать заполнять единицы, помещая единицы в числитель или знаменатель, в зависимости от того, хотим ли мы, чтобы они остались или вычеркнули их. Помните, что для каждого вращения или оборота линейное расстояние или длина дуги \(s=2\pi r\), где \(\displaystyle r=\frac{{\text{диаметр}}}{2}\):

\(\require{cancel} \displaystyle \begin{align}\frac{{3\text{ Revolutions}}}{{1\text{ minute}}}\cdot \frac{?}{?}\cdot \ frac{{2\pi \left( {25} \right)\,\,\text{feet}}}{{1\text{revolution}}}&=\frac{{\text{feet}}}{ {\text{секунды}}}\\\frac{{3\,\,\cancel{{\text{обороты}}}}}{{1\,\,\cancel{{\text{минуты}}} }}\cdot \frac{{1\,\,\cancel{{\text{минуты}}}}}{{60\,\,\text{секунды}}}\cdot \frac{{50\pi \ ,\text{ футов}}}{{1\,\,\,\cancel{{\text{revolution}}}}}&=\frac{{3\cdot 50\pi \text{ }}}{{ \text{60 }}}\frac{{\text{футы}}}{{\text{секунды}}}\\&=5\pi \,\,\text{футы в секунду}\\&\приблизительно \text{14 ft/sec}\end{align}\)

 

Бри нужно пробежать около 14 футов в секунду , чтобы запрыгнуть на карусель . Это быстро!

Чему равно вращение в оборотах в минуту при угловой скорости 50 радиан в час? У нас есть угловая скорость 50 радиан в час, но нам нужна скорость вращения в оборотах в минуту.

 

Мы можем начать с того, что мы знаем, и, используя множители единиц, начать заполнять единицы, помещая единицы в числитель или знаменатель, в зависимости от того, хотим ли мы, чтобы они остались, или вычеркиваем их:

\(\begin{ align}\frac{{50\text{ радиан}}}{{1\text{ час}}}\cdot \frac{?}{?}\cdot \frac{?}{?}&=\frac{{ \text{обороты}}}{{\text{минуты}}}\\\frac{{50\text{ }\cancel{{\text{радианы}}}}}{{\cancel{{1\text{ час}}}}}\cdot \frac{{\text{1 оборот}}}{{2\pi \,\,\,\cancel{{\text{радианы}}}}}\cdot \frac{{ \cancel{{1\,\,\text{час}}}}}{{\text{60 минут}}}&=\frac{{50}}{{2\pi \cdot 60}}\frac{ {\text{обороты}}}{{\text{минуты}}}\\&=\frac{5}{{12\pi}}\,\,\,\text{оборотов в минуту}\end{align }\)

 

Поворот равен \(\displaystyle \frac{5}{{12\pi }}\) или .133 оборота в минуту .

Чему равен радиус окружности с линейной скоростью 100 дюймов в час и .1 оборотов в минуту? Давайте воспользуемся формулой, которая связывает радиус с линейной и угловой скоростями : \(\displaystyle \text{радиус}=\frac{{\text{линейная скорость}}}{{\ text{угловая скорость}}}=\frac{v}{\omega }\). Мы также должны использовать множители единиц, чтобы изменить единицы измерения, так как есть и часы, и минуты.Мы также знаем, что один оборот равен \(2\pi \) (и радианы могут быть безразмерными). У нас есть:

\(\displaystyle \begin{align}\text{radius}&=\frac{v}{\omega }=\frac{{\frac{{100\,\,\text{дюймы}}} {{1\,\,\text{час}}}}}{{\frac{{.1\,\,\text{революция}}}{{1\,\,\text{минута}}}} }\\&=\frac{{100\,\,\text{дюймы}}}{{1\,\,\cancel{{\text{час}}}}}\cdot \frac{{1\, \,\cancel{{\text{минута}}}}}{{.1\,\,\cancel{{\text{революция}}}}}\cdot \frac{{1\,\,\cancel{ {\text{час}}}}}{{60\,\,\cancel{{\text{минуты}}}}}\cdot \frac{{{1\,\,\cancel{{\text{революция}} }}}}{{2\pi }}\\&=\frac{{100}}{{.1\cdot 60\cdot 2\pi }}\end{align}\)

 

Радиус равен \(\displaystyle \frac{{25}}{{3\pi }}\), или около 2,65 дюймов .

 

Примечание : Мы могли бы сделать это и без формулы, используя множители единиц. Начните с того, что мы знаем, и закончите тем, что нам нужно знать (в ответе должны быть дюймы, поэтому нам нужны дюймы сверху):

\(\displaystyle \frac{{100\,\,\text {дюймы}}}{{1\,\,\cancel{{\text{час}}}}}\cdot \frac{{\cancel{{1\text{революция}}}}}{{2\pi \text{ радианы}}}\cdot \frac{{1\text{ }\cancel{{\text{минуты}}}}}{{.{2}}\theta =\frac{1}{2}{{\left( {3.{2}}\left( {\frac{{13\pi}}{9}} \right)=510,51\,\,\text{ft}\)

Уравнение площади сектора \ (\displaystyle s=\,r\theta \), но нам нужно преобразовать наши градусы в радианы (в 180° есть \(\pi \) радиан).

Имеем:

\(\displaystyle 260\,\,\cancel{{\text{градусы}}}\cdot \frac{{\pi \,\,\text{радианы}}}{{180\, \,\cancel{{\text{градусы}}}}}=\frac{{13\pi}}{9}\,\text{радианы}\).

 

Теперь мы можем использовать уравнение:

\(\displaystyle s=r\theta =\left( {15} \right)\left( {\frac{{13\pi}}}{9}} \ справа)=68.1\,\,\text{ft}\)

 

Разберитесь в этих проблемах и практикуйтесь, практикуйтесь, практикуйтесь!

Переходим к графикам триггерных функций – все готово!

10.3 Связь угловых и поступательных величин – University Physics Volume 1

Мы можем рассмотреть две зависимости между вращательным и поступательным движением.

Пример

Линейное ускорение центрифуги

Центрифуга имеет радиус 20 см и разгоняется от максимальной скорости вращения 10 000 об/мин до остановки за 30 секунд при постоянном угловом ускорении.Он вращается против часовой стрелки. Какова величина полного ускорения точки на кончике центрифуги при [latex]t=29,0\text{s?}[/latex] Каково направление вектора полного ускорения?

Стратегия

Имея предоставленную информацию, мы можем рассчитать угловое ускорение, что затем позволит нам найти тангенциальное ускорение. Мы можем найти центростремительное ускорение при [latex]t=0[/latex], рассчитав тангенциальную скорость в это время. Зная величины ускорений, мы можем вычислить общее линейное ускорение.\circ.[/латекс]

Знак «минус» означает, что вектор полного ускорения наклонен в направлении по часовой стрелке.

Рисунок 10.16 Векторы центростремительного, тангенциального и полного ускорения. Центрифуга замедляется, поэтому тангенциальное ускорение направлено по часовой стрелке, против направления вращения (против часовой стрелки).
Значение

Из рисунка видно, что вектор тангенциального ускорения противоположен направлению вращения. Величина тангенциального ускорения намного меньше центростремительного ускорения, поэтому вектор полного линейного ускорения будет составлять очень маленький угол по отношению к вектору центростремительного ускорения.

Анализ влияния линейной и угловой скорости частицы на уравнения движения жидкости Виталий Бударин :: SSRN

Восточно-Европейский журнал корпоративных технологий, 1(5 (109), 23–30, 2021. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2021.225209

8 страниц Опубликовано: 27 марта 2021 г.

Дата написания: 26 февраля 2021 г.

Аннотация

В работе проанализировано уравнение движения в терминах напряжений (Навье), а также два его частных случая для несжимаемого вязкого течения.Одно из них представляет собой уравнение Стокса (Навье-Стокса), а другое было выведено с меньшими ограничениями. Показано, что уравнение линейной скорости Лапласа может быть представлено как функция двух переменных – линейной и угловой скорости вращения частицы.

Для описания ускорения частиц во всех уравнениях движения использовалась полная производная от скорости в форме Громеки-Лэмба, которая зависит от тех же переменных.

Учет совместного влияния линейной и угловой скорости позволяет решить задачу аналитического описания турбулентного течения в рамках усредненной модели.В данном методе анализа применяется положение общей физики, рассматривающей поступательное и вращательное движение. Третий вид механического движения, колебательный (пульсационный), в настоящей работе не рассматривался.

Найдено свойство, связанное с разложением уравнения Стокса; построена блок-схема, составленная из уравнений и условий. Показано, что все уравнения для вязкой жидкости имеют аналог в более простой модели невязкой жидкости. Это облегчает поиск решений уравнений вязкого течения.

С помощью уравнений Стокса и Навье решены две одномерные задачи, нашедшие распределение скорости по нормали к поверхности при течении на горизонтальной пластине и в круглой трубе. Оба метода решения дают одинаковый результат. Решение для распределения скорости по нормали к поверхности в ламинарном подслое найти не удалось. Актуальной задачей, относящейся к математической части, является решение задачи о замыкании рассматриваемых уравнений.

Проведено сравнение теоретических и эмпирических уравнений, позволившее обосновать предположение, что разреженный газ является стоксовой жидкостью.

Ключевые слова: модель средней турбулентности, вязкое трение, уравнение Стокса, уравнение Навье

Рекомендуемое цитирование: Рекомендуемая ссылка

Бударин Виталий, Анализ влияния линейной и угловой скорости частицы на уравнения движения жидкости (26 февраля 2021 г.).Восточно-Европейский журнал корпоративных технологий, 1(5 (109), 23–30, 2021 г.). https://doi.org/10.15587/1729-4061.2021.225209. =3811651